精品解析：福建厦门市第六中学2026 - 2027学年九年级上学期第一次阶段考试卷 数学试题（10月）

厦门市第六中学2026-2027学年初三（上）第一次阶段考试卷 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项，，右边为整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0，是二次函数； B选项，，右边为分式，不是二次函数； C选项，，自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； D选项，化简得，自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数． 2. 用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 3. 如图，二次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，牢记：，图象开口向下，图象与y轴的交点在 x轴的上方，是解题关键． 根据二次函数系数a可判定图象的开口方向，根据c可判定图象的顶点位置，可得答案． 【详解】解：由二次函数可知二次函数的图象的对称轴为y轴， ， ∴图象开口向下，故A、B错误； ，图象的顶点在y轴的正半轴上，故C正确； 故选：C． 4. 下列一元二次方程中，没有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：、方程整理为一般式为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； 、方程 的解为，有两个相等的实数根，该选项不符合题意； 、∵， ∴方程没有实数根，该选项符合题意； 、由 得或， 解得， ∴方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意． 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 7. 定义：当关于的一元二次方程满足时，称此方程为“合理”方程．若“合理”方程有两个相等的实数根，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据“合理”方程的定义得到，再根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后联立利用代入消元法消去，得到关于的一元二次方程，解方程即可求出，的值． 【详解】解：∵方程是“合理”方程， ∴①， ∵方程有两个相等的实数根， ∴②， 由①得，代入②得， 展开得， 即， ∴， 将代入①，得． 8. 已知点，，在二次函数的图象上，且有，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；先求得抛物线开口向上，对称轴为直线，然后判断三点到对称轴的距离的大小，即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵点，，在二次函数的图象上，且有，， ∴在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且 ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C． 二、填空题：本大题共8小题，每空4分，共32分． 9. （1）方程的解为______________；（2）方程的解为______________； 【答案】 ①. ， ②. ， 【解析】 【分析】第一个方程用直接开平方求解，第二个方程因式分解后求解即可． 【详解】解：（1）求解方程， 两边直接开平方，得， 因此方程的解为，． （2）求解方程， 对左边因式分解，得， 令每个因式等于0，得 或 解得，． 10. 二次函数的部分对应值如下表所示，则该二次函数图象的对称轴是______________． x … 0 1 2 … y … 5 0 … 【答案】直线 【解析】 【分析】二次函数图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为两个点横坐标的平均值，据此计算即可. 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，； ∵点与点的纵坐标相等； ∴两点关于二次函数的对称轴对称； ∴对称轴为直线 . 11. 已知是方程的一个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 解得. 12. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 13. 已知，是方程的两个实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，对于一元二次方程的两个根，满足，． 掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．直接根据根与系数的关系求出即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， 故答案为：． 14. 抛物线，过点，且对于抛物线上任意一点都有，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得 是抛物线的最小值，因此点 是抛物线顶点，利用顶点横坐标公式列方程即可求解． 【详解】解：∵ 抛物线 的二次项系数为 ， ∴ 抛物线开口向上，函数存在最小值． ∵ 抛物线上任意点 都满足 ，且 在抛物线上， ∴ 是抛物线顶点，顶点横坐标为 根据抛物线顶点横坐标公式，得， 解得 ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解． 【详解】解：将点代入抛物线中，解得， ∴抛物线解析式为， 设CD、EF分别与轴交于点M和点N， 当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x， 此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中， 得到：， 解得，(负值舍去)， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 16. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先把方程化为指定的形式，根据题意，得，确定，继而得到大正方形的面积为，从而得到方程的正数解为计算即可． 【详解】解：由得， ∵阴影部分的面积为， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴方程的正数解为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分． 17. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：利用公式法解方程即可. 试题解析： ． ． =12． ． ． ． ∴方程的解为． 18. 已知二次函数．如图，在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；并结合图象直接写出当时的y的取值范围． 【答案】二次函数的图象如图所示． 当时y的取值范围是． 【解析】 【分析】根据题意，先画出二次函数的图象，再根据图象求出二次函数时y的取值范围． 【详解】解：二次函数， ∵二次项系数， ∴开口向上， 顶点式为， 得到对称轴，顶点坐标 ， 令，解得， ∴图象过点， 令，解得，， ， ， ∴图象过点， ， 据此可画出二次函数的图象，图象略； 如答案所示，时， ，解得， ，解得， ∵对称轴在这个区间内，在处取得最小值为， ∴当时y的取值范围是． 19. 如图，P是正方形内一点，以为直角边作等腰直角三角形，使E在下方且，连接，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，根据等腰直角三角形的性质，，进而得出，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得证. 【详解】略 20. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 21. 已知关于x的一元二次方程. （1）求证：该方程总有两个不相等实数根； （2）若两实数根、满足，求a的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，得出，即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，根据题意可得，进而解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴，， 即， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【小问1详解】 解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 23. 如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． （1）以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． （2）如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； （3）关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】（1）①④ （2）证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 （3）正整数的值为1或3 【解析】 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【小问1详解】 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 24. 探究下列问题： （1）如图①，点为线段、的中点，连接，，则与的关系为； （2）如图②，，，于E，于D，若，，求的值； （3）某工业园区规划地块如图③所示，地块拐角B为直角顶点，纵向主干道、横向主干道互相垂直，即，米．是园区内部连通两个大门的人行主通道，点D落在通道上．计划将和区域作为园区的配套景观用地．其中，是以为斜边的等腰直角三角形，F为路段CD的中点，现测得米．求：景观用地和的总面积． 【答案】（1）平行且相等 （2） （3）平方米或平方米． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出，，从而得出， （2）通过证明得出，结合三角形面积求出，再利用勾股定理在中求出即可解决问题； （3）过点作，先证明，设，进而可得，，再在中，求出的长，即可求出面积． 【小问1详解】 解：∵点为线段、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 综上所述：与的关系为平行且相等． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴在中，， ∴． 【小问3详解】 过点作， ∵，米． ∴米，， ∴， ∴， 设，则， ∵F为路段的中点， ∴， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴景观用地和的总面积 ∵在中，米，， ∴，即， 解得：（米）或（米） 当米时，景观用地和的总面积（平方米） 当米时，景观用地和的总面积（平方米） 25. 若抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求的值． （2）若点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①有最大值；② 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，结合题意得出，计算即可得解； （2）①由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解；②由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵时，始终有， ∴的值不会随的变化而变化， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市第六中学2026-2027学年初三（上）第一次阶段考试卷 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 3. 如图，二次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程中，没有实数解的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 定义：当关于的一元二次方程满足时，称此方程为“合理”方程．若“合理”方程有两个相等的实数根，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知点，，在二次函数的图象上，且有，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每空4分，共32分． 9. （1）方程的解为______________；（2）方程的解为______________； 10. 二次函数的部分对应值如下表所示，则该二次函数图象的对称轴是______________． x … 0 1 2 … y … 5 0 … 11. 已知是方程的一个根，则________． 12. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 13. 已知，是方程的两个实数根，则__________． 14. 抛物线，过点，且对于抛物线上任意一点都有，则的值为______________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________． 16. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数的解为________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分． 17. 解方程：． 18. 已知二次函数．如图，在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；并结合图象直接写出当时的y的取值范围． 19. 如图，P是正方形内一点，以为直角边作等腰直角三角形，使E在下方且，连接，，求证：． 20. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 21. 已知关于x的一元二次方程. （1）求证：该方程总有两个不相等实数根； （2）若两实数根、满足，求a的值． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积． 23. 如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． （1）以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． （2）如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； （3）关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 24. 探究下列问题： （1）如图①，点为线段、的中点，连接，，则与的关系为； （2）如图②，，，于E，于D，若，，求的值； （3）某工业园区规划地块如图③所示，地块拐角B为直角顶点，纵向主干道、横向主干道互相垂直，即，米．是园区内部连通两个大门的人行主通道，点D落在通道上．计划将和区域作为园区的配套景观用地．其中，是以为斜边的等腰直角三角形，F为路段CD的中点，现测得米．求：景观用地和的总面积． 25. 若抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求的值． （2）若点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $