陕西省咸阳市武功县普集高级中学2025-2026学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题

2025-2026学年度高二年级第三次月考数学参考答案 题号 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 C B C C A D A D ABD ACD 题号 11 答案 ABC 12.-4或1. 13. 10.2[2,3] 1.C 【分析】根据直线一般方程平行的关系得3×1-(m-2)m=0,进而解方程并检验即可. 【详解】直线：3x+(m-2)y+2=0与13：x+y+6=0平行， 则3x1-(m-2)m=0,解得m=3或-1， 经检验，当m=3时，1：3x+y+6=0,2:3x+y+6=0,1,3重合，舍去， 当m=-1,Z:3x-3y-2=0,2:-x+y+6=0,满足题意。 所以实数m的值为-1 故选：C. 2.B 【分析】将圆方程化为标准形式得到圆心坐标，根据圆心在直线x+y=0上求得参数，然 后可得圆的半径 a)2 【详解】由题意，得圆的方程为x+ (号+-矿3,所以园心坐标为5 半径为r=4 +3 因为圆心在直线+y=0上，所以号5=0，解得a=25,所以半径r-6, 故选：B. 3.C 【分析】利用抛物线的定义将PF转化为点P到准线的距离，结合几何意义，求得PF+PA 的最小值为点A到抛物线准线的距离。 【详解】抛物线C:y2=-8x的准线方程为x=2. 设P到准线的距离为d,A到准线的距离为h, 答案第1页，共11页 则PF+PA=d+PA≥h=2-(-4)=6, 则PF+PA的最小值为6. 故选：C X=2 4.C 【分析】根据数列的递推式，即可求得前面几项，可知数列为周期数列，由此可得答案 【详解】由愿意可得a,=1-上-1-2=-14=1-11-f1上2a,=1-11-1, a 22, 数列{a}是周期为3的周期数列，4=4=-1， 故选：C. 5.A 【分析】确定圆心和半径，将题目转化为点(x,y)和点A(-1,0)直线的斜率，画出图像，计 算角度，计算斜率得到答案 【详解】(x-1)2+y2=3表示圆心为M(1,0),半径R=√5的圆， =x中表示点(c)和点A(-10)直线的斜率， 如图所示：直角△ADM中MM=2,|D=R=5,放sin∠DAM= 2 D1Me0引，敌∠nMM-胥，同理可得∠B4M-于对应的斜车为6和-5 故=[8同 故选：A 6.D 【分析】设r在第一象限，结合条件，由双曲线的定义得P网=a+cPl=子0-a, 答案第2页，共11页 再结合条件及ab,c间的关系可得_35，即可求解 a 7 【详解】如图，不妨设p在第一象限，则P-PR=2a①，又PR+Pr=R=c②， 0@得到Ps-a+3cP-c-a,又由题知∠RP%-号 5 1c2, 16 所议c-红，号5所以双曲线的断近线为y=分 a 7 7t, 故选：D 7.A 【分析】由空间向量的和差整理得到OM与OA,OB,OC的关系式，由四点共面求得系数m的 值，然后由向量的数量关系求得OA.OB,OA.OC,OB.OC,代入OM即可求得结果 【详解1由-+元+n,得o-丽-5+md, 4 所以oM-oA+5i+n元. 4 由A,B,C,M四点共面，知 +4+m=1,解得m= 1.1 Γ4 又o.o=00元=2cos}1,丽-0c=4co}2 :od-oa+4o+4oc-0a+o丽+oc, ÷|bM-1V2oA+o丽+oc可 pP+P0-080 -4+44+4+414= 2 故选：A. 8.D 答案第3页，共11页 【分析】依据规律找出每一层小球数构成的数列的递推关系，利用累加法求出通项，从而求 出第15项即可： 【详解】设第n层的小球个数为a, 依题意，41=1,42=3,4=6,4=10，且当n22时，an-a-1=n, 当n≥2时，a.=4+a-a)+(a-4)++(a-a)=1+2+3++n=0+D 2 4=1满足上式，因此a,=0+) 2 所以4，=1516=120，即第15层有120个小球， 2 故选：D 9.ABD 【分析】对于A:根据三点共线的结论分析判断；对于B:利用空间向量共面定理判断；对 于C:举反例分析判断：对于D:根据空间向量共面的推论判断！ 【详解】对于A:因为oc=O1+2o,且2+3=1， 4 44 所以A,B,C三点共线，故A正确： 对于B:由空间向量共面定理可知，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确： 对于c:例如x=3满足x之0，由a=1,3),b=(3,39)可知6=3a 即a,b共线同向，即a与b的夹角为0，故C错误： 对于D:因0=aA+05+0元，且2+2+ 3 6 根据空间向量共面的推论知P,A,B,C四点共面，故D正确 故选：ABD 10.ACD 【分析】根据直线与圆的相关知识和位置关系进行逐项求解即可. 【详解】对于A:将直线1变形为(3x+y-5)m+x+y-3=0,则有 「3.x+y-5=0 =2'所以直线过定点D(1,2), x=1 (x+y-3=0，解得 而(1+1)+(2-2)<36，所以该定点在圆C的内部，所以直线1与圆C相交，A正确： 答案第4页，共11页 对于B:将直线l变形为(3.x+y-5)m+x+y-3=0,则有 f3.x+y-5=0 x=1 r+y-3=0,解得 y=2’ 所以直线过定点(1,2)，B错误： 对于C:因为圆心C到y轴的距离为1，所以该圆被y轴截得的弦长为236-1=2√35，C 正确； 对于D:由B可知直线过定点D(1,2),所以当圆被直线I截得的弦长最短时，I⊥CD 因为k@0,所以直线与y轴平行， 所以m=-1,那么此时直线I的方程为x=1,所以D正确. 故选：ACD. 11.ABC 【分析】利用已知条件，结合椭圆的定义和性质，求出椭圆的长半轴长，短半轴长，进而分 析判断各选项. 【详解】设圆柱的底面圆半径为r,则r=√3，截面与底面夹角α= 61 截面椭圆的短半辑b=5,长半精a=Q 一三 =2 cosa√3， 2 选项A:椭圆的长轴长等于2a=4≠2，故A错误： 选项B:随圆的标准方程为片+气，不谗 4+少=1，故B错误 选项C:椭圆的离心率e=9-五4-3_1}，故C错误： 22 4 选项D:椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为a+c=2+1=3,故D正确. 故选：ABC. 12.-4或1. 【分析】根据向量垂直，则数量积为0，可得到关于x的方程，解之即可. 【详解】解：因为向量a=(3,x2+2,3),五=(x-4,2,x),a16,所以3(x-4)+2(x2+2) +3x=0,整理得到x2+3x-4=0,解得x=-4或1. 故答案为：-4或1. 13./02 答案第5页，共11页 【分析】根据椭圆的定义以及离心率计算公式求得正确答案。 【详解】由√x+y+1+2+y-1=10,得点P到(0，-1)，(0,1)这两个点的距离之和为 10. 由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以(0，-1)，(0,1)为焦点，10为长轴长的椭圆， 则c=1,2a=10,a=5,所以点P的轨迹的离心率为C=} a 5 故答案为：5 14.[2,3] 【分析】根据椭圆方程求得F(-1,0),F(1,0),利用向量的坐标运算表示PF.P瓦，根据P在 椭圆上，将式子代换为x,再根据P横坐标的取值范围，即可求得结果. 【详解】C:+二=1，=4B2=3,c=1,焦点坐标(10BL0 43 设P(川，P点在椭圆上，所以户=-) 且-2≤x≤2， 丽网-1-x列-x列=(1-0-+y=2-1*y少=-14 化简可得：P丽P网=寻+2， 又-2≤x≤2，子式+22，即P明P顶的取值范围为[2，) 故答案为：[2,3] 15.(1)x=2或3x-4y+10=0 (2)(x-4)2+y2=1 【分析】(1)考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案： (2)先设出点Q和点P的坐标，再根据向量关系得到坐标之间的关系，最后将点P的坐标 代入圆C的方程，从而得到点Q的轨迹方程 【详解】(1)因为22+42=20>4，所以点A在圆外， 若直线1的斜率不存在，则直线1的方程为x=2, 此时圆心C到直线的距离为2，所以直线1与圆C相切，符合题意： 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y-4=k(x-2),即x-y-2k+4=0, 因为直线1与圆C相切，所以圆心C(0,0)到直线1的距离等于半径， 答案第6页，共11页 即上2+42，解得太=2 Vk2+1 4 所以直线的方程为y-4x-2),即3x-4y+10=0。 综上所述，直线1的方程为x=2或3x-4y+10=0. (2)设(x,y),P(6h),M(8,0),则PM=(8-,-%),2M=(8-x-y). 风为丽，内》，即的 %=2y 又因为点P(,%)在圆C:x2+y2=4上，所以x+后=4. 将/5=2-8 %=2y 代入号+号=4可得(2x-82+(2)2=4, 整理得(x-4)2+y2=1,即点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=1. [11,n=1 16.(1)4= -22+11,n≥2 -m2+10n+2,(1≤n≤5) (2)T.= 12-10n+52,(n26) 【分析】(1)由4.与S的关系即可求解： (2)结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可 求解 【详解】(1)当n=1时，4=S=11, 当n≥2时，4.=S,-Sn-1=-2n+11, 11,n=1 所以a= -2n+11,n≥29 (2)由an=-2n+11可知当n≤5时，a.≥0，当n≥6时，4<0. 当n≤5时，T=S=-m+10m+2, 当n≥6时，Tn=S3-(Sn-S5)=2S3-Sn=m2-10n+52, -m+10n+2,(1≤n≤5) 所以= n2-10n+52,(n26) 17.(1)证明见详解； 答案第7页，共11页 (3)存在， BO 1 BD 2 【分析】(1)取PA中点E,连接EM、EB,可得四边形EMCB为平行四边形，所以MC I/EB, 再根据线面平行的判定定理，即可证明： (2)根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面PAB和平面PCD的法向量，再结 合面面角的向量求法，即可求解； (3)假设存在点Q,且 聪=元，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即 BD 可 【详解】(1)取PA中点E,连接EM、EB, E D 的 又M是PD的中点，所以BM/AD,且-片40， 又AD/1BC,BC=1,AD=2,所以EM//BC,且EM=BC, 所以四边形EMCB为平行四边形，所以MC/1EB, 又EBC平面PAB,MCa平面PAB, 所以CM/I平面PAB: (2)因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD, 又AB⊥AD,所以以A为坐标原点，以AP为二轴，以AB为x轴，以AD为y轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， ZA D 答案第8页，共11页 则P(0,0,1),A(0,0,0,B(5,0,0）,C(V51,0）,D(0,2,0), 所以AP=(0,0,1),AB=(5,0,0）,PC=(V3,1-1，PD=(0,2,-1), 令平面PAB的法向量为i=(化y,则n亚=0，即3=0 m福=0即{x-0 令y=1,则x=0,二=0，所以平面PAB的法向量为i=(0,1,0), m PC=0 令平面PCD的法向量为m=(x,y,),则 N3x+y-=0 m PD=0' 即 2y-5=0 令y=1,则x= ,z=2,所以平面PAB的法向量为i= 3 设平面PAB与平面PCD所成角为00<6<2 0x3 +1×1+0×2 n.m 3 1 所以cos0= 网园 4 4 √02+12+02 +12+22 3 3 所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为y3 (3)设22且0≤≤1，则80=BD,由(2)可得，B=(N5,00),BD=(5,20), BD AP=(0,0,1), 所以A0=AB+B0=AB+BD=（N3-V3,21,0), 元·AP=0 [2=0 设平面PAQ的法向量为元=(x,y,=),则 ，即 ·AQ=0 V5-5小x+2y=0 令x=5,则y=32-3, 22·==0，所以平面PAO的法向量为乃√3,223,0· 又PD=(0,2-),点D到平面P40的距离为2 7 PD2 0xV5+2×31-3 21 (-1)x0 2W21 所以 即 > +33 7， 解得2= 2 21 所以在线段BD上存在点Q,使得点D到平面PA0的距离为2NI,且吧=号 7 BD 2 答案第9页，共11页 18.(17分)(1)m=1 【分析】(1)根据双曲线的离心率公式求解即可： (2)根据双曲线的离心率公式的运用，计算求解即可： （3)联立直线y=x+1与双曲线C,消去y解一元二次方程，再由双曲线C与直线y=x+1相 交于互异两点列出不等式组，求解即可： 【详解】(1)由已知e=2,可得，1+3=2 解得m=1: (2)由日知5≤e≤5，可餐6≤+≤5： 解得子≤m 3 4 x =1 (3)3m3 y=x+1 消去y,得(3-m)x2-2x-4m=0 双曲线C与直线y=x+1相交于互异两点， m>0 等价于不等式组{3-m≠0 4m2+16u(3-m)>0 解得0<<3或3<m<4: 依题意：k= 3 √ 当0<m<3时，k>1;当3<m<4时， 5<k<1: 所以k的取值范围是 U(1,+) 19.() y2 =1: 164 (24. 【分析】(1)根据给定条件，结合离心率的意义求出4，b即可得椭圆方程. 答案第10页，共11页 (2)设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及点到直线距离公式列出三角 形面积，再利用基本不等式求出最大值 【详解】61)由能国c,苦芳=1的短转长为4有6之 由椭圆c的离心率e二3，得e三Va6-3 2 ,则a=4, a 所以椭圆c的方程为二+二=1. 164 (2)设直线AB的方程为y=-x+t,A(1,),B(x2,为)， y=-x+t +4y=16消去y并整理得5x2-8+4-16=0, 由 ( 5+58 5 △=64t2-80t-4)=16(20-t2)>0,解得-2√5<t<25,则 55 4t2-16 5 8卧D+4返g10,44g50不 5 原点0到直线A5的距离d=是，因北金108的面积8=4B为=号利×20- ≤却f+(W20-门=4，当且仅当V20-F,即1=士0时取等号， 所以AOB面积的最大值为4. 0 B 答案第11页，共11页 普集高中2025-2026学年度第一学期高二年级第三次月考 数学试题 命题人：段玲莉 审题人：刘益华 总分值：150分 试题范围：选择性必修一全册及必修二数列部分 考试时间：120分钟 注意事项： 1、答题前填写自己的班级，姓名，考号，座位号等信息. 2、请将答案填写在答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 2. 若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 3. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 在数列中，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 已知实数，满足：，则的取值范围为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（ ） A. B. C. D. 8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛如图所示，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数为（ ） A. 100 B. 120 C. 128 D. 240 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点O和不共线三点，，，若，则，，，共面 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被轴截得的弦长为 D. 当圆被截得的弦长最短时，的方程为 11. 如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为，则下列结论不正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长等于2 B. 椭圆的标准方程可以是 C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为3 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知向量若，则实数x的值是___． 13. 设动点满足，则点的轨迹的离心率为___________． 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，若点为椭圆上的动点，则的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 16. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知双曲线C：（）. （1）若双曲线的离心率，求实数m的值； （2）若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； （3）直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 普集高中2025-2026学年度第一学期高二年级第三次月考 数学试题 命题人：段玲莉 审题人：刘益华 总分值：150分 试题范围：选择性必修一全册及必修二数列部分 考试时间：120分钟 注意事项： 1、答题前填写自己的班级，姓名，考号，座位号等信息. 2、请将答案填写在答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 【12题答案】 【答案】﹣4或1． 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 【15题答案】 【答案】（1）或 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 取中点，连接、， 又是的中点，所以，且， 又，，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）； （3） 设且，则，由（2）可得，，，， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 又，点到平面的距离为， 所以，即，解得， 所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $