精品解析：陕西西安市灞桥区陕西师范大学附属中学陆港学校2026-2027年上学期九年级10月学情自测数学试题

2026-2027学年第一学期第一次乐学监测 九年级数学试题 注意事项： 1．共四大题，26小题，满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题纸上． 一、选择题（共8题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 6. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 10. 已知，则代数式的值是________． 11. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为__________．（精确到，硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计，参考数据：） 12. 如图，在四边形中，，连接，，，点，，分别是，，的中点，连接，，，则_____． 13. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 14. 如图，中，于点，则的最大值为________． 三、解答题（共12题，共78分） 15. 解方程 16. 解不等式组 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 尺规作图：如图，，，连接．在上作点D，使得四边形是菱形． 19. 已知：如图，，是平行四边形对角线上的两点，且．求证：． 20. 如图，在四边形中，，相交于点O，，，平分．求证：四边形是菱形．     21. 如图，，分别在的边，的延长线上，，，，，求的长． 22. 中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神．小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀． （1）任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为__________． （2）先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张．求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率． 23. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 24. 真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 25. 如图，菱形中，E是线段上的点，连接交对角线于点F，且． （1）如果，求证：E是线段中点； （2）如果的角平分线交、于点G、H，求证． 26. 四边形是矩形，点在边上，． （1）【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； （2）【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； （3）【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次乐学监测 九年级数学试题 注意事项： 1．共四大题，26小题，满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题纸上． 一、选择题（共8题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形； B．不是中心对称图形； C．是中心对称图形； D．不是中心对称图形． 2. 一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 3. 小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可证是的中位线，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∵小正方形的边长为， ∴， ∴． 4. 如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 5. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 6. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 7. 如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形是正方形得，由点是的中点得，由平移得，进而得，得出，代换即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由平移得， ∴， ∴, 又∵， ∴． 8. 如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，延长交于，根据正方形性质得四边形是矩形，根据矩形性质得，，，根据折叠性质得，，，进而求出，，根据直角三角形中30度所对边性质得，再根据勾股定理列方程求出，再根据求出，进而得，进一步求出、、、，即可得，再根据，，即可证明，进而得的长，最后根据计算即可得的长． 【详解】解：如图， ∵沿所在直线折叠得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， 过作于，延长交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵即， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不等于，列不等式求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∴实数x的取值范围是． 10. 已知，则代数式的值是________． 【答案】2026 【解析】 【分析】将代数式前两项提取2进行变形，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 11. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为__________．（精确到，硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ∴， 设， ∴，即， 解得，， ∴正方形边长为， ∵要将八角碗放进底面为正方形的长方体硬纸盒， ∴硬纸盒底面的边长至少为． 12. 如图，在四边形中，，连接，，，点，，分别是，，的中点，连接，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理求得的长及，再利用平行线的性质求得，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：点分别是的中点，  是的中位线，  ，  ，  点分别是的中点，  是的中位线，  ，  ，  ，  ， 在中，． 13. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E是AB的黄金分割点， ∴． ∵AB=2米， ∴米． 故答案为：（）． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 14. 如图，中，于点，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最大值可求的最大值． 【详解】解：如下图所示，过点作，使，连接、， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点、、三点共线时有最大值，． 故答案为： ． 三、解答题（共12题，共78分） 15. 解方程 【答案】， 【解析】 【分析】原方程运用公式法求解即可． 【详解】解： ，， ， 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键． 16. 解不等式组 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【解析】 【详解】 解： ，且时分式有意义  当时，原式． 18. 尺规作图：如图，，，连接．在上作点D，使得四边形是菱形． 【答案】如图，点即为所求 【解析】 【分析】根据作角平分线的尺规作图方法作出的平分线与的交点即为点；先根据平行线和角平分线证明，然后进行等量代换结合平行证明四边形是平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】解：图略 证明：连接， ∵， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． 19. 已知：如图，，是平行四边形对角线上的两点，且．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到，，利用两直线平行内错角相等得到，利用证明，利用全等的性质得到，最后利用等量关系证得． 【详解】略 20. 如图，在四边形中，，相交于点O，，，平分．求证：四边形是菱形．     【答案】证明：∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】根据，得到，进而得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； 【详解】略 21. 如图，，分别在的边，的延长线上，，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据，证明，进而得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：， ，， ， ． ，，， ， ． 22. 中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神．小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀． （1）任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为__________． （2）先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张．求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）先列表或画树状图得出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，任意抽取1张卡片，共有3种等可能性结果，抽到每张卡片的可能性是相同的， 抽到“马”的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如图所示，由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中可以拼成“骐”字的结果有2种， 抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率为． 23. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到，，结合的条件，得到关于的一元二次方程，解方程即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∴的值为或． 24. 真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，，从而可得，，四边形为矩形，再由相似三角形的性质以及矩形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，， ∴，，四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故真身宝塔的高度为． 25. 如图，菱形中，E是线段上的点，连接交对角线于点F，且． （1）如果，求证：E是线段中点； （2）如果的角平分线交、于点G、H，求证． 【答案】（1）证明：∵四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，即， 故E是线段中点； （2）证明：∵根据（1）可知， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线平分内角，结合等角对等边得，由得到，再由证，推出，结合菱形边长相等证出E是线段中点； （2）先通过与推导，结合角平分线得，证得，写出相似比例式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 四边形是矩形，点在边上，． （1）【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； （2）【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； （3）【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，，进而问题可求证； （2）在上截取一点，使得，由题意易得，，然后可得，则有，进而根据等腰直角三角形的性质进行求解即可； （3）连接，由题意易得，则有，然后可得，，进而证明进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在上截取一点，使得，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $