第2章 一元二次方程 单元复习（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年苏科版九年级数学上学期培优讲义

该初中数学单元复习讲义以“定义-解法-判别式-韦达定理-应用”为逻辑主线构建知识体系，通过表格对比四种解法的适用类型与步骤，用知识框架梳理根的判别式与韦达定理的关系，清晰呈现重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如“一元二次方程定义辨析”巩固核心知识，培优题型“根的代数式化简求值”通过降次技巧培养运算能力与推理意识，压轴题型“含参方程根的讨论”提升分类讨论能力。配套易错点总结和方法指导，助力不同层次学生自主复习，为教师实施精准教学提供支持。

第2章 一元二次方程 知识点1：一元二次方程的定义与一般形式 1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程，三者缺一不可。 2.一元二次方程的一般形式：（） 是二次项，是二次项系数 bx是一次项，是一次项系数 是常数项 注意：是一元二次方程的重要条件，若，则方程不是一元二次方程。 知识点2：一元二次方程的解法 解法 适用方程类型 方法步骤 直接开平方法 形如（）的方程 两边直接开平方，得，再解两个一元一次方程 配方法 所有一元二次方程 ①化二次项系数为1；②移项，常数项移到右边；③配方，两边加上一次项系数一半的平方；④左边写成完全平方式；⑤直接开平方求解 公式法 所有一元二次方程 ①化为一般形式，确定a, b, c；②计算判别式；③若，代入求根公式 因式分解法 右边为0，左边能分解因式的方程 ①将方程右边化为0；②将左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程 知识点3：根的判别式 1.定义：一元二次方程（）中，叫做根的判别式。 2.根的情况与判别式的关系： 判别式的符号 方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 3.注意： 若方程有两个实数根，则（不要漏掉等号） 若方程有实数根，则 应用判别式前，要先将方程化为一般形式 知识点4：根与系数的关系（韦达定理） 1.定理内容：若一元二次方程（）的两个根为，则： 2.常用变形公式： 变形公式 表达式 平方和 倒数和 差的绝对值 立方和 3.注意：应用韦达定理的前提是方程有实数根，即。 知识点5：一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审：审题，找等量关系 设：设未知数 列：根据等量关系列方程 解：解方程 验：检验方程的解是否符合实际意义 答：写出答案 2.常见应用类型： 类型 基本公式/等量关系 增长率问题 增长后量=增长前量增长率（为增长次数） 利润问题 总利润=单件利润销售量；单件利润=售价-进价 面积问题 利用几何图形的面积公式列方程 数字问题 两位数=十位数字个位数字 传播问题 每轮传播数=原有数传播速度) 【基础必考题型】 【题型1】一元二次方程的定义与一般形式辨析 1.核心知识点 一元二次方程的定义；一般形式与各项系数的识别；一元二次方程的条件 2.解题方法技巧 ①判断一元二次方程：先看是否为整式方程，再看是否只含一个未知数，最后看最高次数是否为2 ②化一般形式：先去分母、去括号、移项、合并同类项，右边化为0 ③确定各项系数：注意各项系数包括前面的符号，二次项系数不为0是重要条件 【例题1】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·山东济南·期末）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·吉林·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【变式题1-3】.（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【题型2】灵活选用适当方法解一元二次方程 1.核心知识点 一元二次方程四种解法的特点；解法选择的策略；方程结构的观察与判断 2.解题方法技巧 ①首选因式分解法：右边为0且左边易分解时，因式分解法最简便快捷 ②缺一次项用直接开平方法：形如或时，直接开平方 ③系数为1且常数项较大时用配方法：二次项系数为1、一次项系数为偶数时配方方便 ④公式法是万能方法：所有一元二次方程都可用公式法，但计算量较大，是最后选择 ⑤先观察后选择：拿到方程先观察结构特点，按"因式分解→直接开方→配方→公式"的优先级选择方法 【例题2】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广西百色·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·山东菏泽·期末）用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【题型3】根的判别式的基本应用 1.核心知识点 根的判别式的定义；判别式与根的情况的对应关系；判别式的计算 2.解题方法技巧 ①先将方程化为一般形式，确定a, b, c的值 ②计算，注意符号和运算顺序 ③根据的符号判断方程根的情况：两不等实根，两相等实根，无实根 ④已知根的情况求参数范围时，注意二次项系数不为0的条件 ⑤"有两个实数根"对应，不要漏掉等号 【例题3】.（25-26八年级下·广西百色·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【变式题3-1】.（25-26八年级下·广西百色·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的方程． (1)若该方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若是该方程的一个实数根，求该方程另一个实数根及的值． 【题型4】根与系数的关系（韦达定理） 1.核心知识点 韦达定理的内容；两根和与两根积的公式；常用变形公式；韦达定理的应用条件 2.解题方法技巧 ①先确认方程是一元二次方程且有实数根，即且 ②两根之和，注意前面有负号；两根之积 ③求代数式的值时，先将代数式变形为用和表示的形式 ④常用变形：平方和、倒数和、差的绝对值、立方和等，要熟记公式 ⑤已知一根求另一根或参数时，利用韦达定理列方程求解更简便 【例题4】.（25-26八年级下·山东日照·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·北京延庆·期末）设，是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两个实根，且，求的值． 【培优高频题型】 【题型5】根的代数式化简求值 1.核心知识点 韦达定理的应用；代数式的恒等变形；整体代入思想；方程根的意义 2.解题方法技巧 ①利用方程根的意义：若是方程的根，则 ②降次技巧：利用方程将高次幂降为低次幂，如 ③整体代入：将代数式变形为用和表示的形式，再整体代入 ④对称式变形：平方和、立方和、倒数和等对称式，利用韦达定理求解 ⑤注意：使用韦达定理前，要确认方程有实数根，即 【例题5】.（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽六安·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 【变式题5-2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【题型6】一元二次方程的实际应用——增长率与利润问题 1.核心知识点 增长率问题的基本公式；利润问题的基本关系；一元二次方程的建模思想 2.解题方法技巧 ①增长率问题：设增长率为，增长后量=增长前量，为增长次数 ②下降率问题：设下降率为，下降后量=下降前量 ③利润问题：总利润=单件利润销售量；单件利润=售价-进价 ④价格涨落与销量变化的关系：涨价则销量减少，降价则销量增加 ⑤解出方程后，要检验解是否符合实际意义，舍去不合理解 【例题6】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2026·黑龙江·三模）某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·山东泰安·期末）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【变式题6-3】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【题型7】一元二次方程的实际应用——面积与几何问题 1.核心知识点 常见几何图形的面积公式；图形变换中的面积关系；一元二次方程的几何应用 2.解题方法技巧 ①设未知数：通常设图形的边长、宽度等为 ②找等量关系：利用面积公式、面积和差关系列方程 ③边框问题：设边框宽度为，内部矩形的长和宽分别减去2x ④道路问题：利用平移将道路移到边上，剩余部分拼成新的矩形 ⑤解出方程后，要检验解是否符合几何意义，如边长不能为负 【例题7】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，学校打算用长的篱笆围成一个面积是的矩形生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长为．求这个生物园边的长． 【变式题7-1】.（2026·河北邯郸·模拟预测）项目主题：设计包装盒． 素材：如图1，矩形纸板中，，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)的长为_________； (2)若折叠成的包装盒底面积为，求包装盒的体积． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·广西百色·期末）综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： (1)设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． (2)求出剪去的小正方形的边长； (3)若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【压轴素养题型】 【题型8】含参方程根的讨论 1.核心知识点 一元二次方程的定义；根的判别式；分类讨论思想；参数的取值范围 2.解题方法技巧 ①先考虑方程类型：二次项系数含参数时，要分和两种情况讨论 ②时，方程为一元一次方程，判断是否有实数根 ③时，方程为一元二次方程，利用判别式判断根的情况 ④已知根的情况求参数范围时，注意"有两个实数根"隐含且 ⑤求出参数值后，要检验是否符合题意，特别是二次项系数不为0的条件 【例题8】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知为方程的两个实数根． (1)若，，则___________，___________； (2)若，，求的值； (3)求证：分解因式的结果可以是． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m为负整数时，求的值． 【变式题8-2】.（2026·福建福州·三模）实数、、满足，，且． (1)若，当时，求及的值； (2)是否存在使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题8-3】.（2026·广东清远·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【题型9】构造一元二次方程求解 1.核心知识点 韦达定理的逆用；一元二次方程的构造；换元法；转化思想 2.解题方法技巧 ①已知两根构造方程：若两根为，则方程为 ②换元法：将复杂的代数式设为新元，转化为一元二次方程求解 ③倒数方程：形如的方程，两边除以，设换元 ④高次方程：通过因式分解或换元，降次为一元二次方程求解 ⑤无理方程：两边平方或换元，转化为有理方程求解，注意验根 【例题9】.（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）材料1：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 材料2：若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)①若实数、满足：，，则___，___； ②写出符合条件的一元二次方程，使得其两根，满足，，方程：___ (2)若，，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·河南南阳·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． (1)请参考例题解法，解下列方程： ； ． (2)已知一元二次方程，，直接写出的值． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·全国·周测）【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 【题型10】新定义运算与一元二次方程 1.核心知识点 新定义运算的理解与转化；一元二次方程的解法；阅读理解能力 2.解题方法技巧 ①读懂新定义：仔细阅读定义，理解新运算的规则 ②转化为常规运算：按照定义将新运算转化为熟悉的四则运算或乘方 ③列出方程：根据题意列出含有新运算的方程 ④解方程：将新运算转化后，按一元二次方程的解法求解 ⑤注意运算顺序：新定义运算也要遵循常规的运算顺序和括号规则 【例题10】.（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______． (2)若是一元二次方程的倒方程的一个根，求该倒方程的另一个根． 【变式题10-2】.（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·广西桂林·阶段检测）探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： (1)请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． (2)已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； (3)在（2）的情况下，方程的“密码数”刚好是另一个“密码方程”的根，求和的值． 易错点 1.忽略一元二次方程中二次项系数不为0的条件，特别是含参数的方程讨论时漏掉。 2.用配方法解方程时，二次项系数未化为1就配方，或配方时只在左边加常数，右边忘记加。 3.用公式法时，求根公式记错，特别是的符号和分母的2a容易出错。 4.用因式分解法时，方程右边未化为0就分解因式，导致错误。 5.在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根，这是因式分解法的常见错误。 6.应用根的判别式时，"有两个实数根"对应，容易漏掉等号。 7.应用韦达定理时，两根之和，容易漏掉前面的负号。 8.列方程解应用题时，未检验解是否符合实际意义，导致答案不合情理。 9.增长率问题中，增长次数判断错误，特别是"两年后"是2次方不是3次方。 10.面积问题中，边框宽度是两边都有，应该减2x不是减。 11.含参数的方程，未分类讨论二次项系数是否为0，直接按一元二次方程处理。 重点 1.一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，要熟练掌握并灵活选用。 2.根的判别式的计算与应用，判断方程根的情况，或已知根的情况求参数范围。 3.根与系数的关系（韦达定理）：两根之和与两根之积的公式，以及各种变形的应用。 4.列一元二次方程解应用题，特别是增长率问题、利润问题、面积问题等常见类型。 5.数学思想方法：转化思想（高次转低次、未知转已知）、分类讨论思想、数形结合思想、方程思想。 难点 1.含参数的一元二次方程根的讨论，特别是二次项系数含参数时的分类讨论。 2.根的代数式的化简与求值，特别是利用方程根的意义进行降次，以及韦达定理的灵活应用。 3.整数根与有理根问题，需要结合判别式、完全平方数、整数性质等综合分析。 4.一元二次方程与几何图形的综合应用，特别是动点问题，需要数形结合和分类讨论。 5.新定义、新情境、跨学科等创新题型，需要阅读理解能力和知识迁移能力。 6.构造一元二次方程求解的技巧，如换元法、韦达定理逆用等，需要较强的转化能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 2．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 3．临海市2023年总值约为892亿元，2025年总值约为1018亿元，设2023年至2025年底的临海市年平均增长率为x，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 5．设m，n是方程的两实数根，则______． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 8．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 9．【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 10．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． (1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ (2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程 知识点1：一元二次方程的定义与一般形式 1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程，三者缺一不可。 2.一元二次方程的一般形式：（） 是二次项，是二次项系数 bx是一次项，是一次项系数 是常数项 注意：是一元二次方程的重要条件，若，则方程不是一元二次方程。 知识点2：一元二次方程的解法 解法 适用方程类型 方法步骤 直接开平方法 形如（）的方程 两边直接开平方，得，再解两个一元一次方程 配方法 所有一元二次方程 ①化二次项系数为1；②移项，常数项移到右边；③配方，两边加上一次项系数一半的平方；④左边写成完全平方式；⑤直接开平方求解 公式法 所有一元二次方程 ①化为一般形式，确定a, b, c；②计算判别式；③若，代入求根公式 因式分解法 右边为0，左边能分解因式的方程 ①将方程右边化为0；②将左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程 知识点3：根的判别式 1.定义：一元二次方程（）中，叫做根的判别式。 2.根的情况与判别式的关系： 判别式的符号 方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 3.注意： 若方程有两个实数根，则（不要漏掉等号） 若方程有实数根，则 应用判别式前，要先将方程化为一般形式 知识点4：根与系数的关系（韦达定理） 1.定理内容：若一元二次方程（）的两个根为，则： 2.常用变形公式： 变形公式 表达式 平方和 倒数和 差的绝对值 立方和 3.注意：应用韦达定理的前提是方程有实数根，即。 知识点5：一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审：审题，找等量关系 设：设未知数 列：根据等量关系列方程 解：解方程 验：检验方程的解是否符合实际意义 答：写出答案 2.常见应用类型： 类型 基本公式/等量关系 增长率问题 增长后量=增长前量增长率（为增长次数） 利润问题 总利润=单件利润销售量；单件利润=售价-进价 面积问题 利用几何图形的面积公式列方程 数字问题 两位数=十位数字个位数字 传播问题 每轮传播数=原有数传播速度) 【基础必考题型】 【题型1】一元二次方程的定义与一般形式辨析 1.核心知识点 一元二次方程的定义；一般形式与各项系数的识别；一元二次方程的条件 2.解题方法技巧 ①判断一元二次方程：先看是否为整式方程，再看是否只含一个未知数，最后看最高次数是否为2 ②化一般形式：先去分母、去括号、移项、合并同类项，右边化为0 ③确定各项系数：注意各项系数包括前面的符号，二次项系数不为0是重要条件 【例题1】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．所以一元二次方程满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有，两个未知数，不符合定义，故A选项不符合题意； 选项B：方程是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，故B选项符合题意； 选项C：方程中含未知数的项的最高次数为，是一元一次方程，不符合定义，故C选项不符合题意； 选项D：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故D选项不符合题意． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·山东济南·期末）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·吉林·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】 ，， 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【题型2】灵活选用适当方法解一元二次方程 1.核心知识点 一元二次方程四种解法的特点；解法选择的策略；方程结构的观察与判断 2.解题方法技巧 ①首选因式分解法：右边为0且左边易分解时，因式分解法最简便快捷 ②缺一次项用直接开平方法：形如或时，直接开平方 ③系数为1且常数项较大时用配方法：二次项系数为1、一次项系数为偶数时配方方便 ④公式法是万能方法：所有一元二次方程都可用公式法，但计算量较大，是最后选择 ⑤先观察后选择：拿到方程先观察结构特点，按"因式分解→直接开方→配方→公式"的优先级选择方法 【例题2】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 移项得 配方得 即 开方得或 解得； （2） 移项得 变形得 提取公因式得 化简得 即或 解得． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广西百色·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， ， 或， 解得：，． （2）解：中，，， ， 则， 解得：，． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·山东菏泽·期末）用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：整理得， 因式分解得， 或， 解得：，； （2）解：， 整理得， 配方得：，即， 两边同时开方得：， 解得：，． 【题型3】根的判别式的基本应用 1.核心知识点 根的判别式的定义；判别式与根的情况的对应关系；判别式的计算 2.解题方法技巧 ①先将方程化为一般形式，确定a, b, c的值 ②计算，注意符号和运算顺序 ③根据的符号判断方程根的情况：两不等实根，两相等实根，无实根 ④已知根的情况求参数范围时，注意二次项系数不为0的条件 ⑤"有两个实数根"对应，不要漏掉等号 【例题3】.（25-26八年级下·广西百色·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的情况判断，利用一元二次方程根的判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·广西百色·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A 选项：对于方程 ，， 方程有两个相等的实数根，不符合要求； B 选项：对于方程 ，， 方程有两个不相等的实数根，符合要求； C 选项：对于方程 ，， 方程没有实数根，不符合要求； D 选项：对于方程 ，， 方程有两个相等的实数根，不符合要求． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ， 该方程总有两个实数根； (2) 的值为或 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值. 【详解】（1）略 （2）解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 【变式题3-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的方程． (1)若该方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若是该方程的一个实数根，求该方程另一个实数根及的值． 【答案】(1) (2)另一个实数根为， 【分析】（1）根据题意可得，，从而求出k的值； （2）将代入方程，求出k的值，再将k的值代入原方程，求解出另一实数根即可． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入，得， ， 解得， 当时，原方程为， 因式分解，得， 解得或， ∴方程的另一实数根为． 【题型4】根与系数的关系（韦达定理） 1.核心知识点 韦达定理的内容；两根和与两根积的公式；常用变形公式；韦达定理的应用条件 2.解题方法技巧 ①先确认方程是一元二次方程且有实数根，即且 ②两根之和，注意前面有负号；两根之积 ③求代数式的值时，先将代数式变形为用和表示的形式 ④常用变形：平方和、倒数和、差的绝对值、立方和等，要熟记公式 ⑤已知一根求另一根或参数时，利用韦达定理列方程求解更简便 【例题4】.（25-26八年级下·山东日照·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·北京延庆·期末）设，是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】先将所求代数式通分变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，最后代入变形后的代数式计算即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得： ， ， ． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两个实根，且，求的值． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)2 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】（1）略； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴， 解得． 【培优高频题型】 【题型5】根的代数式化简求值 1.核心知识点 韦达定理的应用；代数式的恒等变形；整体代入思想；方程根的意义 2.解题方法技巧 ①利用方程根的意义：若是方程的根，则 ②降次技巧：利用方程将高次幂降为低次幂，如 ③整体代入：将代数式变形为用和表示的形式，再整体代入 ④对称式变形：平方和、立方和、倒数和等对称式，利用韦达定理求解 ⑤注意：使用韦达定理前，要确认方程有实数根，即 【例题5】.（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽六安·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将所求式子变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴，， 又∵ ， ∴ 代入得． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 【题型6】一元二次方程的实际应用——增长率与利润问题 1.核心知识点 增长率问题的基本公式；利润问题的基本关系；一元二次方程的建模思想 2.解题方法技巧 ①增长率问题：设增长率为，增长后量=增长前量，为增长次数 ②下降率问题：设下降率为，下降后量=下降前量 ③利润问题：总利润=单件利润销售量；单件利润=售价-进价 ④价格涨落与销量变化的关系：涨价则销量减少，降价则销量增加 ⑤解出方程后，要检验解是否符合实际意义，舍去不合理解 【例题6】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，根据月均增长率依次推导7月和8月的产值，即可列出正确方程. 【详解】解：∵月均增长率为，6月份产值为万元， ∴7月份产值为 万元， ∴8月份产值为 万元， ∵预计8月份产值为万元， ∴列方程得 【变式题6-1】.（2026·黑龙江·三模）某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总利润=每件利润×销售量”，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件涨价元， ∴涨价后每件售价为元，每件利润为元， ∵每件涨价1元，销售量就减少30件， ∴涨价元后，销售量为件， 结合总利润为1920元，可得方程． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·山东泰安·期末）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程并求解，结合实际即可获得答案； （2）设降价元，则单件利润为元，每日销量为件，根据题意列出一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，可得， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 答：月平均增长率为； （2）解：设降价元，则单件利润为（元），每日销量为（件）， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，， 要求尽快减少库存，选择降价更多的，降价元， 答：售价应降低20元． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)每袋酥饼需要降价元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长规律得到9月销量的表达式，结合题干给出的9月销量列方程，解方程即可得到结果； （2）设每袋酥饼需要降价元， 根据题意列一元二次方程，解方程即可得到结果． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为； （2）解：设每袋酥饼需要降价元， 则每袋酥饼的利润为元，单日销售量为袋， 由题意得，， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价元． 【题型7】一元二次方程的实际应用——面积与几何问题 1.核心知识点 常见几何图形的面积公式；图形变换中的面积关系；一元二次方程的几何应用 2.解题方法技巧 ①设未知数：通常设图形的边长、宽度等为 ②找等量关系：利用面积公式、面积和差关系列方程 ③边框问题：设边框宽度为，内部矩形的长和宽分别减去2x ④道路问题：利用平移将道路移到边上，剩余部分拼成新的矩形 ⑤解出方程后，要检验解是否符合几何意义，如边长不能为负 【例题7】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，学校打算用长的篱笆围成一个面积是的矩形生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长为．求这个生物园边的长． 【答案】 【分析】设这个生物园边的长为，则，根据面积建立方程，解方程求出的值，再结合即可求解． 【详解】解：设这个生物园边的长为，则， 由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，超过墙长，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴这个生物园边的长为． 【变式题7-1】.（2026·河北邯郸·模拟预测）项目主题：设计包装盒． 素材：如图1，矩形纸板中，，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)的长为_________； (2)若折叠成的包装盒底面积为，求包装盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合矩形与长方体的关系求解即可； （2）设长方体的高为，表示出长方体的长与宽，再根据包装盒底面积为，求解x的值，再由体积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据矩形与长方体的关系可知，矩形纸板对应两个“长高”， 即； （2）解：设长方体的高为，则长方体的宽为，长为， ∵包装盒底面积为， ∴，即， 解得（大于的长度，不满足题意，舍）， ∴长方体的高为，宽为，长为， 故包装盒的体积为． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·广西百色·期末）综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： (1)设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． (2)求出剪去的小正方形的边长； (3)若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【答案】(1)， (2) (3)个 【分析】（1）剩余图案阴影区域的长和宽为长方形卡纸的长和宽减去个小正方形的边长，据此列代数式； （2）根据长方形面积建立一元二次方程求解即可； （3）先求出剩余图案阴影区域的长和宽，再求解长和宽上可裁剪的个数即可． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为，则长为，宽为； （2）解：由题意得，， 整理得 解得， 当时，长和宽均小于0，不符合题意，舍去， ∴小正方形的边长为； （3）解：当小正方形的边长为时，剩余图案阴影区域的长为，宽为， ∵，取整数；， ∴ ∴最多可以裁剪个． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；； (2)1或3 (3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，进而分类讨论求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 【压轴素养题型】 【题型8】含参方程根的讨论 1.核心知识点 一元二次方程的定义；根的判别式；分类讨论思想；参数的取值范围 2.解题方法技巧 ①先考虑方程类型：二次项系数含参数时，要分和两种情况讨论 ②时，方程为一元一次方程，判断是否有实数根 ③时，方程为一元二次方程，利用判别式判断根的情况 ④已知根的情况求参数范围时，注意"有两个实数根"隐含且 ⑤求出参数值后，要检验是否符合题意，特别是二次项系数不为0的条件 【例题8】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知为方程的两个实数根． (1)若，，则___________，___________； (2)若，，求的值； (3)求证：分解因式的结果可以是． 【答案】(1)0， (2) (3)证明：为方程的两个实数根， ， ， ， 即分解因式的结果可以是． 【分析】（1）利用因式分解法得到，据此求解即可； （2）原方程可化为，利用根与系数的关系求解即可； （3）利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：若， ∴原方程可化为，即， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 原方程可化为． ， ． 为方程的两个实数根， ， ； （3）略 【变式题8-1】.（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m为负整数时，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟知以下知识点是解本题的关键：一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；若分别是一元二次方程的两个根，则，． （1）根据题意可知且，再进一步求解即可； （2）先求出的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． （2）解：∵且，为负整数， ∴， ∴方程化为， ∴， ∴，， ∴． 【变式题8-2】.（2026·福建福州·三模）实数、、满足，，且． (1)若，当时，求及的值； (2)是否存在使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）易得、是关于的方程的两个不相等的实数根，把，代入方程，再解一元二次方程即可； （2）根据根与系数的关系，列出方程求出的值，再把的值代入原方程，判断方程的根的情况，进行取舍即可. 【详解】（1）解：，，且 、是关于的方程的两个不相等的实数根， 当时，方程化为， 解得或 ，． （2）解：存在 理由：由（1）得、是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴，，， ， 解得或； 当时，方程化为，此时，符合题意； 当时，方程化为，此时，不符合题意； ． 【变式题8-3】.（2026·广东清远·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，计算判别式后解不等式即可得到m的取值范围； （2）先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于m的方程，求解后结合第一问的范围舍去不合理的解，即可得到m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，其中，，， ， 解得； （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 代入得：， 解得，， ∵由（1）知，，不符合要求，舍去， ∴． 【题型9】构造一元二次方程求解 1.核心知识点 韦达定理的逆用；一元二次方程的构造；换元法；转化思想 2.解题方法技巧 ①已知两根构造方程：若两根为，则方程为 ②换元法：将复杂的代数式设为新元，转化为一元二次方程求解 ③倒数方程：形如的方程，两边除以，设换元 ④高次方程：通过因式分解或换元，降次为一元二次方程求解 ⑤无理方程：两边平方或换元，转化为有理方程求解，注意验根 【例题9】.（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）材料1：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 材料2：若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)①若实数、满足：，，则___，___； ②写出符合条件的一元二次方程，使得其两根，满足，，方程：___ (2)若，，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1)① ，；② (2)的值为4 (3)的最大值为1 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式以及利用方程根的定义构造方程．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式以及利用方程根的定义构造方程是解题的关键． （1）①根据材料1，可将、看作一元二次方程的两个根，然后依据韦达定理直接得出两根之和和两根之积； ②已知两根的和与积，根据材料2，直接代入一元二次方程的构造形式即可求解； （2）先对和进行变形，通过平方等操作，分别求出和的值，然后将其代入已知等式，建立关于的方程，进而求解出的值； （3）根据和的表达式，把、可看作一元二次方程的两个实数根，再利用一元二次方程的判别式，结合的条件，分析得出的取值范围，最终求出的最大值． 【详解】（1）解：① 、满足：，， 则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 根据韦达定理可得，， 故答案为：，； ②两根，满足，， ，是关于的一元二次方程的两个实数根， 故答案为：． （2）解：对于 ，则， 两边平方可得，即， 整理得， ； 对于，则， 两边平方可得，即， 整理得， ． 将，代入， 得，即， 解得． （3）解：实数、满足、， 、可看作一元二次方程的两个实数根， ， 、是实数， ， 又，即， ，即， ， 解得． 的最大值为1． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·河南南阳·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． (1)请参考例题解法，解下列方程： ； ． (2)已知一元二次方程，，直接写出的值． 【答案】(1)，；， (2)或或12 【分析】本题主要考查了换元法在解一元二次方程中的应用，正确理解题意，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）①设，则原方程换元为，由此求解即可； ②设，则原方程换元为，由此求解即可； （2）设，则，设，则，求出的值，则，分为四种情况代入计算求解即可． 【详解】（1）解：， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 解得，， ， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 即， 解得，； （2）设，则， 原方程换元为， 解得，， 设，则， 原方程换元为， 解得，， 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 综上，的值为或或． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·全国·周测）【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 【答案】(1) ， (2) ， (3) 【分析】（1）将方程变形为平方差形式后，通过计算求出的值，进而得到t的解，再代回换元式求出x的解； （2）通过换元将原方程变形，再取两个因式的平均值换元，转化为平方差形式求解，最后代回换元式得到x的解； （3）归纳出当一元二次方程可化成形如（m、n、p为常数）的形式时，可采用材料中的方法求解． 【详解】（1）解：∵ 第二步得到方程， 根据平方差公式， ∴ 可变形为， 即， 计算得，则， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得，． （2）∵ 原方程为，令，则方程变形为， 进一步整理为， 取两个多项式的平均值，令，设，， ∴ 原方程可化为， ∵ ， ∴ ，即，解得， 当时，，得； 当时，，得； 又∵ ， ∴ 或 ， 解得，． （3）∵ 材料中的方法本质是平方根法的推广，通过对两个一次因式取平均值换元，转化为平方差形式求解， ∴ 当一元二次方程可化成形如（其中、、为常数）的方程时，可用材料中的方法求解． 【点睛】本题主要考查平方差公式、换元法在一元二次方程求解中的应用，以及一元二次方程的结构归纳，掌握通过换元将复杂方程转化为平方差形式的技巧，和对特定形式方程的识别及对应解法的应用是解题的关键． 【题型10】新定义运算与一元二次方程 1.核心知识点 新定义运算的理解与转化；一元二次方程的解法；阅读理解能力 2.解题方法技巧 ①读懂新定义：仔细阅读定义，理解新运算的规则 ②转化为常规运算：按照定义将新运算转化为熟悉的四则运算或乘方 ③列出方程：根据题意列出含有新运算的方程 ④解方程：将新运算转化后，按一元二次方程的解法求解 ⑤注意运算顺序：新定义运算也要遵循常规的运算顺序和括号规则 【例题10】.（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)， (3)代数式的最小值为 【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可； （2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可； （3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______． (2)若是一元二次方程的倒方程的一个根，求该倒方程的另一个根． 【答案】(1) (2)，． 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及解一元二次方程． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入求得的值，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； 故答案为：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入得，， 解得； 当时，， 因式分解得， 解得，． 【变式题10-2】.（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【答案】(1)①② (2)7或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得，再根据“根差2方程”的定义可得，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即，然后化简即可解答 【详解】（1）解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，，则该方程为“根差2方程”； ③的解为，，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． （2）解：设关于x的方程的解为，则， ∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”， ∴，即， ∴，解得：或． （3）解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”， ∴，， ∴， ∵ ∴． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·广西桂林·阶段检测）探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： (1)请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． (2)已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； (3)在（2）的情况下，方程的“密码数”刚好是另一个“密码方程”的根，求和的值． 【答案】(1)①不是，理由见解析；②是，理由见解析，密码数是71 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根，解二元一次方程组． （1）根据“密码数”的定义判断即可； （2）根据“密码数”的定义可知，方程的两个根为，分别代入得出，解方程组可求出和的值； （3）由题意可知是方程的根，可得，由是“密码方程”可得，然后解方程组即可求出和的值． 【详解】（1）①解得，0不是正整数，故不是“密码方程”； ②解得，两根均为正整数． 又∵， ∴是“密码方程”，密码数是71； （2）∵方程是“密码方程”，“密码数”是31， ∴方程的两个根为， 把分别代入得， ， 解得； （3）由题意可知，是方程的根， ∴，即， ∵是“密码方程”， ∴，即 解得． 易错点 1.忽略一元二次方程中二次项系数不为0的条件，特别是含参数的方程讨论时漏掉。 2.用配方法解方程时，二次项系数未化为1就配方，或配方时只在左边加常数，右边忘记加。 3.用公式法时，求根公式记错，特别是的符号和分母的2a容易出错。 4.用因式分解法时，方程右边未化为0就分解因式，导致错误。 5.在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根，这是因式分解法的常见错误。 6.应用根的判别式时，"有两个实数根"对应，容易漏掉等号。 7.应用韦达定理时，两根之和，容易漏掉前面的负号。 8.列方程解应用题时，未检验解是否符合实际意义，导致答案不合情理。 9.增长率问题中，增长次数判断错误，特别是"两年后"是2次方不是3次方。 10.面积问题中，边框宽度是两边都有，应该减2x不是减。 11.含参数的方程，未分类讨论二次项系数是否为0，直接按一元二次方程处理。 重点 1.一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，要熟练掌握并灵活选用。 2.根的判别式的计算与应用，判断方程根的情况，或已知根的情况求参数范围。 3.根与系数的关系（韦达定理）：两根之和与两根之积的公式，以及各种变形的应用。 4.列一元二次方程解应用题，特别是增长率问题、利润问题、面积问题等常见类型。 5.数学思想方法：转化思想（高次转低次、未知转已知）、分类讨论思想、数形结合思想、方程思想。 难点 1.含参数的一元二次方程根的讨论，特别是二次项系数含参数时的分类讨论。 2.根的代数式的化简与求值，特别是利用方程根的意义进行降次，以及韦达定理的灵活应用。 3.整数根与有理根问题，需要结合判别式、完全平方数、整数性质等综合分析。 4.一元二次方程与几何图形的综合应用，特别是动点问题，需要数形结合和分类讨论。 5.新定义、新情境、跨学科等创新题型，需要阅读理解能力和知识迁移能力。 6.构造一元二次方程求解的技巧，如换元法、韦达定理逆用等，需要较强的转化能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 2．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 3．临海市2023年总值约为892亿元，2025年总值约为1018亿元，设2023年至2025年底的临海市年平均增长率为x，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵2023年总值为亿元，年平均增长率为， ∴2024年的总值为亿元， ∴2025年的总值为亿元． 又∵2025年总值为亿元， ∴可列方程． 二、填空题 4．若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 【答案】 【分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 5．设m，n是方程的两实数根，则______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入计算即可得到结果，用到的都是初中一元二次方程的基础性质． 【详解】解 是方程的实数根， ， 整理得， ，是方程的两实数根， 由根与系数的关系得， ∴． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】当一元二次方程有实数根时，根的判别式大于等于，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得， ∴的取值范围是． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， 或， ． （2）解：， 整理得：， ， ， ． 8．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 9．【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【答案】(1)两条对角线的长分别为和 (2)对角线的长为 (3)的值为 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【详解】（1）解将代入方程： ， 化简： ， 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和． （2）解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ， 令： ， ， ， 解得（满足）， 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6． （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ， 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入： ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为． 10．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． (1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ (2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 【答案】(1)每个B款冰箱贴的售价为25元 (2)每个A款冰箱贴应降价10元 【分析】（1）设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元，根据“用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个”列分式方程求解； （2）设每个A款冰箱贴应降价y元，根据“每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元”列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴每个B款冰箱贴的售价为25元； （2）解：设每个A款冰箱贴应降价y元， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴每个A款冰箱贴应降价10元． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $