精品解析：湖南湘潭市部分校2026-2027学年高一上学期10月联考数学试题

高一年级数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “所有正数都有平方根”的否定为（ ） A. 所有正数都没有平方根 B. 所有非正数都没有平方根 C. 至少有一个正数没有平方根 D. 至少有一个非正数没有平方根 【答案】C 【解析】 【详解】“所有正数都有平方根”的否定为“至少有一个正数没有平方根”． 2. 下列元素与集合的关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】对于A：是负整数，不属于非负整数集，故，A错误； 对于B：是无限不循环小数，不是整数，不属于整数集，故，B错误； 对于C：是分数，属于有理数集，故，C正确； 对于D：是无理数，不属于有理数集，故，D错误. 3. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，，则，即充分性成立； 若，例如，满足条件， 但，不成立，即必要性不成立； 综上所述：“，”是“”的充分不必要条件. 4. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出集合，再求其子集个数即可. 【详解】因， 则当时，则或；当时，. 即集合， 故其子集个数为. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】将原不等式移项得， 通分化简为， 等价于，解得或， 因此不等式解集或． 6. 学校组织“非遗手工体验”“校园植物观察”“传统诗词诵读”三项活动，某班共有30名同学报名，每名同学至少参加一项活动．已知参加“非遗手工体验”的有18人，参加“校园植物观察”的有15人，参加“传统诗词诵读”的有14人，至少参加了两项活动的有13人，则同时参加了三项活动的人数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】设参加“非遗手工体验”的同学构成集合，参加“校园植物观察”的同学构成集合，参加“传统诗词诵读”的同学构成集合， 则集合的元素个数分别为，且集合的元素个数为， 可得韦恩图，如图所示： 由题意可得，则， 且，则， 即，解得， 所以同时参加了三项活动的人数为4. 7. 已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法将目标式表示为已知范围的与的线性组合，再结合不等式的同向可加性求解取值范围. 【详解】设（），将右侧展开整理得  ， 对比等式两边系数，可得方程组 ， 解得， 即， 因为，所以，因为，所以， 根据同向不等式的可加性，得 ，所以. 8. 如图，在矩形板材中，，板材左下角存在破损区域.工人要在板材上裁锯出一块矩形物料，其中顶点落在破损区域的边界线段上，且，则可以裁锯出的物料的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则四边形的面积为，利用二次函数的性质求最大值即可. 【详解】延长交于点.设，则，， 则四边形的面积（单位：）为， 当且仅当时，等号成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：若，则，故B正确； 对C：若，则，故C正确； 对D：若，此时，故D错误. 10. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二次不等式解集确定二次函数开口方向及对应方程的两根，利用韦达定理将用表示，逐项代入判断，注意由确定各表达式的符号. 【详解】由不等式的解集为，结合二次函数与不等式的关系可得 ； 且方程的两根为和， 由韦达定理：，即，，即， 对于A：，所以A正确； 对于B：，因为，所以，所以B错误； 对于C：，因为，所以，所以C正确； 对于D：，所以D正确. 11. 设是非空实数集，若对任意，，都有，，，则称为封闭集，下列结论正确的是（ ） A. 整数集是封闭集 B. 集合是封闭集 C. 若是封闭集，则中一定含有元素0 D. 若集合，都是封闭集，则是封闭集 【答案】AC 【解析】 【详解】任意两个整数作加法、减法、乘法运算结果仍然为整数，故整数集是封闭集， 故A正确； 集合是由所有奇数构成的集合， 由于任意两个奇数的和为偶数，所以集合不是封闭集，故B错误； 若是封闭集，则取集合中任意一个元素使其与自身作减法即得， 故中一定含有元素0，故C正确； 取，， 由于集合，都是封闭集，但是对加法、减法、乘法均不封闭，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由，，，得中的两个元素分别为和. 当时，，此时，不符合集合元素的互异性，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 综上所述，. 13. 若，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式恒成立，转化为求二次函数在闭区间上的最小值. 【详解】要使对任意恒成立，只需， 又，当时取等号. 于是，即的取值范围是. 14. 已知正数a，b满足，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用，得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，得. 由得，所以. 所以. 又因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 则的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，． （1）求； （2）求． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，进而利用交集的意义求解即可； （2）解绝对值不等式求得全集，利用补集的意义求得，进而利用并集的意义求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以. 【小问2详解】 由，得，解得， 所以， 又，，所以，， 所以. 16. 解答下列各小题： （1）设，为实数，比较与的大小. （2）已知正数，满足，证明： ①； ②. 【答案】（1）； （2）证明：①因为且， 所以，当且仅当时，等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立； ②因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）①直接利用基本不等式进行证明即可； ②由题意可得，展开后利用基本不等式即可得证. 【小问1详解】 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以 【小问2详解】 略. 17. 已知集合， （1）若，求； （2）若，求的取值集合； （3）证明：“，中恰有3个整数元素”是假命题. 【答案】（1）； （2）； （3）证明：假设，中恰有3个整数元素为真命题， 当时，，无整数元素情况； 当时，，又因为，所以， 当时，，其中没有3个整数； 当时，，其中有5个整数； 当时，区间长度为， 其中整数个数必然大于等于5， 综上，不存在，使中恰有3个整数元素， 所以“，中恰有3个整数元素”是假命题. 【解析】 【分析】（1）将代入，求出集合，由一元二次不等式的解法求出集合，由并集的定义求解即可； （2）由题意可得，分和求解即可； （3）当时，其中无元素，当时，可得，分别求出时，集合，确定其中整数的个数，当时，可得区间长度大于或等于9，从而可得其中整数个数必然大于等于5，即可得证. 【小问1详解】 因为， 所以， 又因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以, 当时，则有，解得； 当时，则有，解得； 综上，， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 略. 18. （1）若一元二次不等式的解集为，求和的值； （2）若一元二次不等式对一切实数都成立，求的取值范围； （3）求一元二次不等式的解集． 【答案】(1)，； (2) ； (3)当时,解集为；当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【解析】 【分析】(1)结合一元二次不等式解集与对应方程根的关系，利用韦达定理求解参数；(2)结合开口方向与判别式小于 0 列不等式组，求解参数a的范围；(3)先整理不等式并因式分解，再对分类讨论，比较对应方程根的大小求解集. 【详解】(1)由题意得，且是方程的根，代入得,解得， 将代入原方程得，解得或，故，所以，. (2)由一元二次不等式对一切实数都成立，得化简得，解得，故的取值范围是. (3)原一元二次不等式整理得，因式分解得, ①当时,不等式化为，解得，解集为; ②当时,不等式化为，继续分类讨论, 当时，不等式为，解集为； 当时，，解集为或； 当时，，解集为或. 19. 已知实数，，，满足，在平面直角坐标系中，若点，满足则称为的“变换序”． （1）设点，若是的“变换序”，求点的坐标． （2）设集合，． （ⅰ）若存在点，，使得为的“变换序”，证明：． （ⅱ）设集合为的“变换序”，且，其中a，b，c，d，均大于0，且．若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设点，， 根据变换序定义得，消去，得， 因为存在实数满足上述方程，， 即得证. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题干的定义进行求解即可； （2）（ⅰ）根据题意得到，再利用一元二次方程有实根即可证明； （ⅱ）先推导集合的表达式，联立方程得到，再利用韦达定理表示，最后设即可求出. 【小问1详解】 点，是的“变换序”，根据题干得， 故点的坐标为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ），，根据变换定义得， 消去得，即是直线， 又，联立，得，其中是该方程的两个正实根， ，因为a，b，c，d，均大于0，， ， 又，设，则， ，，则， 又，解得，， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “所有正数都有平方根”的否定为（ ） A. 所有正数都没有平方根 B. 所有非正数都没有平方根 C. 至少有一个正数没有平方根 D. 至少有一个非正数没有平方根 2. 下列元素与集合的关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 6. 学校组织“非遗手工体验”“校园植物观察”“传统诗词诵读”三项活动，某班共有30名同学报名，每名同学至少参加一项活动．已知参加“非遗手工体验”的有18人，参加“校园植物观察”的有15人，参加“传统诗词诵读”的有14人，至少参加了两项活动的有13人，则同时参加了三项活动的人数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形板材中，，板材左下角存在破损区域.工人要在板材上裁锯出一块矩形物料，其中顶点落在破损区域的边界线段上，且，则可以裁锯出的物料的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 11. 设是非空实数集，若对任意，，都有，，，则称为封闭集，下列结论正确的是（ ） A. 整数集是封闭集 B. 集合是封闭集 C. 若是封闭集，则中一定含有元素0 D. 若集合，都是封闭集，则是封闭集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则______． 13. 若，，则的取值范围是______． 14. 已知正数a，b满足，则的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，． （1）求； （2）求． 16. 解答下列各小题： （1）设，为实数，比较与的大小. （2）已知正数，满足，证明： ①； ②. 17. 已知集合， （1）若，求； （2）若，求的取值集合； （3）证明：“，中恰有3个整数元素”是假命题. 18. （1）若一元二次不等式的解集为，求和的值； （2）若一元二次不等式对一切实数都成立，求的取值范围； （3）求一元二次不等式的解集． 19. 已知实数，，，满足，在平面直角坐标系中，若点，满足则称为的“变换序”． （1）设点，若是的“变换序”，求点的坐标． （2）设集合，． （ⅰ）若存在点，，使得为的“变换序”，证明：． （ⅱ）设集合为的“变换序”，且，其中a，b，c，d，均大于0，且．若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $