第3章 圆 单元复习（9大知识点+13大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第3章 圆 知识点1：圆的有关概念 　　1.定义：圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点为圆心，定长为半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 　　2.弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。 　　3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；同圆或等圆中能够完全重合的弧叫做等弧。 　　4.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆相交的角叫做圆周角。 　　5.等圆与同心圆：圆心相同、半径相等的圆叫做等圆；圆心相同、半径不相等的圆叫做同心圆。 知识点2：点与圆的位置关系 　　1.设圆的半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆内，时点在圆上，时点在圆外。 　　2.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆；经过两个点可以作无数个圆。 知识点3：圆的对称性 　　1.圆既是轴对称图形又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心。 　　2.在同圆或等圆中，圆心角相等所对的弧相等、所对的弦也相等；反之，弦相等所对的圆心角、弧也相等。 知识点4：垂径定理 　　1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 　　2.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 　　3.常见模型：弦、弦心距与半径构成直角三角形，由勾股定理可得（为弦长，为弦心距，为半径）。 知识点5：圆周角定理 　　1.圆周角定理：同弧（或等弧）所对的圆周角相等，且等于它所对的圆心角的一半。 　　2.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 　　3.圆内接四边形的对角互补，任何一个外角等于它的内对角。 知识点6：直线与圆的位置关系 　　1.设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则时相离，时相切，时相交。 　　2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；切线与圆有且只有一个公共点。 　　3.切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 知识点7：切线长定理 　　1.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 　　2.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心；直角三角形的内切圆半径（为斜边）。 　　3.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 知识点8：弧长与扇形面积 　　1.弧长公式：在半径为的圆中，圆心角为的弧长为。 　　2.扇形面积公式：圆心角为的扇形面积为。 　　3.圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是扇形，设圆锥母线长为、底面半径为，则，且（为高）。 知识点9：正多边形与圆 　　1.正多边形的外接圆和内切圆是同心圆，正多边形的边心距、边长与半径构成直角三角形。 　　2.正边形的中心角为；设边心距为、边长为、半径为，则，面积为。 【基础必考题型】 【题型1】点与圆的位置关系 1.核心知识点 　点与圆的位置关系；距离与半径的比较 2.解题方法技巧 　① 计算点到圆心的距离与半径比较，确定点在圆内、圆上还是圆外 　② 已知位置关系可反求半径或距离的取值范围 　③ 注意题目中给出的点的具体位置，结合图形判断 【例题1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（     ） A．外 B．内 C．上 D．无法确定 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点A不在半径为的内，则点A与点O之间的距离d的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知的直径为8，若，则点P在_______；若，则点P在_______；若______，则点P在内． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，点A到的最小距离为3，最大距离为19，则的半径为_________． 【题型2】利用垂径定理求值 1.核心知识点 　垂径定理；设未知数列方程；勾股定理 2.解题方法技巧 　① 设半径为，用含的式子表示弦心距或半弦长，由勾股定理列方程 　② 抓住直径与弦垂直、平分的关系建立方程 　③ 计算后注意检验结果是否符合实际 【例题2】.（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的直径，弦于点E，连接．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式题2-1】.（26-27九年级上·吉林·阶段检测）如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【变式题2-2】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·湖北·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出 ，求圆形工件的半径为多少？ 【题型3】同弧或等弧所对的圆周角相等 1.核心知识点 　圆周角定理；同弧所对的圆周角相等；角度的转化 2.解题方法技巧 　① 找出同弧或等弧所对的圆周角，进行角的等量转化 　② 圆周角等于它所对圆心角的一半 　③ 借助三角形内角和、外角等知识综合求角 【例题3】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是___________． 【变式题3-1】.（2026·江苏徐州·三模）如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的直径，半径弦，为垂足，连接，．若，则的度数是________． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型4】直径所对的圆周角是直角 1.核心知识点 　直径所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径；直角三角形性质 2.解题方法技巧 　① 见到直径，连接圆上的点构成直角三角形 　② 利用直角三角形的锐角互余、勾股定理等性质求解 　③ 判断线段是否为直径，可看它所对的圆周角是否为90° 【例题4】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为半圆O的直径，A，D为半圆O上两点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，点C在圆上，，则________． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）内接于，且点，，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图中找一个格点（点不与点重合），画出，使； (2)在图中的圆上找一点，使得平分． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，弦的中点为点，连接、，并分别延长它们与相交于点、． (1)若，求的大小． (2)若，求的长． 【题型5】弧、弦、圆心角的对应关系 1.核心知识点 　圆心角与弧、弦的对应关系；等弧对等弦 2.解题方法技巧 　① 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等 　② 将弧的相等转化为圆心角或弦的相等进行证明与计算 　③ 注意等弧与等长弧的区别，等弧必等长 【例题5】.（26-27九年级上·北京·课堂例题）在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式题5-1】.（2026·湖北·一模）如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点，，，在上，．求证：． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【题型6】求圆内接四边形的对角 1.核心知识点 　圆内接四边形的性质；对角互补；外角等于内对角 2.解题方法技巧 　① 圆内接四边形的对角互补，即 　② 一个外角等于它的内对角 　③ 结合圆周角定理、三角形内角和综合求解 【例题6】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，四边形为的内接四边形，为四边形的一个外角．求证：． 【培优高频题型】 【题型7】利用切线性质求角与线段 1.核心知识点 　切线的性质；切线垂直于过切点的半径；勾股定理；相似三角形；三角函数 2.解题方法技巧 　① 连接切点和圆心，得到垂直关系，即半径垂直于切线 　② 求角度：利用直角三角形、圆周角定理等转化角的关系 　③ 求线段：连接圆心与切点构造直角三角形，用勾股定理求解 　④ 结合相似三角形对应边成比例或三角函数综合求线段长 【例题7】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（2026·山西运城·三模）如图，为的弦，直径于点E，E为的中点，过点B作的切线，交的延长线于点M，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 【变式题7-3】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【题型8】切线长定理的应用 1.核心知识点 　切线长定理；切线长相等；周长与线段的转化 2.解题方法技巧 　① 从圆外一点引的两条切线长相等，可将分散的线段转化到同一直线上 　② 三角形或四边形的周长可转化为切线长的倍长关系 　③ 结合图形，找出所有相等的切线长线段 【例题8】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的内切圆，，，为切点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（2026·安徽淮南·一模）如图，是的内切圆，线段与相切，与、分别交于点D、点E，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知及圆外一点P． (1)尺规作图：过点P作的两条切线，，切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在，上）截下一块三角形，求截下的的周长． 【题型9】切线的判定 1.核心知识点 　切线的判定定理；经过半径外端且垂直于半径的直线是切线 2.解题方法技巧 　① 已知直线过圆上某点，连接圆心与该点，证明垂直 　② 已知直线与圆心的距离等于半径，可证相切 　③ 常用"连半径、证垂直"或"作垂直、证半径"两种思路 【例题9】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知是的切线，切点为B，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C，连接．求证：是的切线． 【变式题9-1】.（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式题9-2】.（2026·湖北襄阳·一模）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，若与边交于点，且． (1)求证：是切线； (2)若，，求的半径． 【变式题9-3】.（2026·山东临沂·二模）如图，的顶点A，B，D在上，边与相切于点B，对角线经过圆心O，与交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求的面积． 【压轴素养题型】 【题型10】三角形的内心与外心 1.核心知识点 　内切圆与内心；外接圆与外心；角平分线与垂直平分线 2.解题方法技巧 　① 内心是角平分线的交点，到三边距离相等；外心是垂直平分线的交点，到三顶点距离相等 　② 利用内心、外心与圆的关系综合求角度、线段长 　③ 结合面积法求内切圆半径 【例题10】.（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，在中，点O为的内心，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式题10-1】.（2025·江苏泰州·三模）如图，点I为的内心，，，，将平移，使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为______． 【变式题10-2】.（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D． (1)求证：． (2)过点D作的平行线，证明是外接圆的切线． 【变式题10-3】.（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 【题型11】弧长、扇形与圆锥相关计算 1.核心知识点 　弧长公式；扇形面积公式；圆锥侧面展开图；圆锥母线、底面半径、高的数量关系 2.解题方法技巧 　① 熟记弧长、扇形面积，区分圆心角与半径两个参数 　② 圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，是圆锥计算的核心等量关系 　③ 圆锥母线、底面半径、高构成直角三角形，可用勾股定理求解；注意区分母线与底面半径 　④ 阴影面积可结合割补法，将不规则图形转化为扇形、三角形面积的和差计算 【例题11】.（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式题11-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（     ） A． B． C． D． 【变式题11-2】.（26-27九年级上·吉林·期中）如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 【变式题11-3】.（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若四边形是菱形，，则阴影部分的面积为__________． 【题型12】正多边形与圆 1.核心知识点 　正多边形的中心角；边心距、边长与半径的关系；面积公式 2.解题方法技巧 　① 正边形中心角为 　② 由半径、边心距、半边长构成的直角三角形求解 　③ 正多边形的面积等于若干个全等三角形的面积之和 【例题12】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边，，与的切点，连接，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题12-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴. 【变式题12-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 【变式题12-3】.（26-27九年级下·全国·期末）如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． 【题型13】圆的综合证明与计算 1.核心知识点 　切线的判定与性质；圆周角定理；垂径定理；相似与勾股定理的综合 2.解题方法技巧 　① 综合运用圆的多个定理，先分析图形结构再选择方法 　② 证明切线多用"连半径、证垂直"或"作垂直、证半径" 　③ 求线段长常结合勾股定理、相似三角形或三角函数 　② 结合生活情境（如拱桥、月洞门、轮胎等）抽象出圆的几何模型 　③ 探究性问题从特殊到一般，先找规律再验证 【例题13】.（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 【变式题13-1】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，是的外接圆的直径，，是上的一点，满足，连接并延长交于点，连结． (1)如图，若，求的值； (2)如图，点在弦上，过点作于，交于点． ①若，求证：； ②若，连接，，且是以为腰的等腰三角形，设，求的值． 【变式题13-2】.（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，内接于，是直径上的一点，满足，连结并延长交于点，连结，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点，设．      (1)①用含的代数式表示和的大小． ②猜想线段、和满足什么数量关系，并证明． (2)如图，连接和，若，求证：． 【变式题13-3】.（2026·海南·中考真题）在中，，，，与相切于点，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，延长至，作的平分线交的延长线于点．若点在射线上运动，当与相似时，求的长度； (3)如图3，若点在上运动（点，，不共线），记线段与的交点为，的中点为，求证：平分． 易错点 1.　混淆弦与直径、劣弧与优弧、等弧与等长弧，误认为所有相等的弧都是等弧。 2.　应用垂径定理时忽略"垂直于弦"的前提，或误用"平分弦的直径垂直于弦"而未注意弦不是直径。 3.　判断直线与圆的位置关系时，将距离与半径的大小比较方向搞反。 4.　求弧长、扇形面积时圆心角单位用错，未使用度数，或混淆母线与底面半径。 5.　证明切线时只证垂直却未证过半径外端，或"连半径、证垂直"与"作垂直、证半径"思路混淆。 重点 1.　圆的有关概念，弦、弧、圆心角、圆周角的定义及关系。 2.　垂径定理及推论，用勾股定理求半径、弦长、弦心距。 3.　圆周角定理及直径所对圆周角是直角，圆内接四边形的性质。 4.　直线与圆的位置关系，切线的性质与判定，切线长定理。 5.　弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积及正多边形与圆。 难点 1.　垂径定理的综合应用，涉及弦的位置分类讨论。 2.　切线的判定与性质的综合证明，需灵活选择证明思路。 3.　阴影部分面积的割补法与转化，不规则图形的计算。 4.　动点问题中的最值探究，需确定动点轨迹与关键位置。 5.　圆与三角形、四边形、坐标系等的综合题及新定义跨学科问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，已知中，若，则度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 3．下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④三个点确定一个圆 ⑤长度相等的两条弧是等弧．正确的命题有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是__________． 5．在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 6．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三点，那么弦所对的圆周角的度数是___________． 三、解答题 7．如图，以的边为直径画半圆，与，分别交于点D、E，．求证：． 8．如图，是上的四个点，． (1)的形状为_________； (2)探究线段之间的等量关系，并证明． 9．如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 10．如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若时，求的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆 知识点1：圆的有关概念 　　1.定义：圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点为圆心，定长为半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 　　2.弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。 　　3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；同圆或等圆中能够完全重合的弧叫做等弧。 　　4.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆相交的角叫做圆周角。 　　5.等圆与同心圆：圆心相同、半径相等的圆叫做等圆；圆心相同、半径不相等的圆叫做同心圆。 知识点2：点与圆的位置关系 　　1.设圆的半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆内，时点在圆上，时点在圆外。 　　2.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆；经过两个点可以作无数个圆。 知识点3：圆的对称性 　　1.圆既是轴对称图形又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心。 　　2.在同圆或等圆中，圆心角相等所对的弧相等、所对的弦也相等；反之，弦相等所对的圆心角、弧也相等。 知识点4：垂径定理 　　1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 　　2.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 　　3.常见模型：弦、弦心距与半径构成直角三角形，由勾股定理可得（为弦长，为弦心距，为半径）。 知识点5：圆周角定理 　　1.圆周角定理：同弧（或等弧）所对的圆周角相等，且等于它所对的圆心角的一半。 　　2.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 　　3.圆内接四边形的对角互补，任何一个外角等于它的内对角。 知识点6：直线与圆的位置关系 　　1.设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则时相离，时相切，时相交。 　　2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；切线与圆有且只有一个公共点。 　　3.切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 知识点7：切线长定理 　　1.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 　　2.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心；直角三角形的内切圆半径（为斜边）。 　　3.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 知识点8：弧长与扇形面积 　　1.弧长公式：在半径为的圆中，圆心角为的弧长为。 　　2.扇形面积公式：圆心角为的扇形面积为。 　　3.圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是扇形，设圆锥母线长为、底面半径为，则，且（为高）。 知识点9：正多边形与圆 　　1.正多边形的外接圆和内切圆是同心圆，正多边形的边心距、边长与半径构成直角三角形。 　　2.正边形的中心角为；设边心距为、边长为、半径为，则，面积为。 【基础必考题型】 【题型1】点与圆的位置关系 1.核心知识点 　点与圆的位置关系；距离与半径的比较 2.解题方法技巧 　① 计算点到圆心的距离与半径比较，确定点在圆内、圆上还是圆外 　② 已知位置关系可反求半径或距离的取值范围 　③ 注意题目中给出的点的具体位置，结合图形判断 【例题1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（     ） A．外 B．内 C．上 D．无法确定 【答案】A 【分析】当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在外． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点A不在半径为的内，则点A与点O之间的距离d的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：∵点不在半径为的内， ∴点在上或外， 当点在上时，， 当点在外时，， 综上所述，点A与点O之间的距离d的取值范围是． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知的直径为8，若，则点P在_______；若，则点P在_______；若______，则点P在内． 【答案】 外 上 【分析】先求出的半径，再比较与半径的大小，根据点和圆的位置关系即可求解． 【详解】解：的直径为， 的半径， 当时， ， 点在外； 当时， ， ∴点在上； 当点在内时，根据点与圆的位置关系可得． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，点A到的最小距离为3，最大距离为19，则的半径为_________． 【答案】11或8 【分析】分点在内和点在外两种情况，根据点到圆的最大最小距离关系计算直径，再求出半径． 【详解】解：当点在内部时，如图， 由题意得， ∴直径为，半径为； 当点在外部时，如图， 由题意得， ∴直径为，半径为； 综上所述，的半径为或． 【题型2】利用垂径定理求值 1.核心知识点 　垂径定理；设未知数列方程；勾股定理 2.解题方法技巧 　① 设半径为，用含的式子表示弦心距或半弦长，由勾股定理列方程 　② 抓住直径与弦垂直、平分的关系建立方程 　③ 计算后注意检验结果是否符合实际 【例题2】.（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的直径，弦于点E，连接．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据垂径定理可以得到的长，在中，根据勾股定理求出，根据线段的和差即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·吉林·阶段检测）如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】连接，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，最后根据即可求出． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵是的弦，半径， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴, ∴ 即， ∴ (2) 【分析】（1）根据垂径定理和弧的中点得出相等的弧，然后根据相等的弧所对的弦相等，得出结论； （2）连接，利用垂径定理求出相关线段的长度，利用半径表示出相关线段的长度，再根据勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·湖北·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出 ，求圆形工件的半径为多少？ 【答案】圆形工件的半径为 【分析】假设圆心为点，连接，由题意得出，设半径为，在中，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】解：假设圆心为点，连接， ∵作的垂直平分线交于点， ∴点在直线上， ∴， 设半径为， 则在中， ， 即， 解得：． ∴圆形工件的半径为． 【题型3】同弧或等弧所对的圆周角相等 1.核心知识点 　圆周角定理；同弧所对的圆周角相等；角度的转化 2.解题方法技巧 　① 找出同弧或等弧所对的圆周角，进行角的等量转化 　② 圆周角等于它所对圆心角的一半 　③ 借助三角形内角和、外角等知识综合求角 【例题3】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是___________． 【答案】/度 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，根据是的直径，得到，利用直角三角形两锐角互余求出，根据圆周角定理得到． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ． 【变式题3-1】.（2026·江苏徐州·三模）如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出和的度数，最后根据内角和定理即可求出度数． 【详解】解：由图可知，，， ，， ，， ． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的直径，半径弦，为垂足，连接，．若，则的度数是________． 【答案】 【分析】由垂径定理可得，从而可得，再由圆周角定理即可得出结果． 【详解】解：∵半径弦，为垂足， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，是圆的直径， ， ； (2)6 【分析】（1）利用垂径定理可得，即可解答； （2）连接，根据勾股定理求出，然后利用垂径定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型4】直径所对的圆周角是直角 1.核心知识点 　直径所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径；直角三角形性质 2.解题方法技巧 　① 见到直径，连接圆上的点构成直角三角形 　② 利用直角三角形的锐角互余、勾股定理等性质求解 　③ 判断线段是否为直径，可看它所对的圆周角是否为90° 【例题4】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为半圆O的直径，A，D为半圆O上两点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接与，由直径得；在中求出，再由得到为等边三角形，进而推得，可知，从而得到；四边形是圆内接四边形，与是一组对角，对角互补，计算． 【详解】解：连接、， 为半圆O的直径， ， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ． 四边形是圆内接四边形， ， ． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，点C在圆上，，则________． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，再由直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵是的直径，点C在圆上， ∴， ∵， ∴． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）内接于，且点，，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图中找一个格点（点不与点重合），画出，使； (2)在图中的圆上找一点，使得平分． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）取格点，连接，，由图可知是直径，则； （2）取格点，，由图可知四边形是正方形，则垂直平分，由图可得经过圆心，可得，则，即平分． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题4-3】.（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，弦的中点为点，连接、，并分别延长它们与相交于点、． (1)若，求的大小． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据垂径定理可知，得到，进而求出，根据圆周角定理计算即可； （2）由题意可知，设的半径为，则，在中，由勾股定理求出，在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵弦的中点为点，是过圆心的线段， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 根据圆周角定理可知； （2）解：∵是中点，， ∴， 设的半径为，则， 已知，而， 因此． 在中，由勾股定理， 代入得： 解得， 因此直径． ∵是的直径， ∴． 在中，． 【题型5】弧、弦、圆心角的对应关系 1.核心知识点 　圆心角与弧、弦的对应关系；等弧对等弦 2.解题方法技巧 　① 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等 　② 将弧的相等转化为圆心角或弦的相等进行证明与计算 　③ 注意等弧与等长弧的区别，等弧必等长 【例题5】.（26-27九年级上·北京·课堂例题）在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 【变式题5-1】.（2026·湖北·一模）如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点，，，在上，．求证：． 【答案】证明：∵点，，，在上，且， ∴， ∴， 即， ∴ ． 【分析】由点，，，在上，且弦，得弧，由 ，得，进而得到线段． 【详解】略 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：， ， 又∵， 为等边三角形， ， ． (2)． 【分析】（1）证明，则可证明为等边三角形，得到，据此可证明结论； （2）延长，交于点，可证明，则平分，由三线合一定理得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：延长，交于点， 由（1）得， ∵， ∴， ∴平分， ， ∴， 同理可得， 在中，， ，即的半径为． 【题型6】求圆内接四边形的对角 1.核心知识点 　圆内接四边形的性质；对角互补；外角等于内对角 2.解题方法技巧 　① 圆内接四边形的对角互补，即 　② 一个外角等于它的内对角 　③ 结合圆周角定理、三角形内角和综合求解 【例题6】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆内接四边形对角互补． 解：圆内接四边形， ， ， ， ． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，四边形为的内接四边形，为四边形的一个外角．求证：． 【答案】证明：∵四边形为的内接四边形， ， ， ． 【分析】先根据圆内接四边形性质得出，再结合即可证明结论． 【详解】略 【培优高频题型】 【题型7】利用切线性质求角与线段 1.核心知识点 　切线的性质；切线垂直于过切点的半径；勾股定理；相似三角形；三角函数 2.解题方法技巧 　① 连接切点和圆心，得到垂直关系，即半径垂直于切线 　② 求角度：利用直角三角形、圆周角定理等转化角的关系 　③ 求线段：连接圆心与切点构造直角三角形，用勾股定理求解 　④ 结合相似三角形对应边成比例或三角函数综合求线段长 【例题7】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线的性质和直角三角形两锐角互余求出的度数，再由圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵切于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（2026·山西运城·三模）如图，为的弦，直径于点E，E为的中点，过点B作的切线，交的延长线于点M，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：如解图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴． ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， 同理（1）可得，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的性质定义得，然后说明为等边三角形，则此题可解； （2）先根据同角的余角相等得出，同理可得，即可得，然后证明，可得，最后根据“等角对等边”得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴； （2）略 【变式题7-2】.（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】B 【分析】由切线的性质可得，在中，由勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴在中，． 【变式题7-3】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接，过点O作于点F． ∵四边形是菱形， ∴平分． ∵与相切于点E， ． 又， ， ∴是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，过点O作于点F，根据菱形的性质，切线的性质以及角平分线的性质，推出，即可得证； （2）连接交于点G，证明，得到，在中，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点G，如图，则，且G是的中点． ， ． 由（1）知， ． 又， ， ． 在中，， 由勾股定理，得， 即的半径为． 【题型8】切线长定理的应用 1.核心知识点 　切线长定理；切线长相等；周长与线段的转化 2.解题方法技巧 　① 从圆外一点引的两条切线长相等，可将分散的线段转化到同一直线上 　② 三角形或四边形的周长可转化为切线长的倍长关系 　③ 结合图形，找出所有相等的切线长线段 【例题8】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的内切圆，，，为切点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线长定理得出，，根据，，利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵是的内切圆，，，为切点， ∴，， ∵，， ∴． 【变式题8-1】.（2026·安徽淮南·一模）如图，是的内切圆，线段与相切，与、分别交于点D、点E，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与，，，分别相切于点G，H，D，F，证明四边形，是正方形，设的半径是r，，，推出，，证明出，得到，然后利用勾股定理表示出，根据锐角三角函数值求出即可． 【详解】解：如图，设与，，，分别相切于点G，H，D，F ∴，，，，， ∴四边形，是正方形 设的半径是r，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴ 解得：， ∴ ∴． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【答案】7 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知及圆外一点P． (1)尺规作图：过点P作的两条切线，，切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在，上）截下一块三角形，求截下的的周长． 【答案】(1) (2)截下的的周长为20 【分析】（1）要过圆外一点P作的切线，核心原理是利用“直径所对的圆周角是直角” ．首先连接线段，作线段的垂直平分线，找到的中点，以中点为圆心，到点O为半径画弧，交于A、B两点，连接、，、即为所求的两条切线，点A、B为切点． （2）首先找切线相等关系，设与圆相切于点D，根据切线长定理，从同一点引出的两条切线段长度相等；然后将的边拆分为，然后利用上面的相等关系进行替换即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如答图②，设D是与劣弧相切的点， ∵、是的两条切线， ∴． ∵是的切线，切点为D，且点M在上，点N在上， ∴和是从点M引出的两条切线段，和是从点N引出的两条切线段， ∴，． ∴，， 的周长． 【题型9】切线的判定 1.核心知识点 　切线的判定定理；经过半径外端且垂直于半径的直线是切线 2.解题方法技巧 　① 已知直线过圆上某点，连接圆心与该点，证明垂直 　② 已知直线与圆心的距离等于半径，可证相切 　③ 常用"连半径、证垂直"或"作垂直、证半径"两种思路 【例题9】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知是的切线，切点为B，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C，连接．求证：是的切线． 【答案】证明：连接，，， ∵是的切线，切点为B， ∴，即， ∵以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即，且为半径， ∴是的切线． 【分析】连接，，，由切线的定义得出，即，证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出是的切线． 【详解】略． 【变式题9-1】.（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论； （2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． 【变式题9-2】.（2026·湖北襄阳·一模）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，若与边交于点，且． (1)求证：是切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，再结合切线的性质解答即可； （2）根据切线的性质可得，进而得到，设的半径为，则 ，从而得到，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ， ， ， 又 ∵是的切线，点是切点， ∴ ， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的切线， ， 在中，， ， ∴， 在中，， 设的半径为， ， ， ， ， ， ∴的半径为． 【变式题9-3】.（2026·山东临沂·二模）如图，的顶点A，B，D在上，边与相切于点B，对角线经过圆心O，与交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求的面积． 【答案】(1) 证明：连接， ∵中，， ∴， ∵对角线经过圆心O，即是的直径， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； (2) 【分析】连接，先证明，再证明是等边三角形，求出，，可得，由平行四边形的性质推出，可得，即可证明； （2）由（1）知，，易证四边形是菱形，求出，得到，过点作交延长线于点，易求，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， 过点作交延长线于点， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴的面积为． 【压轴素养题型】 【题型10】三角形的内心与外心 1.核心知识点 　内切圆与内心；外接圆与外心；角平分线与垂直平分线 2.解题方法技巧 　① 内心是角平分线的交点，到三边距离相等；外心是垂直平分线的交点，到三顶点距离相等 　② 利用内心、外心与圆的关系综合求角度、线段长 　③ 结合面积法求内切圆半径 【例题10】.（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，在中，点O为的内心，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义，，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，点O为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式题10-1】.（2025·江苏泰州·三模）如图，点I为的内心，，，，将平移，使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接、，根据点为的内心，可得平分， 平分，再根据平移可得，，进而得到， ，根据等角对等边得到， ，进而可得图中阴影部分的周长． 【详解】连接、， ∵点为的内心， ∴平分， 平分， ∴， ， 由平移得，， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴ 故答案为：． 【变式题10-2】.（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D． (1)求证：． (2)过点D作的平行线，证明是外接圆的切线． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)证明：如图，连接， 由（1）知， ∴， 即是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是外接圆的切线． 【分析】（1）连接，根据内心的定义可知平分，平分，根据圆周角定理得到，根据三角形外角的性质求出，根据等角对等边证明即可； （2）连接，由（1）知，得到，即是的中点，根据垂径定理的推论可知，即，可知是外接圆的切线． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题10-3】.（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理，解题的关键是： （1）根据内心的定义求出，，然后根据三角形内角和定理求解即可； （）①由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得，进而即可求解； ②画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接，由内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点，即得，，，，利用勾股定理得，设，则，可得，，进而由得，解得，设，利用三角形面积得，最后利用勾股定理即可求解； 【详解】解∶（1）∵点是的内心． ∴平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）①∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴； ②如图，画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接， 根据三角形的内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点， ∴，，，， ∵，，， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【题型11】弧长、扇形与圆锥相关计算 1.核心知识点 　弧长公式；扇形面积公式；圆锥侧面展开图；圆锥母线、底面半径、高的数量关系 2.解题方法技巧 　① 熟记弧长、扇形面积，区分圆心角与半径两个参数 　② 圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，是圆锥计算的核心等量关系 　③ 圆锥母线、底面半径、高构成直角三角形，可用勾股定理求解；注意区分母线与底面半径 　④ 阴影面积可结合割补法，将不规则图形转化为扇形、三角形面积的和差计算 【例题11】.（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，可得，从而得阴影部分的面积，结合扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵在中，， ∴是的中线， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 【变式题11-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的长为：， ∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长， 设围成圆锥的底面半径为， ∴ 解得：． 【变式题11-2】.（26-27九年级上·吉林·期中）如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 【答案】/ 【分析】利用扇形面积公式，通过大扇形面积减去小扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】解：∵ ∴ . 【变式题11-3】.（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若四边形是菱形，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】(1)证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质证得，，再通过等腰三角形的性质得到，从而证得，然后由圆心角定理证得； （2）作于，利用菱形的性质可得，是等边三角形，得到，通过等腰三角形的性质结合勾股定理得到，然后通过求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ． 【题型12】正多边形与圆 1.核心知识点 　正多边形的中心角；边心距、边长与半径的关系；面积公式 2.解题方法技巧 　① 正边形中心角为 　② 由半径、边心距、半边长构成的直角三角形求解 　③ 正多边形的面积等于若干个全等三角形的面积之和 【例题12】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边，，与的切点，连接，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由M、N是边、与的切点可以得到，求出正多边形每个内角的度数，通过四边形内角和为可以得出的度数，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 【详解】解：连接、，如下图所示， 、N是边、与的切点， 、， ， 正五边形的内角和为：， ， 在四边形中，，， ， ． 【变式题12-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 【答案】 【分析】如图，连接、，过O作于H．解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接、，过O作于H． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴. 【变式题12-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 【答案】(1) (2)正六边形的周长为18cm，面积为 【分析】（1）连接，根据中心角定义求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）过点作于点，证明是等边三角形，结合的周长可求出的长度，然后根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算. 【详解】（1）解：如图，连接． ∵正六边形内接于， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ． 的周长等于， 的半径为． ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 正六边形的周长为，面积为． 【变式题12-3】.（26-27九年级下·全国·期末）如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连结，，可得是等边三角形，，即可求解． （2）连结，根据M是的中点，利用等边三角形三线合一，求出的长度，再根据，得出，进一步得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连结，． ∵六边形是正六边形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为； （2）解：如图，连结， ∵M是的中点，， ∴，， ∴．                     ∵， ∴． ∴， ∴． 【题型13】圆的综合证明与计算 1.核心知识点 　切线的判定与性质；圆周角定理；垂径定理；相似与勾股定理的综合 2.解题方法技巧 　① 综合运用圆的多个定理，先分析图形结构再选择方法 　② 证明切线多用"连半径、证垂直"或"作垂直、证半径" 　③ 求线段长常结合勾股定理、相似三角形或三角函数 　② 结合生活情境（如拱桥、月洞门、轮胎等）抽象出圆的几何模型 　③ 探究性问题从特殊到一般，先找规律再验证 【例题13】.（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 【答案】(1)， (2)证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）略 【变式题13-1】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，是的外接圆的直径，，是上的一点，满足，连接并延长交于点，连结． (1)如图，若，求的值； (2)如图，点在弦上，过点作于，交于点． ①若，求证：； ②若，连接，，且是以为腰的等腰三角形，设，求的值． 【答案】(1)2 (2)①证明：如图，连接， ∵是的直径，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②或 【分析】（1）由是的直径，，可得，可得，即可求得的长； （1）①连接，由是的直径，，可得，再由圆周角定理可得，则，由，可得，可证得，由，，，可得，即可证明结论； ②分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①略 ②（Ⅰ）当时，如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，则， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴， 整理得， ∴，即， 解得，， 当时，，， ∴，则点不在弦上，不合题意，舍去； 当时，，，， ，点在弦上，符合题意； ∴； （Ⅱ）当时，如图，连接， 同理（Ⅰ）可得，，， ∴， 设，则， ， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 整理得， 解得， ， ∵当时，，， ∴，则点不在弦上，不合题意，舍去； 当时，，， ∴，点在弦上，符合题意； ∴； 综上所述，的值或． 【变式题13-2】.（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，内接于，是直径上的一点，满足，连结并延长交于点，连结，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点，设．      (1)①用含的代数式表示和的大小． ②猜想线段、和满足什么数量关系，并证明． (2)如图，连接和，若，求证：． 【答案】(1)①，． ②猜想：． 证明：由第（1）问可知 因为 是圆的直径，所以 在直角三角形 中， 又因为 ， 所以 因为 三点共线， 三点共线，且 四点共圆， 所以 因此 于是 即 又因为 是等腰三角形，且 所以 在直角三角形 中， 将这些代入： 因此， 过点 作垂足为． 因为 且 ，所以在直角三角形 中， 又因为 ，得 在直角三角形 中， 所以 同时 由图中 的位置， 因此 所以， 所以 所以 因此． (2)如图，连接和． 由圆周角定理， 弧 所对的圆心角为 因为 与 是相反射线，所以直线 与 的夹角为 另一方面，由（1）可知 因此直线 与 的夹角为 又因为 所以 解得， 于是 在点 处，射线 位于射线 与 之间，所以 因此 即． 由（1）中的结论， 又因为 是 的中点， 所以 在三角形 中， 而 由正弦定理可知，三角形 中 另一方面， 根据图形中 位于 内部， 而前面已经得到 因此． 【分析】（1）①利用 AB 为直径得到，结合得到，再根据等腰内角和，代入底角计算，求出顶角．②利用相似三角形求得 ，再作 求得 ，最后由 得 ． （2）运用圆周角定理得到圆心角，结合条件，通过直线夹角列等式算出，求出；利用（1）的结论得到，结合得到边长比值，在用正弦定理求出，再做角度减法算出，等量代换证明． 【详解】（1）解：①因为 是圆的直径端点，所以 又因为 ，所以 与 共线；，所以 与 共线． 由于 ，而 三点共线，所以 ． 因此，直线 与 的夹角为 在等腰三角形 中， 所以 而 故 于是 由于 ，所以． ②略． （2）略． 【变式题13-3】.（2026·海南·中考真题）在中，，，，与相切于点，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，延长至，作的平分线交的延长线于点．若点在射线上运动，当与相似时，求的长度； (3)如图3，若点在上运动（点，，不共线），记线段与的交点为，的中点为，求证：平分． 【答案】(1) (2)1或4 (3)证明：连接，则， ∴， ∵的中点为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 【分析】（1）根据圆的切线的性质可得，再由已知条件，利用互余关系求解即可； （2）先求出，，再分两种情况讨论，通过解求解即可； （3）连接，通过证明，再进行导角证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵与相切于点， ∴，即 ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当与相似时，分两种情况讨论： ①，如图： ∴ ∴； ②，如图： ∴， ∴， 综上：当与相似时，的长度为1或4； （3）略 易错点 1.　混淆弦与直径、劣弧与优弧、等弧与等长弧，误认为所有相等的弧都是等弧。 2.　应用垂径定理时忽略"垂直于弦"的前提，或误用"平分弦的直径垂直于弦"而未注意弦不是直径。 3.　判断直线与圆的位置关系时，将距离与半径的大小比较方向搞反。 4.　求弧长、扇形面积时圆心角单位用错，未使用度数，或混淆母线与底面半径。 5.　证明切线时只证垂直却未证过半径外端，或"连半径、证垂直"与"作垂直、证半径"思路混淆。 重点 1.　圆的有关概念，弦、弧、圆心角、圆周角的定义及关系。 2.　垂径定理及推论，用勾股定理求半径、弦长、弦心距。 3.　圆周角定理及直径所对圆周角是直角，圆内接四边形的性质。 4.　直线与圆的位置关系，切线的性质与判定，切线长定理。 5.　弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积及正多边形与圆。 难点 1.　垂径定理的综合应用，涉及弦的位置分类讨论。 2.　切线的判定与性质的综合证明，需灵活选择证明思路。 3.　阴影部分面积的割补法与转化，不规则图形的计算。 4.　动点问题中的最值探究，需确定动点轨迹与关键位置。 5.　圆与三角形、四边形、坐标系等的综合题及新定义跨学科问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，已知中，若，则度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2．如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径，且， ， 由垂径定理可得，且， 在中，由勾股定理可得． 3．下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④三个点确定一个圆 ⑤长度相等的两条弧是等弧．正确的命题有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①②中，直径是过圆心的特殊弦，故①正确，②错误； ③∵半圆是弧的一种，弧包含优弧、劣弧，∴该说法正确； ④∵共线的三个点不能确定一个圆，∴该说法错误； ⑤∵长度相等的弧不一定能完全重合，∴该说法错误； 综上，正确的命题共2个． 二、填空题 4．若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再根据圆锥侧面积公式计算结果． 【详解】解：∵圆锥的高为，母线长为， ∴由勾股定理可得，圆锥底面圆的半径 ， ∵圆锥侧面积公式为 ，其中是母线长， ∴代入得 ． 5．在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 【答案】14或2 【分析】分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示， 过O作， ∵， ∴， 根据题意得：， 此时两平行弦间的距离； 当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得： ， 综上，两平行弦间的距离等于14或2． 6．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三点，那么弦所对的圆周角的度数是___________． 【答案】或 【分析】连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理得出，进而即可求解． 【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，设是优弧上一点，    由图可得：，， ∴， 故， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴弦所对的圆周角的度数是或． 三、解答题 7．如图，以的边为直径画半圆，与，分别交于点D、E，．求证：． 【答案】证明：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】首先利用等边对等角得到，然后利用弧和圆周角的关系得到，即可得到． 【详解】略 8．如图，是上的四个点，． (1)的形状为_________； (2)探究线段之间的等量关系，并证明． 【答案】(1)等边三角形 (2)解：，证明如下： 在上截取， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明； （2）在上截取，得到为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，，， ∴是等边三角形； （2）略． 9．如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 【答案】(1)桥拱的半径为50米； (2)水面上涨的高度为10米． 【分析】（1）设圆的半径是r米，根据求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】（1）解：设圆的半径是r米， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； （2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 10．如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若时，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （2）连接，根据切线的判定定理得到是的切线，求得，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ∵为半径， ∴是的切线， ∴， ， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $