精品解析：山东潍坊市奎文区德润学校2026-2027学年上学期九年级数学阶段性学情调研

九年级数学阶段性学情调研 一．单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，，，，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据正弦、余弦和正切的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：中， ，，， ， ，，，． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．熟练掌握锐角的正弦、余弦和正切的定义是解决问题的关键． 2. 如图，点D、点F在的边上，点E在边上，，且，要使得，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可得，则可以推出当，即时，． 【详解】解：，， ， 当时，， 此时，故A选项符合题意； B，C，D选项均不能得出． 故选A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握“如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”． 3. 如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直以及互余即可得出，进而利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 只有选项C错误，符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键． 4. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( ) A. 斜坡AB的坡度是10° B. 斜坡AB的坡度是tan10° C. AC＝1.2tan10° m D. AB＝m 【答案】B 【解析】 【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案． 【详解】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确； 故选B． 【点睛】本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键． 5. 如图，是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆A端向下压( ) A. 100cm B. 60cm C. 50cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定与性质证明△ACM∽△BCN得到求解即可． 【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN； 则△ACM∽△BCN， ∵杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5:1， 即AM=5BN； ∴当时， 故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm， 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，会运用相似三角形的性质解决实际问题是解答的关键． 6. 如图，若， ，的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据题意可知，，据此即可求得答案． 【详解】∵， ∴，． ，的值无法确定． 故选：C 7. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与交于点E．由于阴影部分的面积，又，所以关键是求．为此，连接．根据易证，得出．在直角中，由正切的定义得出．再利用三角形的面积公式求出． 【详解】解：设与交于点E，连接． 在与中，， ， ∴（）， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴阴影部分的面积． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度． 8. 为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】C 【解析】 【分析】根据解直角三角形和相似三角形的判定和性质，逐项判断即可． 【详解】解：①已知和，则在中，，即，故①可以； ②在中，，即， 在中，，即， ， ，可求出，故②可以； ③，， ， ， ， ， ，故③可以； ④已知，，，则，只知道和，求不出，故④不可以； 综上所述，求出，间距离的有3组． 9. 如图，与在一条直线上，，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是( ) A. 过点E作，交于点G，则 B. 取的中点M，连接，则 C. 在线段和上分别取点M、N，使得，则 D. 在上取一点G，使得，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，平行线的性质，难度不大，运用空间想象判断是解题的关键．根据题意可得，即一组角相等，选项A、C，都可以利用平行证明另一组角相等，选项D直接给出另一组角相等，从而可以证明相似，选项B不能证明三角形相似，从而得解． 【详解】解：连接， ∵与在一条直线上， ∴点B，C，E，F四点共线， ∵， ∴， A、如下图，过点E作，交于点G， ∵， ∴， 又∵， ∴，选项A正确，不符合题意； B、如下图，取的中点M，连接， 无法证明，，因此无法证明，选项B错误，符合题意； C、如图在线段和上分别取点M、N，使得， ∵， ∴， 又∵， ∴，选项C正确，不符合题意； D、如下图，在上取一点G，使得， ∵，， ∴，选项D正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断． ②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断． ③正确．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断． ④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC， ∴∠DCB+∠ABC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠DCB=120°， ∵EC平分∠DCB， ∴∠ECB=∠DCB=60°， ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°， ∴△ECB是等边三角形， ∴EB=BC， ∵AB=2BC， ∴EA=EB=EC， ∴∠ACB=90°， ∵OA=OC，EA=EB， ∴OE∥BC， ∴∠AOE=∠ACB=90°， ∴EO⊥AC，故①正确， ∵OE∥BC， ∴△OEF∽△BCF， ∴ ， ∴OF=OB， ∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误， 设BC=BE=EC=a，则AB=2a，AC=a，OD=OB=a， ∴BD=a， ∴AC：BD=a：a=：7，故③正确， ∵OF=OB=a， ∴BF=a， ∴BF2=a2，OF•DF=a• a2， ∴BF2=OF•DF，故④正确， 故选：B． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 二．填空题（本大题共5小题，共20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11. 在平面直角坐标系中，与是位似图形，以原点O为位似中心，若，点B的坐标为，则点B的对应点D的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，根据位似变换的性质，以原点为位似中心，位似比为k，则对应点坐标的比等于k或．由得位似比为3或，从而求解． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为 3或， ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标为或，即或． 故答案为： 或． 12. 如图，在的正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理即可求出AB和AC，然后根据三角形的面积求出CD，再根据正弦值的定义即可得出结论． 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D 根据勾股定理可得AB=，AC= ∵的面积等于 ∴ 解得：CD= 在Rt△ACD中，= 故答案为：． 【点睛】此题考查的是勾股定理和求一个角的锐角三角函数，掌握勾股定理和构造直角三角形求一个角的正弦值是解决此题的关键． 13. 如图，中，，且，__． 【答案】1：：． 【解析】 【分析】由平行线可得△ADE∽△AFG∽△ABC，进而利用相似三角形面积比等于对应边的平方比，即可得出结论 【详解】∵S△ADE=S梯形DFGE=S梯形FBCG，DE∥FG∥BC， ∴△ADE∽△AFG∽△ABC， ∴=， =， ∴DE：FG：BC=1：：． 故答案为1：：． 14. 把一条长的铁丝弯成顶角为的等腰三角形，则此等腰三角形底边长为______m． 【答案】## 【解析】 【分析】作，设等腰三角形的腰长，则，根据“三线合一”，易得，，再根据“所对的直角边是斜边的一半”和勾股定理，可得，，从而列出方程，求解即可. 【详解】解：如图，中，，作于点， 设等腰三角形的腰长， ， ， ，，， ，， ， 在中，， ， ，解得 ， ． 15. 如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点作，使，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和正切函数，根据垂直定义可得，再根据正切函数可得，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共70分） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，按运算顺序计算即可； （2） 代入特殊角的三角函数值，按运算顺序计算即可； （3）代入特殊角的三角函数值，计算后对分母有理化化简即可； （4）代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的性质化简后再计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 如图，的顶点均在正方形网格的格点上，在已知的直角坐标系中，， （1）画出将绕原点按逆时针方向旋转后所得的，并写出点的坐标； （2）在网格内，以点为位似中心，画出与位似的图形，使点的坐标为 【答案】（1）见解析，；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据绕原点按逆时针方向旋转的性质画出△，再写出点的坐标即可； （2）由和可知位似比为-2，直接利用位似图形的性质得出对应点位置． 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示： 【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，理解旋转变换及位似变换的性质、正确得出对应点位置是解题关键． 18. 在中，，点E是的中点，，垂足为点D．已知，． （1）求线段的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先解求出，再由直角三角形斜边中线的性质即可求解； （2）先解求出，而，再由求出，最后由正弦的定义求解． 【小问1详解】 解：在中，∵，， ∴， ∵点E是斜边的中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 在中，． 19. 如下图，菱形中，点为上一点，满足，交于点． （1）若，求证：点是的中点． （2）若的平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形为菱形， ，． ，， ，， ∴点是的中点． （2）证明：∵四边形为菱形， ． ，． ，，． 平分，， ，， ． ，． 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质得到，再证明，接着利用相似三角形的性质得到，所以，从而得到结论； （2）先根据菱形的性质得，再利用得到，接着证明，由于平分，所以，于是可判断，然后根据相似三角形的性质得到，最后利用得到结论 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ，． ， ， ， ， ∴点是的中点． 【小问2详解】 证明：∵四边形为菱形， ． ， ． ，， ． 平分， ， ， ， ． ， ． 20. 小聪和小兰想测量学校实验楼的高度，他们制作了测量工具：将两根互相垂直的标杆固定在点，并在M处安装测角仪．测量时，调整工具位置，使（为地面），此时，从点M测得实验楼顶端A的仰角为，实验楼顶端A的影子恰好与标杆的影子顶端Q重合（A、P、Q三点共线），若为4.4米，为1.8米，为2米，请根据以上数据，求实验楼的高度． 【答案】实验楼的高度为米． 【解析】 【分析】延长交于点，过点作于点，易证四边形是矩形，四边形是矩形，得到米，米，，，证明是等腰直角三角形，得到，由，即可求解． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∴米，米，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∴在中，， 设米，则米， ∴， ∴，即米， ∴（米）． 答：实验楼的高度为米． 21. 从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图①，在中，为角平分线，，求证： 为的完美分割线； （2）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数； （3）如图②，在中，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长． 【答案】（1）见解析； （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据完美分割线的定义，分别证明不是等腰三角形， 为等腰三角形以及即可； （2）根据可知，然后分类讨论求的度数，进而得出结果； （3）根据可列出比例式，从而求出的长度，同理可求出的长度； 【小问1详解】 证明： 不是等腰三角形； 平分 为等腰三角形； ， 是的完美分割线． 【小问2详解】 解：当时， ； 当 时， 当 时， 这与 矛盾，舍去； 或 【小问3详解】 解：由题意可得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练运用相似三角形的性质转化线段和角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性学情调研 一．单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，，，，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点D、点F在的边上，点E在边上，，且，要使得，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( ) A. 斜坡AB的坡度是10° B. 斜坡AB的坡度是tan10° C. AC＝1.2tan10° m D. AB＝m 5. 如图，是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆A端向下压( ) A. 100cm B. 60cm C. 50cm D. 10cm 6. 如图，若， ，的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 9. 如图，与在一条直线上，，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是( ) A. 过点E作，交于点G，则 B. 取的中点M，连接，则 C. 在线段和上分别取点M、N，使得，则 D. 在上取一点G，使得，则 10. 如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 二．填空题（本大题共5小题，共20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11. 在平面直角坐标系中，与是位似图形，以原点O为位似中心，若，点B的坐标为，则点B的对应点D的坐标为__________． 12. 如图，在的正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于，则的值是________． 13. 如图，中，，且，__． 14. 把一条长的铁丝弯成顶角为的等腰三角形，则此等腰三角形底边长为______m． 15. 如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点作，使，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点．若，则的值为______． 三．解答题（共70分） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 17. 如图，的顶点均在正方形网格的格点上，在已知的直角坐标系中，， （1）画出将绕原点按逆时针方向旋转后所得的，并写出点的坐标； （2）在网格内，以点为位似中心，画出与位似的图形，使点的坐标为 18. 在中，，点E是的中点，，垂足为点D．已知，． （1）求线段的长； （2）求的值． 19. 如下图，菱形中，点为上一点，满足，交于点． （1）若，求证：点是的中点． （2）若的平分线交于点，交于点，求证：． 20. 小聪和小兰想测量学校实验楼的高度，他们制作了测量工具：将两根互相垂直的标杆固定在点，并在M处安装测角仪．测量时，调整工具位置，使（为地面），此时，从点M测得实验楼顶端A的仰角为，实验楼顶端A的影子恰好与标杆的影子顶端Q重合（A、P、Q三点共线），若为4.4米，为1.8米，为2米，请根据以上数据，求实验楼的高度． 21. 从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图①，在中，为角平分线，，求证： 为的完美分割线； （2）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数； （3）如图②，在中，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $