精品解析：陕西省西安市浐灞欧亚中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 九年级教学质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、方程，是一元一次方程，则此项不符合题意； B、方程，是一元二次方程，则此项符合题意； C、方程，是二元一次方程，则此项不符合题意； D、方程，是分式方程，则此项不符合题意； 故选：B． 2. 下列判断正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，熟记判定定理是关键．根据菱形，矩形，正方形的判定逐项判断即可． 【详解】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误； 对角线相等的菱形是正方形，故B正确； 对角线相等的平行四边形是矩形，故C错误； 对角线互相平分垂直且相等的四边形是正方形，故D错误． 故选B． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式，即可求解，本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：掌握根的判别式与一元二次方程的根的关系． 【详解】解：由，，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根，选项符合题意， 故选：． 4. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则b的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得， 故选：A． 5. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵是的中点，且， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：C． 6. 将一元二次方程配方后得到的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 7. 2025年暑假，西安某景区单日客流量大约50万人次．而2023年暑假，该景区单日客流量大约36万人次，设这两年暑假该景区单日客流量的年平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据2025年暑假该景区单日客流量年暑假该景区单日客流量建立方程即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：C． 8. 如图，在正方形中，，直角三角形的直角顶点在正方形的中心点O处，直角三角形与正方形分别交于点M，N，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．根据正方形的性质得出，，，即可得证，得出，当时，的长最小，则取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，点O为正方形的中心点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 当时，的长最小，则取得最小值， 此时， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义． 根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 10. 如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是______．（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，根据正方形的性质即可解答． 【详解】解：在中，若对角线，则为矩形， 要使它为正方形，则一组邻边相等即可， 故答案为：． 11. 一个非零数的平方的3倍等于这个数的2倍，则这个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设这个数是，根据题意可得，利用因式分解法解方程可得的值，由此即求解． 【详解】解：设这个数是， 由题意得：， ， ， （舍去）或， 则这个数是， 故答案为：． 12. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行．如图，战旗护卫队排成的队伍是菱形，记为，其中，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据菱形的性质得到是等边三角形，再利用勾股定理求出长，即可得出菱形的面积． 【详解】解：连接，过点B作于点， ∵在菱形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，，，P是上一点，且，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，解直角三角形，勾股定理；方法一：利用矩形的性质求出，的长度，过点P作于点E．求出的长度，再通过三角函数和勾股定理求出结果即可；方法二：由矩形的性质可得，，，，，，，从而得出，，解直角三角形得出，，求出，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：方法一：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵ 在中，，，， ∴，， ∴， 过点P作于点E．则， 因为，， 所以是等腰直角三角形，即． ∴设，则， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴； 方法二：∵四边形为矩形， ∴，，，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，在上任取一点M，连接，以为边作，且，，连接．当最短时，的周长为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、解直角三角形．先根据已知条件判断出是等边三角形，以为边作等边，连接交于点，再证明，通过分析得出当时，最短，然后利用直角三角形的性质求出的长度，进而求出的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 如图，以为边作等边，连接交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时，最短， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：30． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：(用配方法) 【答案】 【解析】 【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】解： 【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算顺序. 16. 解方程：（公式法） 【答案】， 【解析】 【分析】先定系数，再判断判别式，最后代入求根公式即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，， ∴， ∴， ∴，； 【点睛】本题考查求根公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先将方程变形为，再利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为． 18. 如图，四边形是矩形，请用尺规作图法作菱形，其中F在直线上，E在直线上．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】 四边形即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定．连接，作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E，连接，，则四边形即为所求． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 19. 如图，四边形是矩形，对角线交于点O，取的中点E，F，M，并连接，求证：四边形为菱形． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∵、分别是、的中点， ∴，， 同理：，， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、菱形的判定．先利用矩形的性质求得．利用三角形中位线定理求得，，再求得，即可证明四边形为菱形． 【详解】略 20. 某学校在做参加最美校园评选的准备工作，校园园艺师计划在校园的一块矩形空地上建造一个花坛，要求花坛的面积是矩形面积的一半，其余部分进行智能化改造．九年级八班的同学们负责设计方案，同学们分成了2个大组来进行研究，具体分工与作法如下： ①好学小组测得矩形空地的长是16米，宽是12米． ②创新小组的设计如图所示．在矩形内部设计两条宽度相等的道路用来建造花坛，四周的四个小矩形用来进行智能改造． 请聪明的你用所学的数学知识，帮助创新小组进行计算，当道路的宽是多少时，这样的设计符合要求？ 【答案】道路的宽为4米时符合设计要求． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．设道路的宽为x厘米时符合设计要求，再建立方程，求解即可． 【详解】解：设道路的宽为x米时符合设计要求，则 ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为4米时符合设计要求． 21. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，过点D作，且，连接，延长交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的面积为16，则的面积为______． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形； （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定等知识，掌握特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先根据菱形的性质得，，再结合已知条件，得，结合，可知四边形是平行四边形，进而得出结论； （2）利用菱形的面积求得，再证明四边形为平行四边形，求得，则即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形的面积为16， ∴，， ∵， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：16． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，此方程总有实数根． （2）若m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论m取何值，此方程总有实数根； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知方程的解求参数等知识. （1）求出判别式，证明判别式恒大于或等于零即可； （2）利用因式分解法求出方程的根，根据m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数即可求出m的取值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程可化为， ∴，， ∵m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数， ∴，解得， ∴． 23. 真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容． 解方程：． 解：设，则原方程化为， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，． 总结：①解方程的过程中，设，用到了换元法，把看作一个整体a，先解关于a的一元二次方程． ②注意取值范围，舍去不符合条件的a的值，再求出x的值． 根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．根据学习笔记内容设，则原方程化为，进一步计算，求出方程的解即可． 【详解】解：设，则原方程化为， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，． 24. 某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入．设矩形场地的宽为x米． （1）请你写出的长为______米．（用含x的代数式表示） （2）若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽． 【答案】（1） （2）宽为16米 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）利用栏杆的总长度减去3个矩形的宽，再加上2个小门的宽即可得； （2）根据矩形的面积公式建立方程，解一元二次方程，再根据操场东北角的一面最大长度为36米的围墙确定的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，矩形场地的宽为米， ∴米， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：宽为16米． 25. 学习数学最好的方式是自学加深度思考，持续探索．学完配方法，小美同学认真阅读了课本第39页的读一读，自学了数学家赵爽的关于一元二次方程的解法．她继续探索阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的方法．她通过网络收集的材料如下： 阿尔·花拉子米是著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形巧妙解出了一元二次方程的一个解．如图，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x、宽为1的长方形拼合在一起，面积就是，而由原方程变形得，即边长为的正方形的面积为36，据此可得． （1）请你运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形，画出拼接的正方形并求出正根． （2）反思总结：这种方法用到的数学思想是______． 【答案】（1）图如下： （2）数形结合 【解析】 【分析】（1）根据题意，构造出边长为的正方形，求出其面积，解出方程的一个正根即可． （2）根据题意，采用数形结合的方法解答即可． 本题考查了一元二次方程的解法，配方法及数形结合的方法． 【小问1详解】 解：将边长为x的正方形和边长为2的正方形，加两个长方形，长为x，宽为2，拼合在一起，面积就是，即， 由原方程，变形得， 即图中边长为的正方形面积为9． 所以， ∵边长为正数， ∴， ∴， ∴正根为：1． 【小问2详解】 解：这种方法用到的数学思想是数形结合； 故答案为：数形结合． 26. 【问题提出】 （1）如图1，正方形的边长为6，M是对角线上的一个动点，是边的中点，连接，，则在点M的运动过程中，的最小值为______． 【问题探究】 （2）如图2，四边形是菱形，，M，N是对角线上的动点，的长度为4且始终保持不变，连接，，求的最小值． 【问题解决】 （3）某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形，如图3．为了效果更好，站在边处的学生队伍要平分，其中，教学生军体拳的主教官站在点D处，另外两位教官分别在边上的点M处和边上的点N处指导纠正学生的动作，即M，N分别为边，上的动点．通过记录并计算，得到的最小值为，请你计算学生训练方阵正方形的边长． 【答案】（1）；（2）；（3）16 【解析】 【分析】（1）连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可得； （2）过点作，且使得，连接，与交于点，先根据菱形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，，则可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可得； （3）在上取一点，使得，连接，与交于点，先根据正方形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值为，则可得，由此即可得． 【详解】解：（1）如图1，连接，， ∵正方形的边长为6，是边的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． （2）如图2和图3，过点作，且使得，连接，与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 在图2和图3中，都有，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． （3）如图4，在上取一点，使得，连接，与交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值为， ∵的最小值为， ∴， ∴， 即学生训练方阵正方形的边长为16． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（2），通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 试卷类型：A 九年级教学质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列判断正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则b的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 6. 将一元二次方程配方后得到的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 2025年暑假，西安某景区单日客流量大约50万人次．而2023年暑假，该景区单日客流量大约36万人次，设这两年暑假该景区单日客流量的年平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，直角三角形的直角顶点在正方形的中心点O处，直角三角形与正方形分别交于点M，N，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是______． 10. 如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是______．（答案不唯一，写出一个即可） 11. 一个非零数的平方的3倍等于这个数的2倍，则这个数是______． 12. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行．如图，战旗护卫队排成的队伍是菱形，记为，其中，，则菱形的面积为______． 13. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，，，P是上一点，且，则的长为__________． 14. 如图，在矩形中，，，在上任取一点M，连接，以为边作，且，，连接．当最短时，的周长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：(用配方法) 16. 解方程：（公式法） 17. 解方程：． 18. 如图，四边形是矩形，请用尺规作图法作菱形，其中F在直线上，E在直线上．（不要求写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，四边形是矩形，对角线交于点O，取的中点E，F，M，并连接，求证：四边形为菱形． 20. 某学校在做参加最美校园评选的准备工作，校园园艺师计划在校园的一块矩形空地上建造一个花坛，要求花坛的面积是矩形面积的一半，其余部分进行智能化改造．九年级八班的同学们负责设计方案，同学们分成了2个大组来进行研究，具体分工与作法如下： ①好学小组测得矩形空地的长是16米，宽是12米． ②创新小组的设计如图所示．在矩形内部设计两条宽度相等的道路用来建造花坛，四周的四个小矩形用来进行智能改造． 请聪明的你用所学的数学知识，帮助创新小组进行计算，当道路的宽是多少时，这样的设计符合要求？ 21. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，过点D作，且，连接，延长交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的面积为16，则的面积为______． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，此方程总有实数根． （2）若m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数，求m的值． 23. 真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容． 解方程：． 解：设，则原方程化为， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，． 总结：①解方程的过程中，设，用到了换元法，把看作一个整体a，先解关于a的一元二次方程． ②注意取值范围，舍去不符合条件的a的值，再求出x的值． 根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：． 24. 某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入．设矩形场地的宽为x米． （1）请你写出的长为______米．（用含x的代数式表示） （2）若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽． 25. 学习数学最好的方式是自学加深度思考，持续探索．学完配方法，小美同学认真阅读了课本第39页的读一读，自学了数学家赵爽的关于一元二次方程的解法．她继续探索阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的方法．她通过网络收集的材料如下： 阿尔·花拉子米是著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形巧妙解出了一元二次方程的一个解．如图，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x、宽为1的长方形拼合在一起，面积就是，而由原方程变形得，即边长为的正方形的面积为36，据此可得． （1）请你运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形，画出拼接的正方形并求出正根． （2）反思总结：这种方法用到的数学思想是______． 26. 【问题提出】 （1）如图1，正方形的边长为6，M是对角线上的一个动点，是边的中点，连接，，则在点M的运动过程中，的最小值为______． 【问题探究】 （2）如图2，四边形是菱形，，M，N是对角线上的动点，的长度为4且始终保持不变，连接，，求的最小值． 【问题解决】 （3）某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形，如图3．为了效果更好，站在边处的学生队伍要平分，其中，教学生军体拳的主教官站在点D处，另外两位教官分别在边上的点M处和边上的点N处指导纠正学生的动作，即M，N分别为边，上的动点．通过记录并计算，得到的最小值为，请你计算学生训练方阵正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $