湖北省荆州中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

荆州中学2025级高二10月月考 数 学 试 题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数，则(    ) A. B. C. D. 2.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知 ，，，则四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 3.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是(    ) A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5.设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的数术记遗，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位，上面一粒珠简称上珠代表，下面一粒珠简称下珠是，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨粒下珠，得到大于的数的概率是(    ) A. B. C. D. 7.在空间直角坐标系中，，，，向量且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.已知圆锥的高为，体积为为的一条直径，为上一点不与，重合设二面角和的正切值分别为，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是(    ) A. 复数为虚数单位的共轭复数 B. 复数为虚数单位是纯虚数，则 C. 一组样本数据为，，，，，，，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D. 若样本，，，的平均数和方差分别为和，则，，，的平均数和方差分别为和 10.在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为、、、的个神秘书签，书签除编号外完全相同小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号(    ) A. 小张不可能两次都抽出编号为的书签 B. “两书签编号之和为”的概率是 C. “抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为”相互独立 D. “抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为”的概率为 11.在长方体中，，，为棱的中点，点为侧面内的动点包含边界，则下列说法正确的有(    ) A. 满足的点有且只有两个 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为 D. 若平面，四棱锥的顶点都在球上，则球体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.点关于轴的对称点的坐标为_________ ． 13.设正方体的棱长为，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为_______________． 14.设集合，，从所有函数：中随机选取一个，则满足函数为常函数的概率为____________  ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题3分 已知在中，角，，的对边分别为，，，向量，，． 求角的大小． 若，且，求边的长． 16.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，且． 证明：平面； 求平面与平面夹角的余弦值． 17. 本小题分 年月日，荆州市举办了马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障荆州市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作现随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． 求的值； 估计这名候选者面试成绩的平均数和第百分位数； 现从以上各组中用按比例分层随机抽样的方法选取20人，担任本市 宣传者若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差 分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别 为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 18.本小题7分 为筹备“湖北省城市足球联赛楚超”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从道经典战术分析题中任选题作答，若两题均答对得分，其余情况得分第二轮为实战应变测试：从道实战应变题中任选题作答，每答对题得分，答错得分若两轮总成绩不低于分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为乙第一轮测试题仅掌握其中题掌握的题必答对，未掌握的题必答错，乙第二轮每题答对的概率为所有测试中，每项成功与否互不影响． 求甲两轮测试总分为分的概率 求乙在第一轮测试中得分的概率 试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单 19.本小题分 如图，在矩形中，，，为线段上的点，且，将沿折起，点翻折至位置，连接，，形成四棱锥． 若为棱上的点，且满足平面，求 的值 若二面角的平面角大小为，求到平面的距离 求直线与平面所成角的正切值取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二10月月考数学试卷答案和解析           9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】解：    ， 对于，，， 所以 ，所以 ， 所以 ，，可得． 又因为，， 由已知可得   ，由正弦定理得． 因为，所以，即，． 由余弦定理得 ， 所以，，所以．  16.【解析】解：证明：显然，，两两垂直，则可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，， ，，， 则， 所以，所以， 又， 所以，所以， 又因为，平面，， 所以平面； 由可知，，又， 设平面的法向量为， 则，令，得，，即， 又平面，故可取平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则． 所以平面与平面所成角的余弦值为． 17.【答案】解：根据题意可得，解得； 根据题意估计这名候选者面试成绩的平均数为：， 因为前几组的频率依次为，，，， 所以第百分位数在内，且为； 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为．  18.【答案】解：设“甲两轮总分得分”为事件， “甲第一轮答错一题得分，第二轮答对一题得分”为事件， “甲当第一轮答错两题得分，第二轮答对一题得分”为事件， 则，， ， 所以； 对第一轮的个问题进行编号：，，，，，第一轮从个问题中任选两题作答， 则有，，，，，，，，，共种， 设乙只能答对个问题的编号为：，，，， 则乙在第一轮得分，有，，，，，共种， 则乙在第一轮得分的概率为：； 由知，乙在第一轮得分的概率为， 则乙在第一轮得分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总分不低于分， 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 甲和乙晋级复赛的概率分别为： ， ， 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 甲和乙获得面试资格的概率分别为： ， ， 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 甲和乙获得面试资格的概率分别为： ， ， 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 甲获得面试资格的概率分别为： ， 甲获得面试资格的概率为： ， 乙获得面试资格的概率为： ， ， 乙更有机会获得面试资格，进入正式教练团队备选名单．  19.【答案】解：在中，，，， 则，， 在线段上截取，连接，，， 由，可得四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 则平面， 因为平面， 又，平面， 则平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以， 又，， 则； 过点作，垂足为，则， 易知， 为二面角的平面角的补角， ， 又，故B到平面的距离为； 连接，在中，，， 则， 又在中，，， 则，故B、、三点共线， 易得平面， 又平面， 平面平面， 则即直线与平面所成角， 由题可知，在以为圆心，为半径的圆上， 则当直线与圆相切时，取得最大值， 此时，， 故直线与平面所成角的正切值取值范围为  学科网（北京）股份有限公司 $