精品解析：山东省泰安市宁阳县第十二中学（五四制）2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学试题

九年级上学期数学单元诊断试题（一） 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数和勾股定理．根据题意画图，由，设，，利用勾股定理求出，根据正切定义求解即可． 【详解】解：由题意可画图如下： 在中，，， ． 设，，则， ， 故选：A． 2. 若是二次函数，则的值为（ ） A. 2 B. -1 C. -1或2 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得到且m+1≠0，由此求得m的值． 【详解】∵函数是二次函数， ∴且m+1≠0， 解得m=2. 故选A. 【点睛】此题考查二次函数的定义，解题关键在于掌握二次函数的幂为2，系数不等于0. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：因为抛物线， 所以抛物线的顶点坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键． 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴的交点坐标为 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、交点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：①抛物线中，，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； ②由解析式得，当时，，因此B选项错误，符合题意； ③由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； ④因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项正确，不符合题意． 故答案选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 5. 把抛物线沿轴向左平移2个单位后，再沿轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进而得出平移后的解析式即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得到， 再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是：，即． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 6. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求抛物线对称轴，将对称轴左侧的点对称到右侧，结合开口向上时的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵点关于直线的对称点为，且， ∴，即． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，D选项正确． 8. 函数 的自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 全体实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数自变量取值范围，涉及二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．根据二次根式和分式有意义的条件求出x的取值范围． 【详解】解：根据题意， 解得：且， 故选：B． 9. 如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，则，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故选：． 10. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 对任意实数，总成立 D. 若点，在抛物线上，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则.   顶点的坐标为，   对称轴为直线，即，  ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方，  ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 二、填空题（每小题4分，共20分，只要求填最后结果） 11. 若抛物线与轴有两个不相同的交点，那么实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程间的关系“二次函数图象与轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解”，结合列出关于的不等式是解题的关键．结合二次函数与轴的交点横坐标与一元二次方程的联系，用根的判别式列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有两个不同的交点， 关于的方程有两个不同的实数根， ， ， 故答案为：． 12. 二次函数的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及最值的求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先将其化为顶点式，即可求解最值． 【详解】解：二次函数， ∴化为顶点式得， ∵， ∴当时，函数有最大值为， 故答案为：． 13. 抛物线顶点在x轴上，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】抛物线顶点在轴上，说明顶点纵坐标为，通过配方整理抛物线解析式即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， 抛物线顶点的纵坐标为，对抛物线配方得：， 顶点纵坐标为， ， ． 14. 如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 【答案】 2 【解析】 【分析】作，连接，根据正切的定义进行求解即可. 【详解】解：作，连接，如图，则， 由网格特征可知，， 设小正方形的边长为1，则，， ∴. 15. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 三、解答题（共90分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）． （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 17. 如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． （1）求的长； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，根据三角函数得到，，，进而计算即可； （2）根据题意得到，即，进而根据计算即可． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 在中，， ∴，， ∴，． 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：已知是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，． 18. 如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可用二次函数 的图象表示, 斜坡可以用一次函数的图象表示． （1）求小球到达最高点的坐标； （2）若小球的落点是A,求点A的坐标． 【答案】（1）最高点的坐标是（4,8）；（2）点A的坐标是（7，） 【解析】 【详解】解：(1)由题意得=− (x−4)2+8， 故可得小球到达的最高点的坐标为(4，8). (2)联立两解析式可得：， 解得：或. 故可得点A的坐标为(7,). 19. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为； （2） 【解析】 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 当时，， ∴ 解得：，， 如图，当时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 20. 已知抛物线的顶点坐标是，且这条抛物线和x轴的一个交点坐标是，另一个交点是A． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求点A的坐标和对称轴； （3）求当时，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）当时， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据待定系数法求出抛物线的解析式； （2）令得，求出，得出点A的坐标即可，根据顶点坐标求出抛物线的对称轴即可； （3）根据二次函数的性质求出当时，函数值的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为 将代入得， 解得：， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令得， ，即A点的坐标为； 对称轴为直线； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴的最大值为1， ∴当时，． 21. 政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： （1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； （2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】（1）， （2）米 【解析】 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 22. 2024年全国青少年U系列自由式小轮车冠军赛在四川广安成功举办，思思深受赛事氛围感染，特意购置了一辆小轮车并开始训练．小轮车如图1所示，该车的车轮半径为（含轮胎），图2是该车的车架示意图，已知立管，且与上管垂直，下管比上管长，座管可以伸缩，点在同一条直线上，后下叉与地面平行，且与立管所成的夹角为，即． （1）求下管的长． （2）当座垫离地面的距离为时，思思骑行更舒服，问此时应将座管调为多长？（结果精确到，参考数据） 【答案】（1） （2）此时应将座管调为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、三角函数等知识，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）设下管的长为，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）由题意得：，，在中，由，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 设下管的长为，则， ， 在中，由勾股定理可得，则， ， 答：下管的长为； 【小问2详解】 解：由题意得：，， 在中，， ， ， 答：此时应将座管调为． 23. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）； 画出函数图象，如图， （3）或 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为； 【小问3详解】 解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学单元诊断试题（一） 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若是二次函数，则的值为（ ） A. 2 B. -1 C. -1或2 D. 以上都不对 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴的交点坐标为 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 把抛物线沿轴向左平移2个单位后，再沿轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A.   B.   C.   D.   8. 函数 的自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 全体实数 9. 如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 对任意实数，总成立 D. 若点，在抛物线上，则 二、填空题（每小题4分，共20分，只要求填最后结果） 11. 若抛物线与轴有两个不相同的交点，那么实数的取值范围为________ 12. 二次函数的最大值为_____． 13. 抛物线顶点在x轴上，则____________ 14. 如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 15. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 三、解答题（共90分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）． （3） （4） 17. 如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． （1）求的长； （2）求． 18. 如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可用二次函数 的图象表示, 斜坡可以用一次函数的图象表示． （1）求小球到达最高点的坐标； （2）若小球的落点是A,求点A的坐标． 19. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 20. 已知抛物线的顶点坐标是，且这条抛物线和x轴的一个交点坐标是，另一个交点是A． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求点A的坐标和对称轴； （3）求当时，直接写出函数值的取值范围． 21. 政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： （1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； （2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 22. 2024年全国青少年U系列自由式小轮车冠军赛在四川广安成功举办，思思深受赛事氛围感染，特意购置了一辆小轮车并开始训练．小轮车如图1所示，该车的车轮半径为（含轮胎），图2是该车的车架示意图，已知立管，且与上管垂直，下管比上管长，座管可以伸缩，点在同一条直线上，后下叉与地面平行，且与立管所成的夹角为，即． （1）求下管的长． （2）当座垫离地面的距离为时，思思骑行更舒服，问此时应将座管调为多长？（结果精确到，参考数据） 23. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $