精品解析：青海大通县朔山中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次阶段检测数学试题

大通县朔山中学2026~2027学年度第一学期高二年级第一次阶段检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 3. 已知点，点满足，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，求向量，的坐标表示，由条件列方程求即可. 【详解】设点，因为， 所以， 又，所以， 解得，，，所以点的坐标是. 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】， 5. 已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理得到，进而得到，根据待定系数法求解即可. 【详解】由题意可知，若，，，四点共面，则，， 即， 所以， 又，所以，，， 可得，即，所以. 故选：A. 6. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 7. 是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量，得，则（ ） A. 4 B. 2 C. -2 D. -4 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，因为是空间的一个单位正交基底，所以即所以. 8. 已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】使用向量的模的公式与向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，解得. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，则下列点的坐标正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】因为正方体的棱长为，且分别是棱的中点， 点的坐标为，A正确. 点的坐标为，B错误. 点的坐标为，C正确. 点的坐标为，D错误. 10. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合共面向量的充要条件即可求解． 【详解】由共面向量的充要条件可得： 对于A选项， ，所以三个向量共面； 对于B选项，，所以三个向量共面； 对于C选项，假设三个向量共面， 则存在，使得， 则，即三个向量共面， 这与已知构成空间的一个基底矛盾，故假设错误， 即三个向量不共面，故C不正确； 对于D选项，＝，所以三个向量共面； 故选：ABD． 11. 如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（ ） A. 若，则点在线段上 B. 若，则点在线段上 C. 若，则不存在点，使得 D. 若，则存在点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，可确定点P所处的位置，找出特殊点，说明，即可判断，对于D，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，利用向量的数量积的运算求出相应的参数值，即可判断. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点在线段上，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点在线段上，故B正确； 对于选项：当时，取线段的中点分别为，连接， 因为，即，即，所以， 则点在线段上，当位于D处时，结合为正三角形，知， 即时，存在点，使得，C错误； 取的中点为，取的中点为M，连接， 在正中，易知，在正三棱柱中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 设，则，，， 则，，， 由，则，， 当时，即，则， 即，此时， 即时，存在点，使得，D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在轴上有一点，点到点与点的距离相等，则点坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标，根据空间两点距离公式列方程求解. 【详解】由题：设，点到点与点的距离相等， 所以， ，， 解得：， 所以点的坐标为. 故答案为： 【点睛】此题考查空间之间坐标系中两点的距离公式，根据公式列方程求解点的坐标，关键在于准确辨析正确计算. 13. 已知四点共面，则实数__________. 【答案】 【解析】 【详解】，因为四点共面，所以存在实数，使得， ，， 所以，解得，所以. 14. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干所给的垂直关系建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式计算． 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 故点到直线的距离为． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知.求： （1）； （2）. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用空间向量的坐标运算求解. 【小问1详解】 由，得，而， 所以. 【小问2详解】 由， 得. 16. 如图，正方体的棱长为分别为的中点. （1）求直线和所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系利用异面直线夹角的余弦公式计算. （2）利用点到平面的距离公式计算. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为分别为的中点，所以， 所以. 设直线和所成角为， 则， 即直线和所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）知， 设是平面的法向量， 则即 令，则，所以是平面的一个法向量， 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为. 17. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点. （1）求的长； （2）证明：. 【答案】（1）； （2） 由（1）知， 在菱形中，， 所以 ， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）由，根据已知及向量数量积的运算律求向量的模长； （2）由（1）及，应用向量数量积的运算律求，即可证. 【小问1详解】 以为一个基底， 由题意知， 又， 所以 ， 所以； 【小问2详解】 略 18. 如图，在四面体中，平面分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明： 因为分别为的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由和线面平行判定定理即可证明； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用即可计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，即. 因为平面平面，所以， 故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量， 则即不妨设，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别是的中点，是等边三角形，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）因为是等边三角形，是的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面. 又平面，所以. 连接，由分别是的中点，得， 在正方形中，，所以， 又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由条件平面平面，根据面面垂直性质定理证明平面，由此可得，再证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面法向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接， 在正方形中，分别是的中点，所以， 由平面平面，所以， 又，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以. 由，得， 所以，即. ， 设平面的法向量为，则， 所以，令，则， 即是平面的一个法向量. ， 设平面的法向量为，则， 所以，令，则， 即是平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大通县朔山中学2026~2027学年度第一学期高二年级第一次阶段检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，点满足，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量，得，则（ ） A. 4 B. 2 C. -2 D. -4 8. 已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，则下列点的坐标正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（ ） A. 若，则点在线段上 B. 若，则点在线段上 C. 若，则不存在点，使得 D. 若，则存在点，使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在轴上有一点，点到点与点的距离相等，则点坐标为____________. 13. 已知四点共面，则实数__________. 14. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，则点到直线的距离为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知.求： （1）； （2）. 16. 如图，正方体的棱长为分别为的中点. （1）求直线和所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 17. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点. （1）求的长； （2）证明：. 18. 如图，在四面体中，平面分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别是的中点，是等边三角形，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $