精品解析：江苏省苏州市苏州中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年第一学期九年级数学第一次月考卷 （范围：九上第1、2章、九下第6章 考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是关于 的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、含有分式，故不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意． C、化简得，不是一元二次方程，不符合题意； D、符合一元二次方程定义，符合题意； 故选：D． 2. 下列各条件中，能判断的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】A、∵，，只有一角一边， ∴不能判断两个三角形相似， 故A不符合题意； B、∵，，不是与的夹角， ∴不能判断两个三角形相似， 故B不符合题意； C、由，可得， 再由，得， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， ∴可判断， 故C符合题意； D、由，， 得， 由，， 得， ∵只有， ∴不能得， 故D不符合题意． 故选：C． 3. 如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆内接四边形的性质即可．证明即可得到答案．本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ． 故选：B． 4. 定义运算，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得：， ，，， ， 原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 6. 如图，与是位似三角形，位似比为，已知，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似比等于相似比，进而即可求解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题的一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，由此列方程即可． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x， 则， 故选A． 8. 如图，，若，则下面结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．已知，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】解：A、由，得，故A不符合题意； B、由，得，故B不符合题意； C、根据已知条件得不出，故C符合题意； D、由，得，故D不符合题意． 故选：C． 9. 如图，的内切圆与、、相切于点、、，已知，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内切三角形的性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，接下来设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ， 即， 解得， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 故选：C． 10. 如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， ∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小 ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 方程 的解是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接利用开平方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 12. 若，则的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查比例性质，根据条件设，代值化简即可得到答案，熟练掌握比例性质及相应题型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设，则， 故答案为：． 13. 已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 根据黄金分割的定义即可得出答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程，求解并注意检验． 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， 解得：，， ∵当时，， ∴舍去， 故答案为：． 15. 已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，矩形的性质．证明，可得，，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 故答案为： 16. 如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、中位线的定义与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键． 过点作于点，交于点，连接，根据折叠的性质，得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，则，证明为等边三角形，得出，由、垂径定理得出，推出，根据含角的直角三角形的性质得出，由，，推出是的中位线，根据中位线的性质得出，由得出答案即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，连接， ∵弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴，即的半径长是． 故答案为：． 17. 已知是方程的一个根，试求的值______． 【答案】2009 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；由是方程的一个根，将其代入方程，得到关于A的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】∵是方程的一个根， ∴，即， 则 故答案为：2009． 18. 如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论、半圆所对的圆周角是直角、勾股定理、含30°角的直角三角形等知识点，正确寻找点Q的运动轨迹、构造辅助圆解决问题成为解题的关键．如图：连接，作于H，先证明点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于H， ∵Q是中点， ∴， 根据垂径定理的推论可得， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点Q在的延长线上时，的值最大， ∵在直角中，， ∴，， ∴，， 又∵在直角中，， ∴， ∴，即的最大值为． 故答案为：．  三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 19. 用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； 【小问3详解】 解：， 这里，，， ， ， 解得：，； 【小问4详解】 解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 20. 如图，是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且，于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能根据垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．连接，可得，进而可得，，求出即可； 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，过圆心O， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 即． 21. 如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是正方形 设 ∵E为边的中点， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质：熟练掌握正方形的性质，熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键；由正方形的性质得出，设，得出，证出，即可得出结论． 【详解】略 22. 已知三边满足，且． （1）求的值； （2）判断的形状． 【答案】（1）； （2）直角三角形． 【解析】 【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解； （）利用勾股定理逆定理即可判断求解； 本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：设，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴为直角三角形． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点． （1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由（1）中m的取值范围即可确定m的值． 【小问1详解】 解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴、， ∴， 解得或． ∵， ∴． 24. 图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在C处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 【答案】大拇指的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 分别证明、可得、，进而得到可得；最后将代入求得的值即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴． ∴． 由题意可得：， ∴． ∴． ∵， ∴， 即，解得：． 将代入， 得，解得． ∴大拇指的高度为． 25. 如图，已知是的外接圆，是的直径，是的延长线上的点，弦交于点．，． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： 则， ∵， ， 在和中， ∴， ∴， ； （2） 证明：由（1）得， ， 又， ∵， ∴， ， ，即， 是的切线； （3）9 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由圆周角定理得到，在和中，由三角形全等即可得到，利用三角形全等的性质即可得到答案； （2）由（1）中全等三角形性质得到，结合三角形内角和定理得到即可得证； （3）由垂直平分线的判定与性质得到，再由等边三角形的判定与性质得到，再由等腰三角形的判定与性质即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， 垂直平分， ∴． 又， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，即的半径为9． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、全等三角形的判定与性质、切线的判定、三角形内角和定理、垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的基本性质及综合题型解法是解决问题的关键． 26. 某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． （1）若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？ （2）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ （3）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 【答案】（1）800元 （2）55元 （3） 解：该超市不能每月获得880元的利润，理由如下： 设每箱饮料降价y元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴该超市不能每月获得880元的利润． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用； （1）根据总利润销售量单个的销售利润列式求解即可； （2）设每箱饮料降价x元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程求解即可； （3）设每箱饮料降价y元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程，判断判别式的符号即可． 【小问1详解】 解：元， 答：若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是800元； 【小问2详解】 解：设每箱饮料降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 答：每箱饮料售价应定为55元； 【小问3详解】 略 27. 按要求利用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1，经过A，B，C 三个格点，用无刻度的直尺作出圆心O； （2）如图2，在平行四边形中，，以为直径的圆与相切于点D．请仅用无刻度直尺在图中作出的重心M． 【答案】（1） 点O即为所求作； （2）点M即为所求作； 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图和尺规作图．熟练掌握全等三角形性质，线段垂直平分线性质，是解题的关键． （1）根据，，共用，可知，，得到是直径，点O即为圆心； （2）根据，，得到垂直平分，点N为中点，根据是平行四边形的对角线，得到点Q是的中点，即得M是的重心． 【小问1详解】 解：取点D，使，连接，交于点O； 【小问2详解】 分别以点A，B为圆心，以大于长为半径在点D的异侧画弧，两弧交于点P，作射线，连接交于点M． 28. 新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，最大为 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义美好四边形，勾股定理，圆的性质，三角形的面积等知识，证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大是解题的关键． （1）过作于，先利用勾股定理求出，再分别求和； （2）先证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大，最大值为对角线乘积的一半，再确定的最大值，即可得到答案． 【详解】解：（1）过作于，如图1， ，，， ， 四边形是美好四边形，， ， ， ， 在中，， ，， ； （2）存在这样的点，满足，且使得四边形的面积最大，理由如下： 当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图2， 过点作于，过点作于， 则， ，， ， ． 当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图3， 则， 当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大． 点到湖泊的最近距离为，的半径为， ， 又， 当、、依次共线时最长，如图4， 又时，， 此时四边形面积最大， 此时， ， 故四边形的面积最大为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级数学第一次月考卷 （范围：九上第1、2章、九下第6章 考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是关于 的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各条件中，能判断的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 3. 如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 定义运算，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，与是位似三角形，位似比为，已知，则的长等于（ ） A. B. C. D. 7. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，若，则下面结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的内切圆与、、相切于点、、，已知，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 方程 的解是____． 12. 若，则的值为____． 13. 已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为________． 14. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为__________． 15. 已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为__________． 16. 如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是___． 17. 已知是方程的一个根，试求的值______． 18. 如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为______．  三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 19. 用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 20. 如图，是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且，于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦的长． 21. 如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，求证：． 22. 已知三边满足，且． （1）求的值； （2）判断的形状． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 24. 图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在C处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 25. 如图，已知是的外接圆，是的直径，是的延长线上的点，弦交于点．，． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的半径． 26. 某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． （1）若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？ （2）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ （3）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 27. 按要求利用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1，经过A，B，C 三个格点，用无刻度的直尺作出圆心O； （2）如图2，在平行四边形中，，以为直径的圆与相切于点D．请仅用无刻度直尺在图中作出的重心M． 28. 新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $