内容正文:
九年级数学试卷2026.10
( 满分:150分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.)
1. 下列方程中,关于x的一元二次方程是( )
A. B. C. D.
2. 一元二次方程化为一般式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 3,, B. 3,2,
C. ,,1 D. 3,,1
3. 用配方法解方程,原方程应变形为( )
A. B. C. D.
4. 若点在反比例函数的图像上,则的值是( )
A. B. C. D.
5. 关于反比例函数,下列说法正确的是( )
A. 该函数图象在一、三象限
B. 当时,随增大而减小
C. 若在该函数图象上,则
D. 若点和点在该函数图象上,且,则有且仅有
6. 新能源汽车节能、环保,越来越受消费者喜爱.2022年某款新能源汽车销售量为22万辆,销售量逐年增加,2024年预估销售量为万辆,求这款新能源汽车的年平均增长率,可设这款新能源汽车的年平均增长率为x,根据题意,下列方程正确的为( )
A. B.
C. D.
7. 在同一直角坐标系中,函数与的图象可能是( )
A. B. C. D.
8. 如图A是函数的图象上一点.过点A作轴于点C.交函数 的图象于点B,P是y轴的正半轴上一点,连接.若的面积为2,则k的值为( )
A. 4 B. 6 C. D. 12
二、填空题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分.)
9. 方程的解是_____.
10. 已知关于x的方程(m+2)x²+4mx+1=0是一元二次方程,则m的取范围值是_______.
11. 已知直线与双曲线的一个交点坐标为,则它们的另一个交点坐标为_______.
12. 如表是某同学求代数式(为常数)的值的情况.根据表格中数据,可知方程的根是_______.
0
1
2
3
…
6
2
0
0
2
6
…
13. 已知一元二次方程的两根为,则_____.
14. 已知点在反比例函数的图象上,若,则的大小关系为_______(用“<”连接).
15. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是______.
16. 已知a,b是关于x的方程的两根,则的值是__________.
17. 图(1)是一块正八边形地砖,中空部分是一个菱形,用这种地砖铺设地面,图(2)中有5个完整菱形,图(3)中有13个完整菱形,图(4)中有25个完整菱形,第n幅图中有____________个完整菱形.
18. 如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,.当时,的取值范围是_____________
19. 如图,在平面直角坐标系中,的边在x轴的正半轴上,点D是的中点,反比例函数的图象经过点B、D,若的面积为24,则k的值为______.
二、解答题(本大题共有10小题,共96分.)
20. 解方程
(1)
(2)
21. 已知是的反比例函数
(1)观察表格,该函数的表达式为_______________;
(2)补全表格并描点,画出该反比例函数的图象;
(3)当时,利用函数图象直接写出函数的最大值为___________.
22. 已知与成反比例,且其函数图象经过点.
(1)求关于的表达式;
(2)当时,求的值.
23. 已知关于的一元二次方程.
(1)求证:无论m取何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)设,求m的值.
24. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,.
(1)求一次函数、反比例函数的表达式;
(2)求的面积;
25. 某商店经销一批小商品,每件商品的成本为8元.据市场分析,销售单价定为10元时,每天能售出200件;现采用提高商品售价,减少销售量的办法增加利润,若销售单价每涨1元,每天的销售量就减少20件.设涨价x元.据此规律,请回答:
(1)商店日销售量减少______件,每件商品盈利______元(用含x的代数式表示);
(2)针对这种小商品的销售情况,该商店要保证每天盈利640元,同时又要使顾客得到实惠,那么销售单价应定为多少元?
26. 某小区要围建一个矩形露天电动车停放区,停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙,其余三边使用金属护栏搭建.在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口,每扇出入口宽度都是,已知金属护栏总长,设垂直于外墙的一边长度为.
(1)当时,若该电动车停放区的占地面积为,求;
(2)当外墙长度足够大时,该矩形停放区的占地面积能否达到?
27. 过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂,比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果.对房间进行消毒时,采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒,每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上,能够达到最佳的消毒效果.李某进行消毒时,室内每立方米空气中的含药量y(毫升)与喷洒消毒液的时间x(分钟)成正比例关系,喷洒完成后,y与x成反比例关系(如图所示).已知喷洒消毒液用时6分钟,此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升.
(1)分别求出当和时,y与x之间的函数关系式;
(2)通过计算说明,李某此次消毒能否达到最佳消毒效果.
28. 定义:如果,是一元二次方程的两个根,且,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如:一元二次方程的两个根是,,此时,则方程是“邻根方程”.
(1)下列方程中,属于“邻根方程”的是 (填序号).
①;②;③.
(2)已知方程是“邻根方程”,求m的值.
(3)若方程是“邻根方程”,求证:.
29. 如图,四边形为正方形,点在轴上,点在轴上,且,,反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点.
(1)点的坐标为_____________,反比例函数的表达式为__________;
(2)如图,将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形,点恰好落在反比例函数的图象上,求此时的值和点的坐标;
(3)在的条件下,点为轴上一动点,平面内是否存在点,使以点、、、为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点的坐标,若不存在,请说明理由.
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九年级数学试卷2026.10
( 满分:150分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.)
1. 下列方程中,关于x的一元二次方程是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义解答.
【详解】解:A、该方程没有规定,故本选项错误;
B、该方程中含有2个未知数,不是一元二次方程,故本选项错误;
C、该方程符合一元二次方程的定义,故本选项正确;
D、该方程不是整式方程,故本选项错误;
故选:C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
2. 一元二次方程化为一般式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 3,, B. 3,2,
C. ,,1 D. 3,,1
【答案】D
【解析】
【分析】将一元二次方程转化为标准形式即可判断出二次项系数,一次项系数和常数项.
【详解】解:移项得,
二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
3. 用配方法解方程,原方程应变形为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把常数项-2移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方.
【详解】解:由原方程,得
x2+2x=2,
x2+2x+1=2+1,
(x+1)2=3.
故选:A.
【点睛】本题考查了配方法解方程.配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
4. 若点在反比例函数的图像上,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接把点A(-2,6)代入反比例函数,求出k的值即可.
【详解】解:∵点A(-2,6)在反比例函数的图象上,
∴,解得k=-12.
故选:A.
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.
5. 关于反比例函数,下列说法正确的是( )
A. 该函数图象在一、三象限
B. 当时,随增大而减小
C. 若在该函数图象上,则
D. 若点和点在该函数图象上,且,则有且仅有
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质,根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可,熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.
【详解】、由反比例函数可知,则该函数图象在第二、四象限,故不符合题意;
、当时,随增大而增大,故不符合题意;
、若在该函数图象上,则,故符合题意;
、若点和点在该函数图象上,当或时,,当时,,故不符合题意;
故选:.
6. 新能源汽车节能、环保,越来越受消费者喜爱.2022年某款新能源汽车销售量为22万辆,销售量逐年增加,2024年预估销售量为万辆,求这款新能源汽车的年平均增长率,可设这款新能源汽车的年平均增长率为x,根据题意,下列方程正确的为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,正确理解题意,找出题目中的等量关系是解题的关键.
设这款新能源汽车的年平均增长率为x,由题意得等量关系初销售量、增长率、末产量的关系列出方程即可解答.
【详解】解:设这款新能源汽车的年平均增长率为x,
由题意,得:.
故选:D.
7. 在同一直角坐标系中,函数与的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据k的正负性,分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限,从而确定正确选项.
【详解】解:当 时,,
∴反比例函数的图象在第一、三象限, 一次函数的图象经过第一、三、四象限,选项B符合题意;
当 时,,
∴反比例函数的图象在第二、四象限, 一次函数的图象经过第一、二、四象限, 选项A、C、D均不符合题意.
8. 如图A是函数的图象上一点.过点A作轴于点C.交函数 的图象于点B,P是y轴的正半轴上一点,连接.若的面积为2,则k的值为( )
A. 4 B. 6 C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】设,则,继而确定,根据的面积为2,解答即可.
【详解】解:∵点是图像上任一点,过点A作轴于点C.交函数 的图象与点B,
设,则,
,
的面积为2,
,
解得.
二、填空题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分.)
9. 方程的解是_____.
【答案】,
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程,灵活运用因式分解法解方程是解题的关键.
直接运用因式分解法求解即可.
【详解】解:,
,
,
,
所以该方程的解为:,.
10. 已知关于x的方程(m+2)x²+4mx+1=0是一元二次方程,则m的取范围值是_______.
【答案】m≠—2
【解析】
【详解】分析:根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行解答即可.
详解:由题意得: m+2≠0 ,
解得: m≠−2 ,
故答案为 m≠−2.
点睛:本题考查了一元二次方程的定义,解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程注意几个方面:化简后;一个未知数;未知数的最高次数是2;二次项的系数不为0;整式方程.
11. 已知直线与双曲线的一个交点坐标为,则它们的另一个交点坐标为_______.
【答案】
【解析】
【分析】直线与双曲线的图象都关于原点中心对称,因此两个交点关于原点对称,根据已知交点坐标即可求出另一个交点坐标.
【详解】解:∵直线的图象关于原点对称,双曲线的图象也关于原点对称,
∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称,
∵一个交点坐标为,
∴另一个交点坐标为.
12. 如表是某同学求代数式(为常数)的值的情况.根据表格中数据,可知方程的根是_______.
0
1
2
3
…
6
2
0
0
2
6
…
【答案】,
【解析】
【分析】观察表格,找出使方程左右两边相等的的值,根据方程解的定义进行解答即可.
【详解】解:通过观察表格可知:当和3时,,
∴方程的根是:,,
故答案为:,.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解,解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义.
13. 已知一元二次方程的两根为,则_____.
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可.
【详解】解:∵一元二次方程的两根为,
∴.
故答案为3.
14. 已知点在反比例函数的图象上,若,则的大小关系为_______(用“<”连接).
【答案】
【解析】
【分析】先判断反比例函数比例系数的正负,确定函数图象所在象限和增减性,再根据各点横坐标的符号判断所在象限,最后比较函数值大小.
【详解】解:,
,
反比例函数的图象位于第一、三象限,且在每个象限内,随的增大而减小,
点,的横坐标都大于,
,都在第一象限,可得,,
,
,
点的横坐标小于,
在第三象限,可得,
.
15. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是______.
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列式求解即可.
【详解】解:∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴,.
整理得,解得.
综上可得的取值范围是且.
16. 已知a,b是关于x的方程的两根,则的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用方程根的定义对所求式子降次,再结合根与系数的关系代入计算即可.
【详解】解:∵是方程的根,
∴,
整理得.
将代入,
得:
,
又a,b是关于x的方程的两根,
,
则
.
故的值是.
17. 图(1)是一块正八边形地砖,中空部分是一个菱形,用这种地砖铺设地面,图(2)中有5个完整菱形,图(3)中有13个完整菱形,图(4)中有25个完整菱形,第n幅图中有____________个完整菱形.
【答案】
【解析】
【分析】根据图形的变化规律进行求解即可.
【详解】解:由图可知:
图(1)有完整菱形的个数为,
图(2)有完整菱形的个数为,
图(3)有完整菱形的个数为,
图(4)有完整菱形的个数为,
,
∴第n幅图中有完整菱形的个数为.
18. 如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,.当时,的取值范围是_____________
【答案】
或
【解析】
【分析】将代入得到的值,根据图象直接得出即可.
【详解】解:将代入得,,
解得,
由图象可知,当时,的取值范围是或.
19. 如图,在平面直角坐标系中,的边在x轴的正半轴上,点D是的中点,反比例函数的图象经过点B、D,若的面积为24,则k的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合,平行四边形的性质,设,根据平行四边形面积计算公式可得,再由两点中点坐标公式得到,则,可得,据此可得答案.
【详解】解:设,
∵的面积为24,
∴,
∵点D是的中点,
∴,
∵反比例函数图象经过点D,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
二、解答题(本大题共有10小题,共96分.)
20. 解方程
(1)
(2)
【答案】(1),
(2),
【解析】
【分析】(1)移项,再直接开平方即可;
(2)运用公式法解方程即可.
【小问1详解】
解:,
,
或,
解得,;
【小问2详解】
解:,
则,
,
故方程的解为,.
21. 已知是的反比例函数
(1)观察表格,该函数的表达式为_______________;
(2)补全表格并描点,画出该反比例函数的图象;
(3)当时,利用函数图象直接写出函数的最大值为___________.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】第问利用表格中一组、的值求出反比例函数解析式;
第问根据解析式计算缺失函数值,描点绘制双曲线;
第问利用反比例函数的增减性,在指定区间内求函数最大值.时,在每个象限内,随的增大而增大.
【小问1详解】
解:设反比例函数解析式为
取表格中,代入:
解得.
∴函数表达式为
【小问2详解】
解:当时,
;
当时,
;
表格略;
作图略;
【小问3详解】
解:反比例函数中,在每个象限内,随的增大而增大.
自变量范围位于第二象限,当时,取得最大值:,
∴函数的最大值为.
22. 已知与成反比例,且其函数图象经过点.
(1)求关于的表达式;
(2)当时,求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据题意可设,然后代入求解即可;
(2)把代入求出的函数解析式即可求解.
【小问1详解】
解:∵与成反比例
∴设
∵函数图象经过点
∴
解得
∴关于的表达式为;
【小问2详解】
解:当时,则,
解得.
23. 已知关于的一元二次方程.
(1)求证:无论m取何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)设,求m的值.
【答案】(1)
证明:,
,
,
无论取何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)或
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系及解一元二次方程,准确计算是解题的关键.
(1)根据题意证明即可;
(2)根据,,由整体代入建立关于m的一元二次方程求解即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:由题意得,,,
,
,即,
解得或.
24. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,.
(1)求一次函数、反比例函数的表达式;
(2)求的面积;
【答案】(1);
(2)
【解析】
【分析】(1)先利用交点求出反比例函数解析式,再得到点坐标,代入求解一次函数解析式;
(2)求面积采用分割法,找到直线与轴交点,拆成两个小三角形面积相加.
【小问1详解】
解:∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、,
,
,
∴反比例函数解析式为,
一次函数的图象过、,
,解得,
一次函数解析式为.
【小问2详解】
解:如图,设直线与轴的交点为点,
在函数中,当时,,
,即,
.
25. 某商店经销一批小商品,每件商品的成本为8元.据市场分析,销售单价定为10元时,每天能售出200件;现采用提高商品售价,减少销售量的办法增加利润,若销售单价每涨1元,每天的销售量就减少20件.设涨价x元.据此规律,请回答:
(1)商店日销售量减少______件,每件商品盈利______元(用含x的代数式表示);
(2)针对这种小商品的销售情况,该商店要保证每天盈利640元,同时又要使顾客得到实惠,那么销售单价应定为多少元?
【答案】(1);
(2)销售单价应定为元
【解析】
【分析】(1)涨价为元,销售单价每涨元,每天的销售量就减少件,可得出销量减少了,每件的盈利为元.
(2)根据总利润=单件利润×销量,列方程进行求解即可.
【小问1详解】
解:涨价为元,商店日销售量减少件,每件商品盈利元,
【小问2详解】
解:由题意可得,
,
解得:,
因为要让顾客得到实惠,,
∴定价为:元.
答:销售单价应定为元.
26. 某小区要围建一个矩形露天电动车停放区,停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙,其余三边使用金属护栏搭建.在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口,每扇出入口宽度都是,已知金属护栏总长,设垂直于外墙的一边长度为.
(1)当时,若该电动车停放区的占地面积为,求;
(2)当外墙长度足够大时,该矩形停放区的占地面积能否达到?
【答案】(1)
(2)该矩形停车区的占地面积不能达到
【解析】
【分析】(1)当时,利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件,再根据面积为列方程求解.
(2)令矩形面积等于,再判断一元二次方程是否有解,从而判断能否达到该面积.
【小问1详解】
解:由题意可知,垂直于外墙的边长.
金属护栏总长为 ,且平行于外墙的一侧预留两个 宽的门.
所以平行于墙的边长为
当 时,可得,
解得,
由该电动车停放区的占地面积为,
可得,整理得
解得
因为 必须满足 ,所以 不符合题意,舍去.
所以,
所以,当时,若该电动车停放区的占地面积为, 的值为 .
【小问2详解】
解:当外墙长度 足够大时,平行于墙的边长 为 ,
可得,解得,
又因为边长必须为正数,
所以
当矩形停放区的占地面积为时,
可得,整理得,
因为,
所以方程无实数解,
即该矩形停车区的占地面积不能达到 .
27. 过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂,比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果.对房间进行消毒时,采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒,每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上,能够达到最佳的消毒效果.李某进行消毒时,室内每立方米空气中的含药量y(毫升)与喷洒消毒液的时间x(分钟)成正比例关系,喷洒完成后,y与x成反比例关系(如图所示).已知喷洒消毒液用时6分钟,此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升.
(1)分别求出当和时,y与x之间的函数关系式;
(2)通过计算说明,李某此次消毒能否达到最佳消毒效果.
【答案】(1)
(2)能,理由如下:
当时,,
当时,
∴,
∴李某此次消毒能达到最佳效果.
【解析】
【分析】(1)由求正比例函数关系式,代入反比例函数,求反比例函数关系式;
(2)分别把代入正比例函数关系式和反比例函数关系式,求出相应的时间,再把时间差和7分钟比较,超过7分钟则能达到消毒的效果.
【小问1详解】
由题意:设时,,
把点代入得:,
,
∴
设时,,
把点代入得:,
,
∴
∴y与x的函数关系式为;
【小问2详解】
略
28. 定义:如果,是一元二次方程的两个根,且,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如:一元二次方程的两个根是,,此时,则方程是“邻根方程”.
(1)下列方程中,属于“邻根方程”的是 (填序号).
①;②;③.
(2)已知方程是“邻根方程”,求m的值.
(3)若方程是“邻根方程”,求证:.
【答案】(1)③ (2)或
(3)
证明:设,是方程的两个根,
由根与系数的关系得:,,
方程是“邻根方程”,
,,
,
.
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程,根与系数之间的关系,熟练掌握新定义,是解题的关键:
(1)求出方程的解,根据新定义进行判断即可;
(2)求出方程的解,根据新定义,进行求解即可;
(3)根据根与系数的关系,结合新定义进行求解即可.
【小问1详解】
解:,解得:,
∴,故①不是“邻根方程”;
,解得:;
∴,故②不是“邻根方程”;
,解得:,
∴;故③是“邻根方程”;
故答案为:③
【小问2详解】
解:方程的两根为,
方程是“邻根方程”,
,即,
或;
【小问3详解】
略
29. 如图,四边形为正方形,点在轴上,点在轴上,且,,反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点.
(1)点的坐标为_____________,反比例函数的表达式为__________;
(2)如图,将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形,点恰好落在反比例函数的图象上,求此时的值和点的坐标;
(3)在的条件下,点为轴上一动点,平面内是否存在点,使以点、、、为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1),.
(2).
(3)或或或.
【解析】
【分析】(1)作垂线构造一线三垂直全等模型,利用正方形性质求出点坐标,代入求反比例函数解析式;
(2)抓住平移特点:平移后纵坐标不变,求出横坐标,得到平移距离,再对点平移得到;
(3)菱形存在性问题,以,,,四个点构成菱形,没有固定顺序,要分三类讨论哪两条线段作为菱形的边或对角线,结合两点距离公式求解.
【小问1详解】
解:(1)作轴于,
四边形是正方形,
,,
,
,
,
,
,,
,
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点.
,
;
【小问2详解】
解:由同理可得,点,
点恰好落在反比例函数的图象上,
当时,,
,
;
【小问3详解】
解:当时,如图,
,
,
四边形是菱形,
,,
,
当点在第二象限时,,
当时,如图,
则点与关于轴对称,
,
当时,如图,设,
则,
,
解得,
,
,
综上:或或或.
【点睛】本题是正方形、反比例函数、平移、菱形存在性综合压轴题.正方形放在坐标系,出现直角,优先考虑一线三垂直全等求点坐标;左右平移只改变横坐标,纵坐标保持不变;菱形存在性问题,没有指明顶点顺序,必须分类讨论,分清是“边相等”还是“对角线互相垂直平分”,防止漏解.
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