精品解析：陕西咸阳启迪中学2026-2027学年上学期 九年级数学学情自测卷

2026－2027学年度第一学期第一次学科素养测试 九年级数学试题 一．选择题（共8小题，共计24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意． 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，4，6，12 B. 2，3，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 3. 如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 4. 如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】， 即 故选：B． 5. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（   ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点． 由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6. 如图，在中，，，，为边上的动点，于点，于点，连接，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，判定四边形是矩形，得出，然后根据勾股定理求出相关线段的长度，根据垂线段最短以及等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 根据垂线段最短可得，当时，的值最小，即的值最小， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴当时，由等面积得， ∴， 即线段长度的最小值是． 7. 如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，则，根据矩形鸡舍的面积为，列出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又墙长， ， 即的长为， 故选：D． 8. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H，给出下列结论： ①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和等边三角形的性质，易得：，，进而得到；②根据两个角对应相等的两个三角形相似证明；③根据相似三角形的性质得出；④根据，得到，进而推出，利用正方形的对角线平分一组对角，推出，进而得到，根据，推出，即可证明． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②符合题意； ∴， ∴，故③符合题意； ∵， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； 综上：正确的是①②③④． 二．填空题（共6小题，共计18分） 9. 已知，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由比例的性质设，，代入即可求解. 【详解】设，， 则 故答案为. 【点睛】本题考查根据比例式求代数式的值，设比例参数是解决本类问题的常用方法. 10. 已知方程的一个根为，则m的值为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】方程的根满足方程，将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， 整理得， 解得． 11. 2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为黄金比，将已知的长代入比例式，化简计算即可求解． 【详解】解：设海报的宽为，已知长为，由黄金矩形的定义可得 ， 解得， 即宽为． 12. 若，则的值为 ______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知可得，，，即可得，再分和两种情况解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 当时，解得； 当时，， ∴； 综上，的值为或， 故答案为：或． 13. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排15场比赛建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：， 故选：． 14. 如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，连接，过A作于M，在上截取，连接，由菱形的性质推出，，判定，推出，得到，判定是等边三角形，求出，判定F、G、K共线，且，由菱形的性质推出，，求 出，得到，于是． 【详解】解：连接，过A作于M，在上截取，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴F、G、K共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共计58分） 15. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 16. 如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）     【答案】 如图，点E，F即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作出线段的垂直平分线是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线分别交，于点E，F，连接、，即可． 【详解】理由：设交于点O， 根据作法得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 17. 如图，Rt中，，是边上的中线，过点作，过点作与交于点．猜想四边形的形状并说明理由． 【答案】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵，， 四边形为平行四边形． 中，，为斜边边上的中线．  ． 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定和直角三角形斜边上的中线性质是解此题的关键． 先证四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质得出，然后根据菱形的判定即可得出结论． 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； （2）直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； 【答案】（1）如图，为求作的图形， （2）， 【解析】 【分析】（1）连接并延长，使，连接并延长，使，在轴上取点，即为点，连接，得，图略； （2）由图得点的坐标，根据位似中对应点的坐标的变化规律可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点坐标为；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标为：． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 20. 如图，是的角平分线，在边上取点，使． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：是的角平分线， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由得出，即可判定； （2）先由三角形外角的定义及性质得出，由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再由相似三角形的性质得出，最后由三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 21. 某商店以每套40元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ 【答案】（1）该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为； （2）当该组合套装的售价为48元时，月销售利润为4800元． 【解析】 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意得， 解得，， 答：该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每套降价元， 由题意得， 解得，（舍去）， ， 答：当该组合套装的售价为48元时，月销售利润为4800元． 22. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： ， ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当时，， ∴，即， 解得：， ②当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 23. 在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 初步感知： （1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空： ．___________． 深入探究： （2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度（），连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1）， （2）①（1）中的结论仍然成立， 证明：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ， ， ∴， ∴， ，， ，； ② 【解析】 【分析】（1）证明，可得，，从而得到，进而得到；根据题意可得，，即可得到； （2）①证明四边形为平行四边形，可得，，从而得到，根据题意可得，可证明，可得，从而得到的度数，即可；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点作于点，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点，，三点共线时，取得最小值，最小值为，此时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得、的长，再结合，即可求解． 【小问1详解】 解：点为的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ； ，，，， ，， ， ； 【小问2详解】 ①略； ②在中， ，，， ， 由①得：四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点作于点，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ，， ， 即当点，，三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时，最小， ， ， ， ， ， ， 由①得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期第一次学科素养测试 九年级数学试题 一．选择题（共8小题，共计24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，4，6，12 B. 2，3，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 3. 如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（   ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 如图，在中，，，，为边上的动点，于点，于点，连接，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 6 7. 如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 8. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H，给出下列结论： ①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ②③ 二．填空题（共6小题，共计18分） 9. 已知，则_______________. 10. 已知方程的一个根为，则m的值为_____． 11. 2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 12. 若，则的值为 ______ ． 13. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：____________ 14. 如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是_______． 三．解答题（共8小题，共计58分） 15. 解方程： （1） （2）． 16. 如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）     17. 如图，Rt中，，是边上的中线，过点作，过点作与交于点．猜想四边形的形状并说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； （2）直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 20. 如图，是的角平分线，在边上取点，使． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 21. 某商店以每套40元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ 22. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： ， ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 23. 在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 初步感知： （1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空： ．___________． 深入探究： （2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度（），连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $