精品解析：福建厦门市槟榔中学2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自测卷

2026-2027学年九年级上学期阶段性限时训练（数学） 一、选择题（3×8=24分） 1. 如图是抛物线的示意图，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向判断的正负性，进而从选项中筛选出符合条件的值． 【详解】由图象可知，抛物线开口向下，  ， 选项中只有， 的值可以是． 2. 抛物线的对称轴是（　　） A. y轴 B. 直线x=2 C. 直线 D. 直线x=﹣3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由二次函数的公式法可得顶点坐标为， 故对称轴为x==0， 所以对称轴为y轴． 故选：A． 3. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 方程为， ∴，，， 由根与系数的关系得，，． 4. 已知点都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入两点横坐标计算函数值，比较大小即可． 【详解】解：将代入， 得， 将代入， 得， ∵， ∴． 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（ ） A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D． 6. 二次函数的图象与一次函数的交点的个数有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【详解】解：联立， 整理得， ∵， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根， ∴两个函数图象的交点个数为个． 7. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … 0.56 0.25 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．根据函数与x轴交点的纵坐标为零求解即可． 【详解】解：∵时，；时，， ∴该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是． 故选B． 8. 设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 二、填空题（3×15=45分） 9. （1）方程的解是___________； （2）方程的解是___________． 【答案】 ①. ②. ， 【解析】 【详解】解：（1） 直接开平方可得， ∴解得； （2） 提取公因式，原方程变形为， ∴或， 解得，． 10. 抛物线的对称轴是___________，顶点坐标是___________． 【答案】 ①. 直线 ②. 【解析】 【分析】抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：抛物线解析式为，对应的，， ∴对称轴是直线，顶点坐标是． 11. 把的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，分步计算平移后的解析式． 【详解】解：原函数解析式为， 将图象向左平移个单位，对加上平移单位，得到第一次平移后解析式为， 再将所得图象向下平移个单位，对整体减去平移单位，得到：， 即所得函数的解析式为． 12. 若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_______． 【答案】m＜1 【解析】 【分析】根据△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题． 【详解】解：∵二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点， ∴△＞0， ∴4-4m＞0， ∴m＜1． 故答案为：m＜1． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是记住△=0⇔抛物线与x轴只有一个交点，△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点，△＜0⇔抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型． 13. 如果二次函数的图象经过原点，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握若一点在函数图象上，则此点坐标满足函数图象解析式是解题的关键，需要注意解出的值要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出的值，再排除二次项系数不为的情况． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得：， 解得：或， ∵二次函数中二次项系数不为，得， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为___________． 【答案】， 【解析】 【分析】观察图象得出对称轴为直线及与轴的一个交点坐标为，利用二次函数图象的对称性求出另一个交点坐标，进而得出方程的解． 【详解】解：观察图象可知，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为． 设抛物线与轴的另一个交点坐标为，根据抛物线的对称性， 得， 解得， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 关于的一元二次方程的解为，． 15. 二次函数，当时，的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先将二次函数配方得到开口方向与对称轴，结合给定的取值范围，计算顶点和端点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵，对称轴在区间内， ∴当时，取得最小值， 分别计算顶点、端点的函数值： 当时，， 当时，， ∵， ∴在区间内的最大值为， 因此，当时，的取值范围是． 16. 飞机着陆后滑行的距离（米）与滑行时间（秒）的关系满足．当滑行时间为秒时，滑行距离为米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是______秒． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质；先求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质即可得解． 【详解】解：把，代入得， ， 解得 ∴， ∴时，最大，即飞机从着陆到停止，滑行的时间是秒， 故答案为：． 17. 如图，直线与抛物线相交于，两点，则关于的不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可得，不等式的解集即为抛物线图象位于直线图象上方部分对应的x的取值范围，结合交点横坐标求解． 【详解】解：由图象可知，直线与抛物线的交点，的横坐标分别为，5， 不等式表示抛物线的图象在直线的图象上方， 观察图象可知，当时，抛物线在直线上方， ∴不等式的解集是． 18. 小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出，然后得到，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 对于二次函数与，其自变量与函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数图象的相关性质可知______，______ x ﹣1 c c d 【答案】 ①. 1 ②. 3 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可知m=1，将d用含c的式子表示出来即可． 【详解】解由二次函数的性质可得的对称轴为y轴，故由表可得， ∴m=1； ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴d=c+3， ∴3， 故答案为：1，3． 【点睛】此题考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20. 已知是抛物线上的任意两点，若对于，，都不存在的情形，则的取值范围是___________． 【答案】 或或 【解析】 【分析】不存在等价于抛物线对称轴不在所有可能的的取值范围内，据此列不等式求解，排除不符合题意的即可． 【详解】解：∵抛物线是二次函数， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 若抛物线上存在，则满足， ∵，， ∴的取值范围为， 整理得， 两边同除以2得：， ∵要使不存在，则， 即与无公共部分，且m不在内， 对于与无公共部分， ∴或， 解得：或， 对于：由于，则或， 对于m不在内，此时分两种情况讨论： ①： 两边同乘2得：，解得， 结合，得； ②： 两边同乘2得：，解得； 综上，m的取值范围是或或． 三、解答题 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别化简绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】原式 ． 22. 先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】 = ＝， 当x=-1时， 原式 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 23. 如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ，． 又， ． ， ， ．即． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据矩形性质结合证明，继而可得，根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可得出结论． 【详解】略 24. 已知：抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），顶点为．求三点的坐标，并求的面积． 【答案】，，；的面积为 【解析】 【分析】令，解一元二次方程得两点坐标，通过配方法求抛物线顶点的坐标，再以为底、点到轴的距离为高计算三角形面积． 【详解】解：令，得， 整理得， 因式分解，得， 解得，． 点在点左侧， ，． 对抛物线解析式配方，得， 顶点的坐标为． 可画出抛物线示意图，连接，，得到． ，中边上的高为点到轴的距离，即为， ． 25. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，正方形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的解析式，并画出符合题意的函数图象； （2）将正方形向左平移，当点落在这个二次函数的图象上时，平移的距离为___________； （3）将抛物线向上平移2个单位长度得到新的抛物线，判断点和点（其中）是否在新抛物线上，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）解：点在新抛物线上，点不在新抛物线上.理由如下： 平移后的解析式为， 当时，， ∴点在新抛物线上， ∵， ∴， ∴当时，， ∴点不在新抛物线上. 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，描点，连线，画出函数图象即可； （2）求出平移后点的横坐标，即可得出结果； （3）求出平移后的解析式，把两个点的横坐标代入，求出函数值，进行判断即可. 【小问1详解】 解：由题意，把点代入，得，解得， ∴； 画图略 【小问2详解】 解：由图可知，平移前， ∵； ∴当时，解得（负值舍去）； ∴平移距离为； 【小问3详解】 略 26. 为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售西梅，成本价为50元/箱．直播后，按每箱70元销售，第一天卖出了80箱． （1）每箱的销售利润为___________元；第一天的销售利润共___________元； （2）若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率； （3）若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10箱．求当售价降低多少时，日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）20，1600 （2） （3）售价降低元时，日销售利润最大，最大利润是1960元 【解析】 【分析】（1）根据“单箱利润=售价-成本，总利润=单箱利润销量”直接计算． （2）设平均增长率为，利用平均增长率公式列一元二次方程，舍去负根得到增长率； （3）设售价降低m元，构造日利润关于m的二次函数，配方求函数最大值． 【小问1详解】 解：每箱销售利润：（元）， 第一天总销售利润：（元）； 【小问2详解】 解：设第二天、第三天日销售利润的平均增长率为． 第一天利润为1600元，列方程： 解得：，（舍去）， 答：第二天、第三天日销售利润的平均增长率为． 【小问3详解】 解：设售价降低元，日销售利润为元． 每箱利润：元，日销售量：箱． ， ，抛物线开口向下， 当时，取得最大值，最大值是1960． 答：当售价降低元时，日销售利润最大，最大利润是1960元． 27. 已知关于的方程，其中． （1）判断该方程的根的情况，并说明理由； （2）是线段上一点，的长是该方程的一个根，且．确定点在线段上的位置，并说明理由． 【答案】（1）解：该方程有两个不相等的实数根， 理由：对于方程， 判别式， 计算得 ， ∵， ∴. ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：点在线段上，且到点的距离为（即）. 理由：∵是方程的一个根， ∴， 整理得， ∵， ∴， 将代入上式， 得， 化简得， 即， ∴， ∵点在线段上，，， ∴， 即点到点的距离为． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． （1）若是“二倍根方程”，求的值． （2）若方程是“二倍根方程”，求与之间的关系． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出原方程的解为，再由“二倍根方程”的定义解答即可； （2）设与是方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：， 解得：， ∵是“二倍根方程”， ∴或即， 当时，； 当时， 综上所述，的值为或； 【小问2详解】 解：设与是方程的解， ，， 即，， ∴，即． 29. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】（1），； （2） （3）她当天的比赛能成功完成此动作． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出解析式，即可； （2）分别求出两个解析式当时，的值，进行比较即可； （3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，图象过点，，， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； 米； ， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 当时，， ， 即她在水面上能够完成此动作， 她当天的比赛能成功完成此动作． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期阶段性限时训练（数学） 一、选择题（3×8=24分） 1. 如图是抛物线的示意图，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 抛物线的对称轴是（　　） A. y轴 B. 直线x=2 C. 直线 D. 直线x=﹣3 3. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（ ） A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 6. 二次函数的图象与一次函数的交点的个数有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 7. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … 0.56 0.25 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（3×15=45分） 9. （1）方程的解是___________； （2）方程的解是___________． 10. 抛物线的对称轴是___________，顶点坐标是___________． 11. 把的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数的解析式为___________． 12. 若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_______． 13. 如果二次函数的图象经过原点，那么______． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为___________． 15. 二次函数，当时，的取值范围是___________． 16. 飞机着陆后滑行的距离（米）与滑行时间（秒）的关系满足．当滑行时间为秒时，滑行距离为米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是______秒． 17. 如图，直线与抛物线相交于，两点，则关于的不等式的解集是___________． 18. 小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 19. 对于二次函数与，其自变量与函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数图象的相关性质可知______，______ x ﹣1 c c d 20. 已知是抛物线上的任意两点，若对于，，都不存在的情形，则的取值范围是___________． 三、解答题 21. 计算：． 22. 先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 23. 如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 24. 已知：抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），顶点为．求三点的坐标，并求的面积． 25. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，正方形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的解析式，并画出符合题意的函数图象； （2）将正方形向左平移，当点落在这个二次函数的图象上时，平移的距离为___________； （3）将抛物线向上平移2个单位长度得到新的抛物线，判断点和点（其中）是否在新抛物线上，并说明理由． 26. 为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售西梅，成本价为50元/箱．直播后，按每箱70元销售，第一天卖出了80箱． （1）每箱的销售利润为___________元；第一天的销售利润共___________元； （2）若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率； （3）若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10箱．求当售价降低多少时，日销售利润最大，最大利润是多少？ 27. 已知关于的方程，其中． （1）判断该方程的根的情况，并说明理由； （2）是线段上一点，的长是该方程的一个根，且．确定点在线段上的位置，并说明理由． 28. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． （1）若是“二倍根方程”，求的值． （2）若方程是“二倍根方程”，求与之间的关系． 29. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $