江苏省苏州中学校伟长班2026-2027学年九年级上学期数学10月学情测

2026一2027学年苏州中学伟长班初三数学10月月考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1.在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是 () A.y2-c+3=0 B.y+x2-3=0 C.3cy+x2=1 D.x2-y2+3=0 【答案】B 2.己知二次函数y=ac2+ba+c的图象如图所示，对称轴为x=-3,若点A(-4,y1),B(-1,y2)是图象上的两 点，则1与2的大小关系是 () A.yy B.y-y C.<y D.不能确定 【解析】解：如图所示，a<0,|-3-(-4川<-3-(-1)儿，则1>y2 【答案】A =-3 (第2题图) 3.将抛物线y=-2x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是(（) A.y=-2(x-2)2-3B.y=-2(x+2)2-3C.y=-2(-2)2+3D.y=-2(x+2)2+3 【解析】解：抛物线y=-2x2先向左平移2个单位长度得y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2向下平移3个单位长度得y=-2(x+2)2-3 【答案】B 4已知∠A为锐角，且sinA<号，则 A.0°<A<30 B.0°<A≤30° C.30°≤A≤909 D.30°≤A<90 【解析】解：in30°= ,∠A为锐角，sin∠A随着∠A的增大而增大，故选A. 【答案】A 5.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB,PQ 相交于点M,则图中∠QMB的正切值是 () A. 1 B.1 C.√3 D.2 2 (第5题图) 【解析】解：如图所示，过点Q作CQ∥AB,连接PC :AB∥CQ “∠QMB=∠CQP,an∠QMB=tan∠CQP=PC=2=2,故选D. -CQ22 【答案】D 初三数学 第1页 共8页 6.己知α为锐角，下列等式一定不成立的是 A.sina cosa B.sina=tana C.cosa=tana D.sina+cosa=√2 【解析1解：当a=45时，sina=c0eg=受，血a十om8g=V2,故A,D正 La的对边 ,tana= ∠a的对边 .'sina= La的斜边 ∠a的邻边 ∠a的斜边的长度>La的邻边的长度 ∴.sina=tana一定不成立，故选B. 【答案】B. 7.己知实数，y满足c2+y=2,则代数式(1-cy)(1+y)有 A.最大值为1，最小值为0 B.最大值为1，没有最小值 C.没有最大值，最小值为0 D.以上说法都不对 【解析】解：c2+y=2 1-到1+到=1-（倒>1-（生艺）=0，当且仅当=护=1时取等号 此时(1-xy)(1+y)有最小值为0 x2y2≥0 ∴.1-(xy)≤1，即最大值为1，故选A 【答案】A 8.若关于x的方程msin'x+sinw-1=0在0°<c<90°上有解，则实数m的取值范围是 A.-1<m<0 B.0<m<1 C.m<0 D.m>0 【解析】解：令t=sin,0°<x<90°→0<t<1 换元得m+t-1=0时m=1甘=（经P-名0<t<到 m=(P-=(经-2P-4经> 当号=-1时，m=0 .m>0 【答案】D 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9.抛物线y=2(x十3)2+4的顶点坐标为. 【答案】(-3,4). 1Q已知a是锐角，且an&=写，则角e的大小为 【答案】30° 11.在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=2W5,则AC= 【解析】tan∠A=tan60°=BC=23=V3→4C=2 ACAC 【答案】2 12.己知二次函数的最小值为2，图象的顶点在直线y=x-1上，并且图象经过点(-1,3)，则此二次函数的解析 式是 【解析】：图象的顶点在直线y=x一1上，且最小值为2 ∴.该二次函数的顶点坐标为(3,2) 设该二次函数的解析式为y=a@-3)P+2将(-1.3)代入得3=a(-1-3}P+2解得a=6 故此解折式为y=6@-3P+2 【答案】y=e-3P+2 初三数学 第2页 共8页 13.如图，长4的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜 角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为米. ■ B 0 (第13题图) 【解析】解：：LABD=60,co8∠ABD=2=BD=号，sinLABD=A9=AD= AB 4 2 AB 4 2 ∴.BD=2,AD=2W3 :∠ACD=∠CAD=45 ∴.AC=√2AD=√2X2W5=2W6 【答案】26. 14.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,且3BC=2AD.点E、F是AD的三等分点， 则coS∠BFC+∠BAC= 2 【解析】解：：BD=CD=2BC,DE=BF=A=专AD,3BC=2AD 3 ∴.BD=CD=DE=EF=AF,BE=CE=√1？+12=√2 : 器-器-方服A=N阳 ·.△FEB∽△BEA ∴.∠BFE=∠ABE :∠CBAC=2×2以∠BFD+LBAD)=45 2 B D o8∠BRC+LBAC=cos45°=Y2 (第14题图) 2 2 【答案】2 2 15.如图，在△ABC中，CD,CE分别为斜边AB上的高和中线，BC=a,AC=b(b>a),若tan∠DCE= 分则号- 6 【解析】解：在△ABC中，BC=a,AC=b(b>a), 由勾股定理，得AB=√AC2+BC2=√a+b2, :∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠BCD+∠B=∠A+∠B, .∠BCD=∠A, ∴.△CBD∽△ABC, BC=BD AB BC' C .BD=BCP _a2 (第15题图) BA= Va2+62 由等面积法知：b=号ABCD, ∴.GD=ab Va2+62 初三数学 第3页 共8页 3 又：CB是中线，则DE=B服-BD=号a+- b2-a2 V@2+622a2+61 b2-a2 在△CDE中，an∠DCE=器=号即2Q =1 ab 2 √a2+b 整理得：a2+a6-=0,解得：。=-b士+45--1共5b, 2 2 :a,b是线段长度，不可能为负， ÷a=-1+5b, 2 “8=-16. 2 【答案】一1+5 2 16.已知两点A(-3,y1)、B(2,y2)均在抛物线y=ax2+bx十c上，点C(xo,y)是抛物线的顶点，若y1<y2≤ y0,则的取值范围是 【解析】解：：点C(xo,0)是抛物线的顶点，且1<y2≤0 .该抛物线开口向下，点距离对称轴越远，函数值越小 2-<3-解得>之 故答案为6>一号 【答案】> 17.先将抛物线所有点的横坐标缩短到原来的马，纵坐标不变，再把所得到的抛物线沿轴向右平移2个单位长 度，得到抛物线y=x2-3x+2,则原抛物线为 【解析】解：y=2-3a+2=(e-昌P-子沿0轴向左平移2个单位为y=e-是+2P-号=+a y=十横坐标扩大为限来的两倍y=(号P+号=是。 2+ 4 2 【答案】y=+号 18.下列关于△ABC的四个说法： (1)若△ABC是等腰三角形，则sinA=sinB; (2)若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB; (3)若tanA·tanB=l,则△ABC是直角三角形： (4)若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则1<sinA+sinB≤√2，其中说法正确的是序号是 (选填序号) 【解析】解：(I)△ABC是等腰三角形，∠A=LB,LA=∠C或∠B=∠C,则sinA=sinB,错误 (2)△ABC是锐角三角形，锐角三角形，三个角都小于90°，A十B>90°→A>90°-B A和90°-B都在0°到90°越来越大， ∴.sinA>sin(90°-B)=cosB,正确 (3).tanA.tanB=1 ∴，∠A+∠B=∠C=90°，则△ABC是直角三角形，正确 (4)当A=B=45°，8inA+sinB≤√2，当A=0°，B=90°时，inA+sinB=1, 故1<sinA+sinB≤√2，正确 【答案】(2)，(3)，(4. 三、解答题：本大题共7小题，共54分. 19.计算题： ①i计第：3n60-Y9cos60+an45an60: 初三数学 第4页 共8页 (2)己知&、B是锐角，请化简：sin'a+sinB-sin'asinB+cos'a cos2B. 【解折]解：国原式=合×-号×号+(3= 22 (2)原式=sin2a(1-sin2p)+sin2B+co82acos2B =sin2acos2B +sin2B+cos2acos2B =Cos2B(sin2a+cos2a)+sin28 =cos2B×1+8in2B =cos2B +sin2B =1 20在△A4BC中，∠A=30,tanB=号，BC=Vi而 (1)求边AB的长： (2)求sin(180°-C)的值. G C H ⊙ 【解析】解：(1)如图所示，过点C作CH⊥AB,垂足为H :tanB=Cg=号，BC=√10 BH 3 :.CH=1,BH=3 tan/CAB=CH 1 =肩 ∴.AH=V3 ..AB=AH+BH=3+V3 (2)如图所示，过点B作BG⊥AC,垂足为G sinLA=BG=BG =1 ABV3+3=2 .BG=V3+ 2 ∠GCB=180°-∠C in(180'-∠C)=mccB=e盟-2 2 =V30+3w10 BC-√10 20 21.已知抛物线y=a(x+1)(m-3)与x轴交于A,B,与y轴交于点C. a (1)求点C的坐标： (2)当a=号，判断△ABC的形状，并说明理由： (3)若△ABC为等腰三角形，求实数a的值. 【解析】解（①当=0时，y=a0+10-2)=-3故点C的坐标为0，-3 (②当a=了抛物线y=号e+1(e-9) 则点A、B、C的坐标为(-1,0)，(9,0)，(0，-3) 此时AB=10,AC=W10,CB=3W10 .AC2+BC2=AB2 ∴.△ABC为直角三角形 (3)由题知A(-1,0),B(3,0,C0,-3) 初三数学 第5页 共8页 ①AB=BC,此时-1+3=0，解得a=3 ②AC=AB,此时 3+1 =VP+3=V0,解得a1=0+1,==y0+1 31 3 ③AB=BC,此时 2+H=√3+（县只解得a=是 a 4 则a的值为3，蛋3， 310+1-W/10+1 3 22.已知关于c的方程2x2-（√+1)x+m=0的两根为sin0和cos0,0为锐角.求 (1)tand.sind cos 的值； tand-1 1-tand (2)m的值： (3)方程的两根及此时的日的值： 【解析】解：（①）tan9:sin0+ CoS tand.sin-cos tan-1 1-tan6 tan-1 tan-1 -器南g-g sin20-cos20 (sin+cos)(sin0-cos) gin-COB0 sin-cos0 sin-cos COS =in0+oos0=-b=-={5+1=Y8+1 a 2 2 (2)rsin0·cos0=c= a 2 .(sim+sin+2in01m m=(5+1)2-1=3 2 2 ③2x-(8+e+9=0 2023 (2a-1e-号)=0解得= 2 ①当m0=},o60=号时，9=30 2 @②当血9=号os0=号时，0=60 23.已知：抛物线y=x2-(2m+4)x十m2-10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点. (1)点C的坐标 (用含m的代数式表示)： (2)AB=2√2，求该抛物线的解析式： (3)若△ABC为等边三角形，则m的值为 【解析】解：(1)y=x2-(2m+4)x+m2-10=[-(m+2)]2-4m-14, .顶点C的坐标为(m+2,-4m-14). (2)由(1)知，对称轴与x轴交于点D(m+2,0), :抛物线的对称性及AB=2√2， .AD=DB=|eA-D=√2. :点A(cA,0)在抛物线y=(m-h)+k上， 0=(cA-h)2+k ”h=ro=DD,将EA一co=√2代入上式， 得到关于m的方程0=（√2）2+(（-4m-14),解得m=-3, 当m=-3时，抛物线y=x2+2am-1与c轴有交点，且AB=2√2，符合题意. 所求抛物线的解析式为y=x2+2c一1 (3)△ABC是等边三角形， ∴.由(1)知CD=|-4m-14=4m+14(-4m-14<0), 初三数学 第6页 共8页 AD=DB=2CD=1(4m+14)(-4m-14<0), √3 √ :点A(cA,0)在抛物线上， .0=(mA-h)2+k. :h=c=o将一=方n+1国代入上式，得0=号n+14P-抓-4 -4m-14<0, 六号m+14-1=0,解得m=-4 4 当m=- 时，抛物线g=+号。一碧与：轴有交点，且符合腿意。 4 16 故m= 11 24.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC. (1)求证：AC=BD: (2)若sin∠C=12,BC=12,求AD的长： 13 (3)若AB⊥AC,求cosC的值. B 【解析】(1)证明：'AD是BC上的高， ∴.AD L BC, ∴∠ADB=90°，∠ADC=90°， 在△ABD和△ADC中， tanB=AD D'COs∠DAC=AD AC' 又tanB=cos∠DAC, 品-品 ..AC=BD. ②解：在AADC中，血C=景故可设AD=12k,AC=13k, .CD=√AC2-AD2=5k, :BC=BD+CD,又AC=BD, ∴.BC=13k+5k=18k 由已知BC=12, ∴.18k=12, 46=2 ·AD=12k=12×?=8. 3 (3)BD=AC=a,CD=b,AB=c ·AB2-BD2=AC9-CD2 ∴.c2-a2=a2-b2 'AB⊥AC ∴.AB2+AC2=BC9 初三数学 第7页 共8页 则c2+a2=(a+b)2 2a=20+2b→a=+ab→1=（名尸+（会），解得8=51 a 2 :COSC=CD=b=5-1 AC a 2 25.和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得30°、5°等特殊角 的三角函数值，如sm30-方，sm5°=号，c0s30-9c0s5°-号聪明的小明同学思考：15万 2 的角也是比较特殊的角，它们可以通过30°，45°角的和差得到，那么15°，75°角的三角函数值是否可以用 30°，45°角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的， 知sm5°=m30+5=n30c0sl5+c0s30n15=方×号+9×竖-62小明同学袋续探 2 2 4 索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其 完成 和角公式的探索：如图①，△ABC是锐角三角形 (①若AB=4AC=3dn∠BAC=吉，求△ABC的面积 (2)设a,B都为锐角且∠BAC=a+B,请在△ABC中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：sin(a+B) sina.cosp cosa.sinB; (3)如图@，点D是△ABC边BC上的一点，若∠B=45,an∠BAD=号，AD=2W而，CD=反，则 △ADC的面积为 A B D B D H (图①) (备用图) (图②) 【解析】解： (Sao=号bnC=号×4×3×青-2 (2)如图所示，过点A作AD⊥BC,垂足为D,不妨设∠BAD=,∠DAC=B S△ABO=S△ABD+S△ACD →号ABAC·sin/BAC=2AB:AD×in∠BAD+2AC,AD:n∠DAC 2 ∴号AB:AC-n(e+)=号AB:AD×ne+号AC,AD:mB 2 两边同时除以2AB:AC得血(e+)=A把 sinB AC sina+AD AB .AD⊥BC oa=铝af=把 ∴.sin(a+B)=cosβ·sina+sinB:cosa (3)过点A作AH⊥CD ∠ABC=LBAH=45°，tanLBAD=1 3 tanDAH=D旺=L AH -2 ·.AD2=AP+D→DH=AP=210=2√2，AH=4W2 √5√5 ÷Sao=号AH-CD=号×42×4w2=16 初三数学 第8页 共8页2026一2027学年苏州中学伟长班初三数学10月月考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1.在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是 () A.y2-x+3=0 B.y+x2-3=0 C.3xy+x2=1 D.x2-y2+3=0 2.己知二次函数y=ax2+bx十c的图象如图所示，对称轴为x=-3,若点A(-4,y1),B(-1,y2)是图象上的两 点，则1与2的大小关系是 () A.y1>y B.y=y2 C.y<y D.不能确定 B =-3 B D (第2题图) (第5题图) (第13题图) 3.将抛物线y=-2x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（) A.y=-2(x-2)2-3 B.y=-2(x+2)2-3C.y=-2(x-2)2-3D.y=-2(x+2)2+3 4已知∠A为锐角，且sinA<号，则 A.0°<A<30 B.0°<A≤30° C.30°≤A≤90 D.30°≤A<90 5.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB,PQ 相交于点M,则图中∠QB的正切值是 A月 B.1 C.3 D.2 6.已知α为锐角，下列等式一定不成立的是 A.sina =cosa B.sina=tana C.cosa =tana D.sina+cosa=√2 7.己知实数x,y满足x2+y=2,则代数式样(1-cy)(1+cy)有 A.最大值为1，最小值为0 B.最大值为1，没有最小值 C.没有最大值，最小值为0 D.以上说法都不对 8.若关于x的方程msin'x+sinx-1=0在0°<c<90°上有解，则实数m的取值范围是 A.-1<m<0 B.0<m<1 C.m<0 D.m>0 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9.抛物线y=2(c+3)2+4的顶点坐标为 10已知e是锁角，且ana=号，侧角e的大小为 11.在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=2W3,则AC= 12.已知二次函数的最小值为2，图象的顶点在直线y=x一1上，并且图象经过点(-1,3)，则此二次函数的解析 式是 13.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜 角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为米. 14.如图，在等腰AABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,且3BC=2AD.点E、F是AD的三等分点， 则cos∠BC,∠BAC-, 2 B D C (第14题图) (第15题图) y 15.如图，在△ABC中，CD,CE分别为斜边AB上的高和中线，BC=a,AC=b(b>a),若tan∠DCE= 号则8- 16.已知两点A(-3,y1)、B(2,y2)均在抛物线y=aac2+bc+c上，点C(x0,)是抛物线的顶点，若1<y≤ :则的取值范围是 1?先将抛物线所有点的横坐标缩短到原来的号，纵坐标不变，再把所得到的抛物线沿云轴向右平移2个单位长 度，得到抛物线y=x2-3x+2,则原抛物线为 18.下列关于△ABC的四个说法： (1)若△ABC是等腰三角形，则sinA=sinB; (2)若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB; (3)若tanA·tanB=1,则△ABC是直角三角形； (4)若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则1<sinA+sinB≤√2，其中说法正确的是序号是 (选填序号) 三、解答题：本大题共7小题，共54分. 19.计算题： ①计算：方n60-复cos60+an45an60: (2)已知&、B是锐角，请化简：sin'a+sinB-sin'asinB+cos2 cos?B. 20.在△ABC中，∠A=30,anB-号，BC=V而. (1)求边AB的长： (2)求sin(180°-C)的值. B 初三一模 第2页 共4页 21.已知抛物线y=ac+1)(c-3)与x轴交于A,B,与y轴交于点C (1)求点C的坐标： (②)当a=号，判断△ABC的形状，并说明理由： (3)若△ABC为等腰三角形，求实数a的值. 22.己知关于c的方程2x2-（√3+1)x+m=0的两根为sin0和cos6,0为锐角.求 (1)tand.sine cos形一的值； tan-1 1-tan (2)m的值： (3)方程的两根及此时的6的值： 23.已知：抛物线y=x2-(2m十4)x+m2-10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点. (1)点C的坐标（用含m的代数式表示）： (2)AB=2√2，求该抛物线的解析式； (3)若△ABC为等边三角形，则m的值为 初三一模 第3页 共4页 24.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC. (1)求证：AC=BD: 2)若sn∠C=贵n0=12求AD的长： (3)若AB⊥AC,求cosC的值. 4 B 25.和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得30°、5°等特殊角 的三角圈数值，知sn30=分sn5=受，co3s30=复 ,c0s45°=2.聪明的小明同学思考：15,75° 的角也是比较特殊的角，它们可以通过30°，45°角的和差得到，那么15°，75°角的三角函数值是否可以用 30°，45°角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的， 知sin75=m30+5)=如0cos5+cos80sml5=号×号+9x9-62 2 2 2 4 .小明同学继续探 索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其 完成. 和角公式的探索：如图①，△ABC是锐角三角形 )若AB=1AC=3n∠BAC=青求AABC的面积 (2)设a,B都为锐角且∠BAC=&+B,请在△ABC中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：sin(a+B) =sina.cos cosa.sinB; (3)如图②，点D是△ABC边BC上的一点，若∠B=45,an∠BAD=号，AD=2Wi0,CD=2,则 △ADC的面积为一 A B C ⊙ B D (图①) (备用图) (图②) 初三一模 第4页 共4页