专题特训7 圆中的分类讨论&专题特训8 圆中常见的辅助线作法-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第3章圆 专题特训七 圆中的分类讨论 类型一点与圆的位置的分类讨论问题 1.已知P是⊙O外一点，PA,PB分别切⊙O于点A,B,∠P=70°，C是⊙O上的点（不与点A,B 重合)，则∠ACB的度数为 () A.70 B.55° C.70°或110° D.55或125° 类型二点或弦位置的分类讨论问题 2.已知圆中的一条弦所对的圆心角是30°，则这条弦所对的圆周角的度数是 3.如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的一动点，且√2≤OP≤2，则弦 AB所对的圆周角的度数为 0, 4.在半径为2的圆中，弦AB,AC的长分别为2,23，则弦BC的长为 B (第3题) 类型三点的运动位置的分类讨论问题 5.如图，在□OABC中，以点O为圆心、OC长为半径的圆切AB于点B,F是圆上一动点，作射线 AF交⊙O于另一点E.当EF=BC时，∠BAF的度数为 B D (第5题) (第6题) 6.分类讨论思想如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H,连接OB.已知OB=2cm, ∠OBC=30°，动点E在直径AD上从点D向点A以1c/s的速度运动，运动时间为ts,连接 BE.当∠OBE=30时，t的值为 类型四相切位置的分类讨论问题 y 7.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(0,2)，(4,0)，P是直线y= 2x十2上的一动点，当以点P为圆心、PO长为半径的圆与△AOB的一条边所 B 在的直线相切时，点P的坐标为 (第7题) 8.在△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,点P在∠ABC的平分线上，以点P为圆心作⊙P. (1)如图，当⊙P经过点C时，求证：⊙P与直线AB相切. (2)当⊙P同时与直线BC,AC相切时，⊙P的半径为 (第8题) “答案与解析”见P41 65 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 专题特训)八圆中常见的辅助线作法 类型一定点定长构造隐圆 1.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,且∠CAD=3∠BAC.若∠DBC= 42°，则∠CAD= ,∠BDC= 2.★如图①，把一块含45°角的三角尺ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三（第1题） 角尺的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上.连接 AF,取AF的中点M、EF的中点N,连接DM,MN. (1)尝试探究：DM,MN之间的数量关系是 ,DM,MN之间的位置关系是 (2)猜想论证：证明你的结论. (3)拓展延伸：如图②，将图①中的三角尺ECF绕点C按顺时针方向旋转180°，其他条件不变， (1)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由. ① (第2题) 3.如图，在△ABC中，AB=AC,DE垂直平分AC,连接BD,CD,AD,AD交BC于点P, ∠CBD=30°. (1)求证：AB=AD (2)当△ABP是等腰三角形时，求∠ABC的度数. (第3题) 类型二定角对定边构造所在圆 4.在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),B(一6,0)，C是y轴上的一个动点.当∠BCA=45时，点 C的坐标为 5.[2024宿迁沭阳期中]如图，在△ABC中，AC=2,BC=3,∠ACB=30°，D是 •0 △ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P,交边B BC于点E.若AE=CP,则AD长的最小值为， (第5题) 66 第3章圆 类型三遇直径构造90°的圆周角 6.如图①，AB是⊙O的直径，且AB=10,C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点 C,AD⊥EF,垂足为D (1)求证：∠DAC=∠BAC. (2)若AD和⊙O相切于点A,则AD的长为 (3)如图②，若把直线EF向上平移，EF交⊙O于G,C两点，连接AG,题中的其他条件不变，这 时是否存在与∠DAC相等的角？若存在，请找出相等的角并证明；若不存在，请说明理由. B 0 A DF E G CDF ① ② (第6题) 类型四遇切线巧作过切点的半径 7.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A,且PA=PB. (1)求证：PB是⊙O的切线. (2)已知PA=√3，∠ACB=60°，求⊙O的半径. B (第7题) 类型五补全垂直于直径的弦 8.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD⊥AB于点D,E为BC上一点，AC=CE,AE 与CD相交于点F,与BC相交于点G,连接AC.求证： (1)AE=2CD. (2)点F是△ACG的外心. D 0 B (第8题) ●“答案与解析”见P43 67÷∠AbC=18r-2×(180-90=135:∠BB0=135 ∴.∠AEB=360°-∠AEC-∠BEC=360°-135°-135°=90°， 又，AE=BE,∴△ABE为等腰直角三角形.EH⊥AB, AH=BH,即H为AB的中点.“EH=AB. D H B (第6题) 方法归纳 解决含60°，90°，120°角的三角形的 内切圆的相关问题的一般方法 解决含60°，90°，120°角的三角形的内切圆的相关问 题时，可利用内切圆的性质求得这个特殊角的内心角（即 特殊角对边的两个顶点分别与内心连接而成的角)的度 数，再结合图形的相关性质求出相关的边长或角的度数 专题特训七圆中的分类讨论 1.D如图.：PA,PB分别切⊙O于点A,B, .∠OAP=∠OBP=90°.∠P=70°，∴.∠AOB= 360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-70°= 110.当点C在优弧AB上时，∠ACB=7∠AOB=55, 当点C'在劣弧AB上时，∠AC'B=180°-∠ACB=125°， 综上所述，∠ACB的度数为55或125°. A (第1题) 2.15或165如图，∠A0B=30,则∠C=2∠A0B= 15°.：四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴.∠D= 180°一∠C=165°.因此，弦AB所对的圆周角的度数为15 或165°. ADB (第2题) 3.45或135°如图，连接OA,OB,过点O作OD LAB于 点D,在⊙O上AB的两侧分别取点E,F,连接AE,BE, AF,BF.:P是弦AB上的一动点，且2≤OP≤2， .OD=2..AD=√OA2-OD=W2.∴.AD=OD ∴.∠OAB=∠AOD=45°.：OA=OB,OD⊥AB, .∠AOD=∠BOD.∴.∠AOB=2∠AOD=90..∠AEB= ∠A0B-45,:∠E+∠F=180,∠F-135.综上 1 所述，弦AB所对的圆周角的度数为45°或135. (第3题) 4.2或4如图，记该圆为⊙O,过点O作OD⊥AB,OE⊥ AC,垂足分别为D,E,连接OA,0C',AE=AC 5,AD-2AB=1,AE=CE,AD=BD.在R△OEA中， OE=VOA-AE-2-5-1.40E=20A,则 ∠OAE=30°.同理，可得∠AOD=30°.∴.∠AOE=90° ∠OAE=60°..OC=OA=OB,∴.∠AOE=∠COE= 60°，∠AOD=∠BOD=30°.当AB,AC在圆心O的异侧 时，∠BOC=∠AOC+∠AOB=60°×2+30°×2=180°， ∴.BC是⊙O的直径.∴.BC的长为4.当AB,AC在圆心 O的同侧时，，'AC'=AC=23,OA=OA,OC=OC=2, ∴.△A0C'≌△AOC(SSS)..∠AOC'=∠AOC=120° ∴.∠BOC'=∠AOC-∠AOB=120°-60°=60° OB=OC',∴.△OBC是等边三角形.∴.BC'=OB=2. 综上所述，弦BC的长为2或4. B (第4题) 5.75或15°如图，当AF在OA的上方时，连接OE,OF, OB,过点O作OH⊥EF于点H.:OE=OB,OF=OC, EF=BC,∴.△OEF≌△OBC(SSS).∴.易得∠C= ∠OBC=∠E=∠OFE.,以OC长为半径的圆切AB于 点B,.OB⊥AB.,四边形OABC是平行四边形， ∴.OA=BC,ABOC..OB⊥OC..△OBC是等腰直 角三角形..易得∠C=∠OAB=∠OBC=45°.∴.∠E= ∠EFO=45.·易得OH=2EF.:OA=BC=EF, ∴.OH= 0A.·易得∠0AH=30∠BAF=46+ 30°=75°.当AF(即AF')在OA的下方时，同理，可得 ∠OAF'=30°.∴.∠BAF′=45°-30°=15°.综上所述， ∠BAF的度数为75或15， E (第5题) 6.1或4如图，连接AB.当点E在点O的下方时， ∠OBE=30°，∠OBC=30°，∴.点E与点H重合 OB=2cm,BC⊥AD,∴.易得OE=1cm..DE= OD-OE=1cm.∴.t=1.当点E在点O的上方时， :BC⊥AD,∠OBC=30°，∴.∠BOH=90°-∠OBC= 60.:0B=0A,·∠0BA=号∠B0H=30 ∠OBE=30°，∴.点E和点A重合.∴.DE=4cm. ∴.t=4.综上所述，当∠OBE=30时，t的值为1或4. A(E) 0 C (第6题) 7.(-)或(-1,0)或0,2)记直线y=2x+2与 x轴的交点为C,则易得点C的坐标为（一1,0）.点A,B 的坐标分别是(0,2)，(4,0)，∴.易得直线AB对应的函数 表达式为y=-2x十2.AC=5,AB=20,BC=25, ∴.AC+AB2=BC2..∠CAB=90°，即AC⊥AB.:P 是直线y=2x十2上的一动点，∴.PA⊥AB.①如图①，当 ⊙P与边AB所在的直线相切时，易知AC为⊙P的直径. PA=PC,即P为AC的中点.∴.点P的坐标为 (仁21)小.@如图@，当⊙P与边A0所在的直线相切 时，PO LAO,即点P在x轴上.∴点P与点C重合. ∴.点P的坐标为（一1,0）.③如图③，当⊙P与边B0所 在的直线相切时，PO⊥BO,即点P在y轴上.∴.点P与 点A重合.∴点P的坐标为(0,2).综上所述，点P的坐标 为(-7,1)或(-1,0或0,2). B B ① ② (P) ③ (第7题) 8.(1)如图①，过点P作PD⊥AB于点D.:AB=5, BC=3,AC=4,∴.AB2=BC2+AC2.∴.∠ACB=90. ∴.PC⊥BC.:BP平分∠ABC,PC⊥BC,PD⊥AB, ∴PC=PD.⊙P经过点C,∴.PC,PD为⊙O的半径 又：PDLAB,∴.⊙P与直线AB相切.(2)1或3. 如图②，当⊙P同时与直线BC,AC相切时，点P在 ∠ACB或∠ACM的平分线上.分两种情况讨论：①当圆 心在△ABC内部，即⊙P,分别与BC,AC相切于点G,F 时，连接P,G,PF,过点P,作P,E⊥AB于点E.:点 P,在∠ABC的平分线上，P,E⊥AB,P,G⊥BC, .P,E=P,G.设PG=P,F=P,E=r.连接AP1,CP P,G⊥BC,P,ELAB,P,F⊥AC,.S△A=S△ABP,+ Sae,+Sam,-AB·P,E+2AC.P,F+号BC, 2S△AC P:G-(AB+AC+BC).r.rABFAC+BC= 2X2×3×4 5十4什3=1，②当圆心在△ABC外部，即⊙P,分别 与直线BC,AC相切于点M,N时，连接P,M,P2N,过点 P2作PQ⊥BA,交BA的延长线于点Q.·点P2在 ∠ABC的平分线上，P2M⊥BC,P2Q⊥AB,.P2M= PzQ.设P2M=P2N=PQ=R.连接AP2,CP2. :P,M⊥BC,P,Q⊥AB,P2N⊥AC,∴.S△A= Sm,十+S,-Sa,-号AB·P.Q+2BC· P,M-AC·P,N=ZB+BC-AC)·R·R 2S△Ax 2x号×3X4 AB+BC-AC=5+3-4=3.综上所述，⊙P的半径 为1或3. D ① ② (第8题) 专题特训八圆中常见的辅助线作法 1.84°14°AB=AC=AD,.点B,C,D在以点A 为圆心、AB长为半径的圆上（如图）.·∠DBC=42°， .∠CAD=2∠DBC=84°.∠CAD=3∠BAC, ·∠BAC=号∠CAD=28.:∠BDC=克∠BAC, ∠BDC=号×28=14 D (第1题) 2.(1)DM=MN;DM⊥MN.(2)连接AE.,M是AF 的中点，N是EF的中点，.MN是△AEF的中位线 :MN=号AE.:四边形ABCD是正方形，∠ADF ∠B=90°，AD=AB=BC=CD.在Rt△ADF中，M是 AF的中点，·DM=2AF=AM=ME.由题意知， △ECF是等腰直角三角形，∴.FC=EC..CD一FC= BC-EC,即DF=BE.在△ADF和△ABE中， AD-AB, ∠ADF=∠B,.△ADF≌△ABE(SAS)...AF=AE. DF=BE, ·.MN=2AR.·MN=DM=AM=ME..点A,N, F,D在以点M为圆心、7AF的长为半径的圆上.连接 AN,则易得∠NAD+∠DFN=180°.又∠DFN+ ∠NFC=180°，∴.∠NAD=∠NFC=45..∠NMD= 2∠NAD=90°.∴.DM⊥MN.(3)(1)中的两个结论还 成立.连接AE,交DM于点G.:'M是AF的中点，N是 EF的中点MN是△AEF的中位线.·MN=号AE, :四边形ABCD是正方形，.∠ADF=∠B=90°，AD= AB=BC=CD.:'在Rt△ADF中，M是AF的中点， ·DM=7AF=AM=MF.由(2)同理，可证△ADF≌ AABE.:'AF -AE.:.MN-7AF.:MN DM- AM=MF.点A,F,N,D在以点M为圆心、2AF的 长为半径的圆上.∴.易得∠NMD=2∠NFD=90° '.DM⊥MN 方法归纳 构造辅助圆解决问题的一般方法 当条件中出现两个或两个以上的点到某一定点的 距离相等时，我们可以尝试以这个定点为圆心、各点到 定，点的距离为半径构造一个圆，这样可以在问题的条件 与结论之间架设新的桥梁，从而使解题思路“柳暗花明” 3.(1)如图，作△BDC的外接圆，延长DE交圆于点F,连 接CF,AF,则∠CBD=∠CFD=30°.：DE垂直平分 AC,∴.AF=FC.∴.∠AFE=∠CFE=30°..∴.∠AFC= 60°.∴.△AFC是等边三角形..AF=AC.AB=AC, AF=AC=AB.∴.点A为所作圆的圆心.∴.AB= AD.(2)①若PA=PB,则∠BAP=∠ABC.AB= AC,∴.∠ABC=∠ACB.:∠DAC=2∠CBD=60, ∴.∠APB=∠PAC+∠ACB=60°+∠ACB. ∴.∠APB=60°+∠ABC.:∠ABC+∠BAP+ ∠APB=180°，∴.3∠ABC+60°=180°，解得∠ABC=40° ②若BA=BP,同理，可得∠ABC=20°.③若AB=AP, 此时点P与点C重合，则点D与点E重合，不合题意，舍 去.综上所述，当△ABP是等腰三角形时，∠ABC的度数 为40或20°. D (第3题) 4.(0,12)或(0，-12)设线段AB的中点为E.A(4, 0),B(-6,0),.AB=10,E(-1,0).∴.OE=1.①如图 ①，过点E在第二象限作PELAB,且PE=2AB=5,连 接PB,PA,则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA= 90°，PA=PB=5√2.以，点P为圆心、PA(或PB)长为半径 作⊙P,与y轴的正半轴交于点C.:'∠BCA为⊙P的圆 周角，∠CA=号∠BPA=45.点C即为所求过 点P作PFLy轴于点F,则易得四边形PEOF为矩形 ∴.OF=PE=5,PF=OE=1.:在Rt△PFC中，PF=1, PC=5√2，∴.CF=√PC2-PF2=7.∴.OC=OF+CF= 5十7=12.∴.点C的坐标为(0,12).②如图②，在第三象 限可以参照①进行同样的操作，同理，可得y轴的负半轴 上的点C的坐标为(0，一12).综上所述，点C的坐标为(0， 12)或(0，-12). y B B、-E-A ⑦ ③ (第4题) 5.3-3AE=CP,.∠ACB=∠CDP. ,∠ACB=30°，.∠CDP=30°..∠BDC=180°- 30°=150°.∴.点D在以BC为弦，∠BDC=150的圆弧上 运动.如图，设点D运动的圆弧所在圆的圆心为点M,取优 弧BC上一点N,连接MB,MC,NB,NC,AM,MD,则 ∠BNC=180°-∠BDC=30°，∴.∠BMC=60°.BM= CM,∴.△BMC为等边三角形.∴.∠MCB=60°，MC= BC=3.:'∠ACB=30°，∴.∠ACM=∠ACB+∠MCB= 30°+60°=90°.∴.AM=√AC2+MC=√22+3= √I3..当A,D,M三点共线时，AD长取得最小值.此 时，AD=AM-MD=√3-3. .0 (第5题) 6.(1)如图①，连接OC.EF和⊙O相切于点C, ∴.OC⊥EF.:AD⊥EF,∴.OC∥AD.∴.∠DAC= ∠OCA..OA=OC,∴.∠BAC=∠OCA.∴.∠DAC= ∠BAC.(2)5如图②，连接OC.:AD和⊙O相切于 点A,.OA⊥AD.:AD⊥EF,OC⊥EF,.∠OAD= ∠ADC=∠OCD=90°.∴.四边形OADC是矩形 :OA=OC,.矩形OADC是正方形.∴.AD=OA :AB=2OA=10,∴.AD=OA=5.(3)存在； ∠BAG=∠DAC.如图③，连接BC.:'AB是⊙O的直径， ∴.∠BCA=90°.∴.∠ACD+∠BCE=90°.'∠ADC 90°，∴.∠ACD+∠DAC=90.∴.∠DAC=∠BCG. :BG=BG,∴.∠BCG=∠BAG.∴∠BAG=∠DAC. B ① ② B 0 EG C DF ③ (第6题) 7.(1)连接OB.OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA. PA=PB,∴.∠PAB=∠PBA.∴.∠OAB+∠PAB= ∠OBA+∠PBA,即∠PAO=∠PBO.又，'PA是⊙O的 切线，∴.∠PAO=90°.∴.∠PBO=90°.∴.OB⊥PB.又 :OB是⊙O的半径，∴.PB是⊙O的切线.(2)连接 OP.PA=PB,.点P在线段AB的垂直平分线上 :OA=OB,∴点O在线段AB的垂直平分线上..OP 为线段AB的垂直平分线.又∠ABC=90°，即BC⊥ AB,∴.PO∥BC.∴.∠AOP=∠ACB=60°.由(1)知， ∠PAO=90°，∴.∠APO=30°.∴.易得PO=2AO.:在 Rt△APO中，AO2+PA2=PO2,.AO2+3=(2AO)2. 又AO>0,.A0=1..⊙0的半径为1. 8.(1)如图，延长CD交⊙O于点M.:AB⊥CD, .AC=AM,CD=MD.AC=CE,..AC=CE= AM..AM+AC=AC+CE,MC=AE..MC=AE. .MC=MD+CD,∴.MC=2CD.∴.AE=2CD. (2)AB是⊙O的直径，∴.∠ACG=90°.∴.∠ACF+ ∠FCG=90°，∠CAF+∠FGC=90°.：CE=AM, ∴.∠CAF=∠ACF..AF=CF,∠FCG=∠FGC. ∴.AF=CF=FG.∴.点F是△ACG的外心. M E B (第8题) 专题特训九圆中的最值问题 1.D如图，连接OD.:CD⊥OC,∴.∠DCO=90° ∴.CD=√OD2-OC.OD长一定，.当OC长最小 时，CD长最大.又：当OC⊥AB时，OC长最小，D,A两 点重合CD-CB=2AB=3×2=1.CD长的最大