精品解析：福建龙岩市新罗区龙岩东山中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

龙岩二中东山校区2026-2027学年第一学期 第一次限时训练 九年级数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程须为整式方程且只含一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】解：A选项，含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B选项，不是整式方程，不属于一元二次方程，不符合题意； C选项，含一个未知数，未知数的最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； D选项，含一个未知数，未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该抛物线解析式为顶点式，对照标准形式可直接确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线可化为 ∴顶点坐标为． 4. 将二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的规律是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：， 则， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 7. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案. 【详解】A：a=3，所以开口向上，故A错误； B：对称轴=4，故B正确； C：顶点坐标为(4，-2)，故C错误； D：当x<4时，y随x的增大而减小，故D错误； 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质. 8. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近， ∴， 故选：B． 9. 在同一直角坐标系中，函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质以及分析能力和读图能力，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解本题的关键． 分别对每一个选项进行分析，利用一次函数而二次函数的图象与性质进行分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，由抛物线可知，则，矛盾，故A错误，不符合题意； B、由一次函数图象可知，由抛物线可知，则，矛盾，故B错误，不符合题意； C、由一次函数图象可知，由抛物线可知，也是，由二次函数解析式求得对称轴为直线，应在轴左侧，与选项图不符，故C错误，不符合题意； D、由一次函数图象可知，由抛物线可知，也是，由二次函数解析式求得对称轴为直线，应在轴左侧，与选项图相符，故D正确，符合题意． 故选：D． 10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出，结合对称轴位置判断出，再根据与y轴的交点位置，判断，进而得出结论①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出，进而得出，即可判断⑤错误；综上即可得答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ， 故①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ②正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ③正确； 点到直线的距离比点到直线的距离小，且抛物线开口向上， ， 故④错误； ， ， 故⑤错误． 综上所述，正确的有②③，一共2个． 故选：A． 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 一元二次方程的根是_______． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ∴或 解得，． 12. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， 解得． 13. 二次函数的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式直接可得答案． 【详解】解：二次函数 其对称轴为直线， 故答案为：直线． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线顶点式． 14. 某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均每月增长率表示出三月份的产量，结合给出的三月份总产量列出方程即可． 【详解】解：∵一月份总产量为吨，平均每月的增长率为， ∴二月份的产量为吨， ∴三月份的产量为吨， ∵已知三月份总产量为吨， ∴可列方程为． 15. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 16. 已知关于的一元二次方程有一个根是，若抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、解一元一次不等式等知识点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键．将代入可得，即；由，则，，；二次函数的图像的顶点在第一象限，则且，最后解不等式组即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵二次函数的图像的顶点在第一象限， ∴顶点坐标为 ∴且， 将，，代入上式得： ， 整理得：， ∵， ∴要使成立，则， ∴， 解得：， 当时，， ∴要使成立，则， 解得：， ∴． 故答案为：． 二、解答题（本大题9小题，满分86分．） 17. 选择合适的方法解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 18. 已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如表； x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … （1）此二次函数图象的顶点坐标为 ，m的值为 ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象回答：当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1）；5 （2）二次函数的图象，如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 19. 已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）m的值为3或 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）表示出根的判别式，证明大于零即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 20. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点且过点． （1）求抛物线解析式； （2）求三角形的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点为，得出，然后把C点坐标代入求出a即可； （2）先解方程得到点A、B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴，，即， 把，代入得到， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴， ∴三角形的面积． 21. 如图，某公园准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，其他三边用长为54米的篱笆围成，已知墙EF长为28米，并且与墙平行的一面BC上要预留2米宽的入口（如图MN所示，不用围篱笆）．当矩形花园面积为360平方米时，求矩形花园长和宽． 【答案】矩形花园长为20米，宽为18米 【解析】 【分析】设矩形花园BC的长为x米，则AB的长为米，根据矩形花园面积为360平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 【详解】解：设矩形花园BC的长为x米，则AB的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， ， 答：矩形花园长为20米，宽为18米． 22. 已知关于x的一元二次方程．其中a、b、c分别为边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． （2）如果方程有两个相等的实数根．试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）解：是等腰三角形， 理由：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：是直角三角形， 理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）把代入一元二次方程，得出，即可得出三角形的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根，得出，即可得出，说明三角形为直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 实践主题：黄金分割数． （1）材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． （2）顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过交叉相乘得到关于的一元二次方程，利用求根公式计算即可得出结果； （2）根据黄金三角形的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：线段，的长为，则可表示为，， ∴，即， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵为黄金三角形，， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴． 24. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子： ①， ．因此，代数式有最小值； ②， ．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； （2）求代数式的最小值； （3）已知的三条边的长度分别为a、b、c，且满足，且c为正整数，求的周长的最大值． 【答案】（1）；6 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，三角形三边关系，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子中a、b的值，再根据三角形三边关系即可解答． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； ， ∵， ∴， ∴代数式的最大值为6； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问3详解】 解： ， 的三条边的长度分别为a、b、c，且c为正整数， ，即， 的最大值为10， 的周长的最大值为：． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． （3）点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． 【答案】（1） （2） （3），最大值为 【解析】 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； 【小问3详解】 解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 则， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中东山校区2026-2027学年第一学期 第一次限时训练 九年级数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 将二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 6. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 7. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 8. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一直角坐标系中，函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 一元二次方程的根是_______． 12. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 13. 二次函数的对称轴是______． 14. 某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为__________． 15. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 16. 已知关于的一元二次方程有一个根是，若抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是__________． 二、解答题（本大题9小题，满分86分．） 17. 选择合适的方法解方程 （1） （2） 18. 已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如表； x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … （1）此二次函数图象的顶点坐标为 ，m的值为 ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象回答：当时，y的取值范围是 ． 19. 已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，且，求m的值． 20. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点且过点． （1）求抛物线解析式； （2）求三角形的面积． 21. 如图，某公园准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，其他三边用长为54米的篱笆围成，已知墙EF长为28米，并且与墙平行的一面BC上要预留2米宽的入口（如图MN所示，不用围篱笆）．当矩形花园面积为360平方米时，求矩形花园长和宽． 22. 已知关于x的一元二次方程．其中a、b、c分别为边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． （2）如果方程有两个相等的实数根．试判断的形状，并说明理由． 23. 实践主题：黄金分割数． （1）材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． （2）顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． 24. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子： ①， ．因此，代数式有最小值； ②， ．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； （2）求代数式的最小值； （3）已知的三条边的长度分别为a、b、c，且满足，且c为正整数，求的周长的最大值． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． （3）点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $