精品解析：陕西咸阳市武功县普集高级中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次质量检测数学试题

普集高中2026—2027学年度第一学期高_二年级第一次月考 （数学）试题（卷） 总分值：150分 试题范围：选择性必修第一册第一章至第二章2.2节 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点间斜率公式求出直线斜率即可求倾斜角. 【详解】设的倾斜角为， 则由题可得直线斜率为. 故选：C 2. 如图，空间四边形OABC中，，，.点M在OA上，且，N为BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】， ， 为BC的中点， ， . 故选：D. 3. 三点，，在同一条直线上，则值为（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线，可得，由两点求斜率即可求解. 【详解】由题意可得， 因为A，B，C三点共线， 所以，即， 解得或． 所以的值为2或． 故选：D． 4. 设，向量，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，解得， 所以，则. 故选：D. 5. 若直线经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据垂直关系可知斜率乘积为，从而构造方程可求得结果. 【详解】由题意得，直线的斜率： ，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用直线垂直关系求解参数问题，关键是明确两条直线斜率乘积为时，两条直线垂直. 6. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ） A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用共面向量基本定理结合空间向量的坐标运算列方程组求出结果即可． 【详解】由于，，，若三向量共面， 故，整理得， 故，解得，故D正确. 7. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图确定三条直线的倾斜角的大小关系和范围，根据直线斜率定义结合正切函数性质确定斜率大小，由此即可判断结论. 【详解】由图象知， 则，故选项D正确. 8. 在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（ ） A. B. 平面平面 C. 平面 D. 平面 【答案】B 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理判断B，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明面面、线面的位置关系判断ACD． 【详解】因为，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确； 以点D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，. 设，则，.设平面的法向量为， 则有可取，得. 又， 则，故A不正确； 因为，所以，故D不正确； 因为，所以，故C不正确． 故选：B． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的斜率取值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BCD 【解析】 【详解】设直线的斜率为，则， 由图可知，，故A错误，BCD正确. 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法，结合向量平行垂直的坐标结论，逐一判断选项即可. 【详解】对于A选项，已知两条不重合直线，的方向向量分别是， 由于，所以，即，故A选项正确； 对于B选项，直线的方向向量，平面的法向量是， 由于，所以，即，故B选项错误； 对于C选项，直线的方向向量，平面的法向量是， 由于，所以，即或，故C选项错误； 对于D选项，两个不同的平面，的法向量分别是，， 由于，所以，即，故D选项正确. 11. 如图所示，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 与平面所成角的正弦值为 D. 到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐项求解判断即可. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以A正确； ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 所以B错误； ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 所以平面的一个法向量为. 又， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为， 所以C正确； 因为，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 所以平面的一个法向量为. 又， 所以到平面的距离为， 所以D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点B是点关于平面xOy的对称点，则______． 【答案】10 【解析】 【详解】 【分析】试题分析：求出点A（2，﹣3，5）关于平面xOy的对称点B的坐标，然后利用距离公式求出AB即可． 解：点A（2，﹣3，5）关于平面xOy的对称点的坐标（2，﹣3，﹣5）， 由空间两点的距离公式可知：AB=5+5=10， 故答案为10． 考点：空间两点间的距离公式． 13. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理证明，结合题意，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】由，，， 得， 所以. 在直三棱柱中，平面， 又平面， 所以. ， 所以， ， 所以， ， 所以. 所以直线与直线所成角的余弦值为. 14. 已知O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知设，，，求出向量，的坐标，代入空间向量的数量积运算公式，再根据二次函数的性质，可得到满足条件的的值，进而得到最小值． 【详解】，点在直线上运动， 设，， 又向量，， ，，，，， 则 易得当时，取得最小值为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间三点，，，设，． （1）求与的夹角； （2）若向量与互相垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用求解即可； （2）利用向量与互相垂直，得 即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，，， 所以， 因为，所以与的夹角为． 【小问2详解】 ，， 因为向量与互相垂直，所以， 即，解得． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设. （1）将空间向量与用表示出来； （2）求线段BM的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可； （2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果. 【小问1详解】 【小问2详解】 由题可知因为， 又因为， 所以. 易得， 所以， 所以，即的长为. 17. 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. （1）证明：； （2）求； （3）求FH的长. 【答案】（1）证明：如图，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，， 所以， 所以，故； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到直线垂直； （2）利用空间向量夹角余弦公式进行求解； （3）求出的坐标，由公式计算出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以 因为，且， 所以； 【小问3详解】 因为是的中点，所以， 又因为，所以，，即. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，得平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直性质得到，进而证得. （2）建系求的法向量后算正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设，可得，，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则有即 取，则， 记直线与平面所成的角为， 故. 19. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，以为正交基底建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （2）假设存在点，设，其中，求出向量的坐标，根据空间向量法可得出关于的方程，结合求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 解：因为平面，平面，所以． 又，所以. 以点为坐标原点，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 则，.，． 设平面的一个法向量为． 则，即，令，得． 所以平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 所以, 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问2详解】 解：假设存在点，设，其中， 则． 由（2）知，平面的一个法向量为. 则， 即，所以．故存在满足题意的点，此时点与点重合， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普集高中2026—2027学年度第一学期高_二年级第一次月考 （数学）试题（卷） 总分值：150分 试题范围：选择性必修第一册第一章至第二章2.2节 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，空间四边形OABC中，，，.点M在OA上，且，N为BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 三点，，在同一条直线上，则值为（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2或 4. 设，向量，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 5. 若直线经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数的值为 A. B. C. D. 6. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ） A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 7. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（ ） A. B. 平面平面 C. 平面 D. 平面 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的斜率取值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 11. 如图所示，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 与平面所成角的正弦值为 D. 到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点B是点关于平面xOy的对称点，则______． 13. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值为__________． 14. 已知O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间三点，，，设，． （1）求与的夹角； （2）若向量与互相垂直，求实数的值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设. （1）将空间向量与用表示出来； （2）求线段BM的长. 17. 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. （1）证明：； （2）求； （3）求FH的长. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $