湖北省荆州中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

荆州中学2025—2026学年高二上学期12月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为”，你认为下列解释正确的是    A. 本地区有的地方下雨 B. 本地区有的时间下雨 C. 明天出行不带雨具，一定被雨淋 D. 明天出行不带雨具，有的可能被雨淋 2.下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是  A. B. C. D. 3.在数列中，，，则     A. B. 1 C. D. 2 4.已知，，，若P，A，B，C四点共面，则(    ) A. 3 B. C. 7 D. 5.已知向量在向量上的投影向量是，且，则    A. B. C. D. 6.已知O是坐标原点，若圆上有2个点到O的距离为2，则实数a的取值范围为     A. B. C. D. 7.已知，，直线上存在点P，满足，则l的倾斜角的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，正方体的棱长为1，点M在棱AB上，且， 点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距 离的平方差为1，则动点P的轨迹是     A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知事件A、B、C满足，，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则A，B不独立 10.已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为，若恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是    A. 双曲线的方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 函数的图象恒过双曲线 C的一个焦点 D. 直线与双曲线C有两个交点 11.已知棱长为12的正四面体ABCD中，M为CD中点，分别为四面体ABCD的内切球和外接球上的动点，则    A. 的最大值为 B. C. D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知抛物线，则焦点坐标为          _. 13.设数列都是等差数列，若，，则           14.如图，已知是圆锥SO的轴截面，分别为的中点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若P在上，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分已知数列，满足， 证明：数列为等差数列； 求数列的通项公式． 16.本小题15分如图，某海面上有三个小岛面积大小忽略不计，A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过三点. 求圆C的一般方程; 在圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 17.本小题15分如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点. 证明：平面 若，，， 求二面角正弦值. 18.本小题17分为了激发学生的阅读兴趣，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券，其它情况均不能获得书券.游戏规则如下表： 箱子中球的颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5” 项目 游戏一 游戏二 游戏三 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为m获胜 分别求出游戏一，游戏二的获胜概率; 当时，求游戏三的获胜概率; 一名同学首先玩游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大? 19.本小题17分已知O为坐标原点，椭圆C：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线PQ交椭圆C于P，Q两点，直线PQ与x轴不平行，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，已知 求椭圆C的方程； 求证：直线PQ恒过定点； 斜率为的直线交椭圆C于M，N两点，记以OM，ON为直径的圆的面积分别为，，的面积为S，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期12月月考数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D D A C B A D B ACD AC AB 12. 13. 35 14. 11.将此正四面体ABCD放入正方体中，如图，则该正方体棱长为， 该正方体与正四面体ABCD的外接球相同，且球心为正方体的中心O， 外接球直径为正方体体对角线，则外接球半径， 由正方体性质可证平面ABC，设DE与平面ABC交点为N，可得N为DE的三等分点， 正四面体ABCD内切球半径为 A选项，当三点共线且O在之间时，的最大值为，故A正确； B选项，， ， 由于，则，故B正确； C选项，， 同理，故C错误； D选项，设F为平面ABC内一点，，则，由于的最大值为，则当最小时，有最大值，最小即为点M到平面ABC的距离，由于M为CD中点，则点M到平面ABC的距离为点D到平面ABC的距离的一半，而点D到平面ABC的距离为，则最小为，则有最大值2，故D错误； 14.过点O作，交底面圆于E，F两点，连接SO，DO，CO， 设，则，所以当DP最大时，最大， 由圆锥的性质得底面AEFB，因为底面AEFB，所以， 又，SO，平面SAB，所以平面SAB，因为平面SAB，所以，因为C，O分别是SA，AB的中点，所以，又，则， 因为，CO，平面CEF，所以平面CEF，则平面CEF为截面， 因为D，O为SB，AB中点，所以，所以平面CEF， 因为平面CEF，所以，所以，则当OP最大时，DP最大， 如图为截面的平面图，以C为原点，CO为x轴，过点C垂直CO向上的方向为y轴正方向建系，，，，则抛物线方程为， 设，，则，所以， 则此时， 15.证明：，，由递推公式及易知，故两边取倒数可得，，即数列是首项为，公差为的等差数列； 由上述可知，  16.解：依题意，、， 设过O、A、B三点的圆C的方程为， 则有，解得， 所以圆C的方程为； 由知，圆C的圆心，半径， 依题意，该船初始位置为点，且该船航线所在直线l的斜率为， 则该船航线所在直线l的方程为，即， 圆心C到直线l的距离，则直线l与圆C相离， 所以该船没有触礁的危险. 17.《长江作业本大本P34第3题》法一：连接OA、OB， 因为PO是三棱锥的高，所以平面ABC，所以，， 所以，又，，所以≌，所以， 作AB中点D，连接OD、DE，则有，又，所以， 又因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC， 又D、 E分别为AB、PB的中点，所以，在中，又因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，又OD、平面ODE，，所以平面平面PAC，又平面ODE，所以平面 法二：连接OA、OB，因为PO是三棱锥的高，所以平面ABC，所以，， 所以，又，，所以≌，所以，又，在，O为BF中点，延长BO，交AC于F，连接 PF， 所以在中，O、E分别为BF、PB的中点，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面 法一：过点D作，以DB为x轴，DO为y轴，DF为z轴. 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，，由， 又，所以，， 所以，，，， 设，则，平面AEB的法向量设为，直线AB的方向向量可设为，直线平面AEB，直线DP的方向向量为 ，所以， 所以，设，则，所以 平面AEC的法向量设为，， ，所以，所以，设，则， 所以 所以，，二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为 法二：过点A作，以AB为x轴，AC为y轴，AF为z轴 建立所示的空间直角坐标系.因为，，由， 又，所以，，所以，， ，，设，则， 平面AEB的法向量设为，， ，所以，所以设，则， 所以 平面AEC的法向量设为，， ，所以， 所以，设，则，所以 所以， 二面角的平面角为，则， 所以二面角的正弦值为  18.设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”， 游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，所以游戏一获胜的概率为 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为 游戏三中，不放回地依次取两个球，样本个数为个，当时，满足条件的样本个数为4个，所以获胜概率为 所以当时，游戏三获胜概率为 设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，ABC互斥，A，B，C相互独立， 所以 又，且，，ACB互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当，4，8，9时，，舍去， 当，6，7时，，满足题意， 因此m的所有可能取值为5，6，  19.由已知两个顶点坐标为，，短轴长为2，得，， 则椭圆C的的方程为 设直线PQ的方程为，，， 由，消去x，得， ， 则，， ， ， 又点在椭圆上，则， 即， 则， 即， 则， 即 ， 解得，此时， 即直线PQ的方程为， 所以直线PQ恒过定点 设直线MN的方程为，，， 由，消去y，得， ， 即， 则，， 所以 ， 点O到直线MN的距离， 所以， 又，， 所以 ， 所以， 则当即时，取最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $