精品解析：湖北老河口市第四中学2026-2027学年上学期九年级数学10月阶段学情自测

九年级2026年10月数学月考试卷 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过直接开平方求出一元二次方程的根，再根据一元二次方程的根匹配选项即可. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 一元二次方程的一个根的是． 2. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：一元二次方程中，，， 可得． 3. 二次函数y=－3x2+1的图象是将（ ） A. 抛物线y=－3x2向左平移3个单位得到 B. 抛物线y=－3x2向左平移1个单位得到 C. 抛物线y=—3x2向上平移1个单位得到 D. 抛物线y=3x2向上平移1个单位得到 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可知：二次函数y=－3x2+1的图象是将抛物线y=—3x2向上平移1个单位得到，故选C． 考点：抛物线的平移 4. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；将代入方程后，通过移项直接求出代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴； 故选：A． 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的顶点式的性质．根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，写出答案即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：A 6. 一元二次方程无实根，则一次函数的图象不过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到，解得，然后根据一次函数的性质可得到一次函数图象经过的象限． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， 即， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限； 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系，掌握根的判别式是解题的关键. 7. 某新能源企业今年第一季度生产钠离子电池的成本是520万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度生产钠离子电池的成本是390万元，设该企业每个季度相比上季度生产钠离子电池成本的平均下降率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 根据平均下降率x，从第一季度到第三季度经过两个季度下降，成本按倍变化，再列式求解即可． 【详解】设平均下降率为x， ∵ 第一季度成本为520万元， 第三季度成本为390万元， 且从第一季度到第三季度经过两个季度下降， ∴ 第三季度成本=第一季度成本， 即． 故选：B． 8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的综合；根据两个函数的图象确定出a、c的符号，矛盾的则不符合题意，相同的则符合题意，则可判断． 【详解】解：A、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； B、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； C、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； D、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，符合题意； 故选：D． 9. 与抛物线y=﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（　　） A. y=﹣x2 B. y=x2﹣1 C. y=﹣x2﹣1 D. y=x2+1 【答案】D 【解析】 【分析】与抛物线y=-x2+1的顶点相同、形状相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y=-x2+1只有二次项系数互为相反数． 【详解】与抛物线y=-x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y=-x2+1只有二次项系数互为相反数． 即y=x2+1， 故选D． 【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方向． 10. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是．下列结论中正确的是（ ） A. B. 方程的一个根是3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键． 根据二次函数开口方向、对称轴和图象性质判断即可． 【详解】图象经过点，对称轴是， 与轴另一个交点为， 即方程的两根为，且函数图像开口向上，则， ，即，故A错误； 方程的一个根是4，故B错误； 对称轴，则，即，故D错误； 由，则， 当时，，结合图像可知时，， 即，故C正确． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程移项整理后，提取公因式因式分解，即可求出方程的解． 【详解】解： ， ， 或 ， ，． 12. 已知二次函数的图象经过点，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，整理即可求出的值. 【详解】解：二次函数的图象经过点， 将，代入解析式，可得 整理得， 移项计算得. 13. 已知三点均在抛物线上，则的大小关系为（用表示）_______________． 【答案】 【解析】 【分析】将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，得到对应值，再比较大小即可得到结果. 【详解】解：将代入，得： ； 将代入，得： ； 将代入，得： ； ∵ ， ∴ ． 14. 已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】由题意可分当a=0时，则函数与x轴满足只有一个交点，当a≠0时，则需满足，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： 当a=0时，则函数解析式为，满足与x轴只有一个公共点， 当a≠0时，则函数的图像与x轴只有一个公共点，需满足，即， ∴， 综上所述：当函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是0或1； 故答案为0或1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 15. 飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是．则飞机从着陆滑行到停止需要_______________秒． 【答案】 30 【解析】 【分析】飞机停止滑行时滑行距离取得最大值，转化为求二次函数取得最大值时的值，将解析式配方为顶点式即可求解． 【详解】解：对函数解析式配方得， ∵ ， ∴ 当时，取得最大值，即此时飞机停止滑行， ∴ 飞机从着陆滑行到停止需要30秒． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：移项整理得 ， 开平方得 ， 当时， ， 当时， ， 因此，． 【小问2详解】 解：由已知， ，，， 计算得， 代入求根公式得 ， 因此，． 17. 已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大． 【答案】当x＜2时，y随x的增大而增大． 【解析】 【详解】试题分析：根据当x=2时函数有最大值，可得h=2，再把点（1，﹣3）代入函数解析式求得a值，即可求得函数解析式，根据函数的性质直接写出函数y随x的增大而增大时x的取值范围即可． 试题解析： 根据题意得y=a（x﹣2）2， 把（1，﹣3）代入得a=﹣3， 所以二次函数解析式为y=﹣3（x﹣2）2， 因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下， 所以当x＜2时，y随x的增大而增大． 18. 已知二次函数的图象与x轴有两个交点． （1）求k的取值范围． （2）当时，求抛物线与x轴的交点A和B的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，可得再解不等式即可； （2）把代入抛物线可得抛物线为再令 可得再解方程可得答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴ 解得： 【小问2详解】 当时， 令 则 即 ∴ 解得： ∴或 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴的交点问题，掌握“抛物线与x轴有两个交点，则”是解本题的关键． 19. 如图，直线与抛物线在第三象限内交于点． （1）求抛物线解析式和直线解析式； （2）结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先把点代入直线与抛物线解析式即可求解； （2）设直线与抛物线交于另一点，联立得到点，再结合图象写解集即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得 ，解得， ∴； 将点代入，得， ∴． 【小问2详解】 解：设直线与二次函数交于另一点， 联立，解得，， ∴， 又，即直线图象要在二次函数图象上方， ∴解集为或． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 21. 新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在病毒传播中，若1个人患病，若不加隔离防控每轮传染中平均一个人传染个人，经过两轮传染就共有625人患病． （1）求出的值； （2）若在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，按照这样的传染速度，两轮传染后，一共有多少人患病？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）首先求出经过第一轮传染后，共有人感染，然后根据题意列式求解即可． 【小问1详解】 根据题意可得， 解得或（舍去）； 【小问2详解】 ∵1个人患病，每轮传染中平均一个人传染24个人， ∴经过第一轮传染后，共有人感染， ∵在第二轮传染前，有10个患者及时隔离， ∴． ∴两轮传染后，一共有385人患病． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 为了培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校规划出矩形苗圃．已知苗圃的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． （1）用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________m． （2）若苗圃的面积为，求x的值． （3）苗圃的面积为，请求出y与x的函数关系式；并求出当x是多少时，面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）8 （3）当时，苗圃的面积最大，最大为 【解析】 【分析】（1）木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米，即得长； （2）根据题意得：，即可解得的值； （3）先求出自变量的取值范围，然后根据题意列出，再由二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米， ∴长为：（米）； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：，， ∵当时，， 当时，， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为8； 【小问3详解】 解：∵, ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为， ∴当时，苗圃的面积最大，最大为． 23. 如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． （1）判断的形状； （2）若平分，且，、为方程的两根，求的值． 【答案】（1）是直角三角形 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，运用根的判别式可得，由此可得，由勾股定理逆定理即可求解； （2）如图所示，过点作于点，作延长线于点，根据角平分线的定义和性质可得，，，可证，可得，即一元二次方程两个根相等，再根据根的判别式进行计算，最后根据图形的性质检验根的情况，即可求解． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下， 关于的方程有两个相等的实数根， ∴方程化为一般式为： ∴，整理得，， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，作延长线于点， ∵平分， ∴，且， 由（1）可得，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∵、为方程的两根， ∴，整理得，， 解得，， 当时，原方程为， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，原方程为， 解得，，即，符合题意； ∴的值为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，勾股定理逆定理判定直角三角性质，角平分线的定义和性质定理，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用，理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，合理作出辅助线是解题的关键． 24. 如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于，已知点坐标为(3，0)，点坐标为(0，3)． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上的一点，当的面积最大时，求点的坐标及的面积的最大值； （3）如图2点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），的面积的最大值 （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及了二次函数的解析式求解、二次函数与面积及线段问题等知识点，利用待定系数法求出解析式，利用数形结合的思想解决面积问题，本题掌握二次函数的相关性质是解题关键．（1）将点，代入即可求解； （2）连接，根据可确定当的面积最大时，点得坐标； （3）过点作于，连接，可求直线的解析式，可推出当时，，据此即可建立方程求解． 【小问1详解】 解：将点，代入得： ， 解得： 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：连接，设，则： ， 当时，， 此时，． 【小问3详解】 解：过点作于，连接， ∵， 顶点， 对称轴直线为，， ， ，设直线的解析式为：，与x轴交于E， 代入得，， ， 直线的解析式为：， 当时，， ， 点，， 在中， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 当时，， 设，则，， ， 解得：， 存在点满足要求，点或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级2026年10月数学月考试卷 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A. B. C. D. 3. 二次函数y=－3x2+1的图象是将（ ） A. 抛物线y=－3x2向左平移3个单位得到 B. 抛物线y=－3x2向左平移1个单位得到 C. 抛物线y=—3x2向上平移1个单位得到 D. 抛物线y=3x2向上平移1个单位得到 4. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程无实根，则一次函数的图象不过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 某新能源企业今年第一季度生产钠离子电池的成本是520万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度生产钠离子电池的成本是390万元，设该企业每个季度相比上季度生产钠离子电池成本的平均下降率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 9. 与抛物线y=﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（　　） A. y=﹣x2 B. y=x2﹣1 C. y=﹣x2﹣1 D. y=x2+1 10. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是．下列结论中正确的是（ ） A. B. 方程的一个根是3 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____________． 12. 已知二次函数的图象经过点，则_______________． 13. 已知三点均在抛物线上，则的大小关系为（用表示）_______________． 14. 已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________． 15. 飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是．则飞机从着陆滑行到停止需要_______________秒． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大． 18. 已知二次函数的图象与x轴有两个交点． （1）求k的取值范围． （2）当时，求抛物线与x轴的交点A和B的坐标． 19. 如图，直线与抛物线在第三象限内交于点． （1）求抛物线解析式和直线解析式； （2）结合图象直接写出不等式的解集． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 21. 新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在病毒传播中，若1个人患病，若不加隔离防控每轮传染中平均一个人传染个人，经过两轮传染就共有625人患病． （1）求出的值； （2）若在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，按照这样的传染速度，两轮传染后，一共有多少人患病？ 22. 为了培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校规划出矩形苗圃．已知苗圃的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． （1）用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________m． （2）若苗圃的面积为，求x的值． （3）苗圃的面积为，请求出y与x的函数关系式；并求出当x是多少时，面积最大？最大面积是多少？ 23. 如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． （1）判断的形状； （2）若平分，且，、为方程的两根，求的值． 24. 如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于，已知点坐标为(3，0)，点坐标为(0，3)． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上的一点，当的面积最大时，求点的坐标及的面积的最大值； （3）如图2点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $