精品解析：四川成都市双流区立格实验学校2026-2027学年高三10月定时练习数学试卷

立格实验学校高2024级高三10月定时练习 数 学 全卷满分: 150 分 考试用时: 120 分钟 命题人：甘 阳 审题人：罗文平 汪 帆 骆 波 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（     ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（     ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（     ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 既不充分也不必要 4. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（  ） A. B. C. D. 5. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 7. 若对任意 ，则实数的值可以是（     ）． A. 2 B. C. D. 8. 已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若且，则 10. 已知函数，则（     ） A. 若函数在上不单调，则 B. 当时，若函数至少有个零点，则的取值范围是 C. 当时，若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则 D. 当时，恒成立 11. 已知函数的定义域为，，且，则（     ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，则的值为________． 13. 若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值. 16. 为研究高中生参加课后体育锻炼与心理抗压能力提升的关联性，某教研机构随机抽取名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）． 课后体育锻炼 心理抗压能力 合计 心理抗压能力显著提升 心理抗压能力未显著提升 坚持参加课后体育锻炼 未坚持参加课后体育锻炼 合计 （1）用频率估计概率，从名学生中任意抽取一名学生，设事件为“该学生坚持参加课后体育锻炼”，事件为“该学生心理抗压能力显著提升”，求； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关？ 附：，其中． 17. 如图，底面由矩形与以为直径的半圆拼接而成，已知底面，且，．点为半圆弧上的动点（不与、两点重合）． （1）证明：平面； （2）若二面角的夹角为，求平面与平面所成夹角的余弦值． 18. 已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上 （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）设点，求的最小值； （3）若一个正方形的两个顶点，在抛物线上，另两个顶点，在直线上，求正方形的面积． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）已知有三个零点，分别为，，， （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立格实验学校高2024级高三10月定时练习 数 学 全卷满分: 150 分 考试用时: 120 分钟 命题人：甘 阳 审题人：罗文平 汪 帆 骆 波 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， 2. 命题“”的否定是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“”的否定是 3. “”是“”的（     ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，即时，不等式即为，不等式的解集为； 当时，即时，不等式即为，不等式的解集为； 所以不等式的解集为， 因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得函数为偶函数，且在区间上为单调递增函数，结合指数函数与幂函数的单调性，求得，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为偶函数， 当时，，可得在区间上为单调递增函数， 又由， 因为幂函数在上为单调递增函数，可得， 又因为指数函数在上为单调递增函数，可得， 所以，则，即. 5. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由偶函数的性质得，且在上单调递增， 时，；时，； 不等式等价于两因式同号： ，即，解得； ，即，解得； 解得． 6. 若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值. 【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，， 令，则，即，则， 7. 若对任意 ，则实数的值可以是（     ）． A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别算出和的最值，根据即可判断的范围，得出答案. 【详解】设，则， 故时，，单调递减； 时，，单调递增， 故有最小值． 设，则， 故时，，单调递增； 时，，单调递减， 故有最大值， 当时，有，， 则，符合题意， 又2在取值范围内，故的值可以是2. 8. 已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出三个函数的图象，数形结合即可判断各项. 【详解】记，，，显然有， 在同一个坐标系内作出三个函数的图象，如图： 不妨设， 由图可知，当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 综上，a，b，c的大小关系不可能是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A,由于可知，故，因此，A正确， 对于B,由于，且，故，B错误， 对于C,由于，故，因此，当且仅当时取到等号，C正确， 对于D, 由于且，故，因此，故，D正确. 10. 已知函数，则（     ） A. 若函数在上不单调，则 B. 当时，若函数至少有个零点，则的取值范围是 C. 当时，若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则 D. 当时，恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导后，利用特殊值可判断A选项，通过极大值不小于零、极小值不大于零建立不等式组求参数范围可判断B选项，利用三次函数图象关于对称中心对称的性质，将线段相等转化为对称关系求出根之和即可判断C选项，由判别式非正得函数单调递增，再比较指数与对数的结构，通过构造辅助函数证明指数式不大于幂式，从而得到函数值的大小关系，从而判断D选项. 【详解】对于A项，， 当，时，由或；由. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在上不单调.故A项错误； 对于B项，当时，， 令，解得或，所以函数在和上单调递增， 令，解得，所以函数在上单调递减， 所以时取得极大值，时取得极小值， 若至少有个零点，则极大值，且极小值，所以的取值范围是，故B项正确； 对于C项，由得A点一定是对称中心， 又， 当时，恒成立，即导函数存在变号零点， 所以在R上有一个极大值点和一个极小值点，分别记为，则， 又，， 所以，故C项正确； 对于D项，当时，，， 所以恒成立，即函数在R上单调递增， 令，则， 令，解得，则在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 所以，即，所以，故D项正确. 11. 已知函数的定义域为，，且，则（     ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，令即可判断；对于B，假设选项成立，可求出过点，而函数过点，矛盾；对于C，可求得，即可判断；对于D，根据题设条件可求出，即可求解判断. 【详解】对A：令，由， 由，故A正确. 对B：因为即，所以函数过点，该点关于的对称点为. 但，即函数过点，不经过，故B错误； 对C：由，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对D：由； 由，用代替，可得， 所以. 所以，，…，， 又， 所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】平方，结合指数幂的运算即可求解. 【详解】由可得，即，故. 13. 若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】若或. 当时，由； 当时，由. 若，此时方程有两个不相等的根. 当这两个根只有1个在区间内时，； 当这两个根都在区间时，，结合，可得. 综上可得，的取值范围是. 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数（且）的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以在和上，即的图象在上方， 在上，即的图象在下方， 当时，图象显然不符合题意，所以， 当时，令，，在同一个坐标系中作出函数和的图像如图所示： 因为函数和的图像要有两个交点，则过原点且与函数相切的直线的斜率，不妨设直线与的切点坐标为， 因为，所以， 可得，从而，即，则， 又因为，所以，所以，则a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）通过导数判断函数的单调性； （2）通过比较各单调区间端点的函数值大小求最值. 【小问1详解】 函数定义域为，， 当时，即，解得； 当时，即，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由单调性可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又因为，，， 所以最大值为，最小值为. 16. 为研究高中生参加课后体育锻炼与心理抗压能力提升的关联性，某教研机构随机抽取名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）． 课后体育锻炼 心理抗压能力 合计 心理抗压能力显著提升 心理抗压能力未显著提升 坚持参加课后体育锻炼 未坚持参加课后体育锻炼 合计 （1）用频率估计概率，从名学生中任意抽取一名学生，设事件为“该学生坚持参加课后体育锻炼”，事件为“该学生心理抗压能力显著提升”，求； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关？ 附：，其中． 【答案】（1） （2）能认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关 【解析】 【分析】（1）从列联表中提取事件A和事件的频数，代入条件概率公式计算结果； （2）提出零假设，将列联表数据代入卡方公式计算值，与临界值比较，判断是否拒绝零假设． 【小问1详解】 由列联表可知，事件=“坚持参加课后体育锻炼”，， 事件=“坚持参加课后体育锻炼且心理抗压能力显著提升”，， 用频率估计概率，根据条件概率公式，得． 【小问2详解】 零假设 ：高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升无关， 取， 代入卡方检验公式， 先计算分子核心项， 代入得， 已知 对应的临界值为 10.828 ， 由于 ， 即依据小概率值 的独立性检验，我们推断不成立， 能认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关． 17. 如图，底面由矩形与以为直径的半圆拼接而成，已知底面，且，．点为半圆弧上的动点（不与、两点重合）． （1）证明：平面； （2）若二面角的夹角为，求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】（1）因为点在以为直径的半圆上且不与点、点重合，故， 因为底面，平面，有． 因为，平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆的直径所对的圆周角是直角，直线与平面垂直的性质，可得到证明线面垂直所需条件； （2）找到二面角的平面角，建立空间直角坐标系通过法向量求两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，所以二面角的平面角为，即， 因为平面，平面，所以， 因为，所以，， 又因为，所以. 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 18. 已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上 （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）设点，求的最小值； （3）若一个正方形的两个顶点，在抛物线上，另两个顶点，在直线上，求正方形的面积． 【答案】（1）焦点，准线 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由结合抛物线的定义求解即可. （2）设，则，得，这是关于的二次函数，对称轴，分与讨论最小值， （3）由在上，斜率为，故，设，与抛物线联立求弦长；由与距离，令求，再计算面积. 【小问1详解】 已知抛物线，则，所以， 焦点坐标为准线方程为 【小问2详解】 设在抛物线上，则，且，点， 则， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，对称轴，函数在上单调递增， 最小值在处取得，即； 当时，对称轴，最小值在处取得， 此时所以 综上，； 【小问3详解】 已知正方形中，在抛物线上，在直线上， 由得：，斜率为，所以的斜率为， 正方形中，因此的斜率也为， 设直线的方程为 与抛物线联立：， 设交点，，则, 所以， 又与平行，在直线上，两平行线之间的距离为， 正方形中与是对边，所以边长等于这个距离，即， 于是，两边乘以，得 平方得 所以， 当时，直线为，与抛物线交于，， 此时边长面积 当时，直线为，与抛物线交于，， 此时边长面积 所以正方形的面积为或. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）已知有三个零点，分别为，，， （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（ⅰ）得，，，. 而， 故，而，所以. 则也是函数的一个零点， 又，函数只有3个零点，所以， 所以， 因此. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可. （2）（i）利用函数零点的意义变形并构造函数，求出导数，按，分类讨论确定单调性，结合零点存在性定理判断即可； （ii）由（i）的信息确定的取值范围，再确定关系即可推理得证. 【小问1详解】 当时，，所以 则， 所以曲线在点处的切线斜率， 又切点为，所以所求切线方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）函数的定义域为， 由，得. 令，依题意，则函数有3个零点， ，方程，. 当，即时，， 函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当，即时， 方程的两个根为，. 又，则， 又，则. 当，时，；当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 则，而， 因此，， 又当时，，当时，， 则函数在，，各有一个零点，故函数有3个零点， 即函数有3个零点. 综上，. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $