精品解析：四川省内江市威远中学校2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

威远中学校2027届高三上期第一次月考 数学 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 样本数据，，，的平均数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】样本数据的平均数为. 2. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，. 3. 已知、是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充要条件的定义结合不等式的性质即可求解. 【详解】若，即，则，显然，所以，即，即是的充分条件； 若，即，显然，则，即，所以是的必要条件. 故选：C. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数和具体函数定义域的求法，列不等式求解可得. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 根据解析式有意义可知，即， 综上，. 所以函数的定义域为. 故选：A． 5. 设，，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解析：，当且仅当，即，即，时取等号. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于，则， 于是. 7. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0，1，2共3个数字，并且4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，则满足条件的密码个数为（ ） A. 28 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】因为4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，所以以4个拨号盘中的个数来分类讨论即可得出答案. 【详解】因为4个拨号盘上的数字之和小于或等于3， 所以4个拨号盘上的数字可分为以下情况： ①4个有，有种， ②个有，每种有种，共有：种， ③个有则有种，有种，共有种. ④个有，有种. 所以一共有：种. 8. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分别判断4个选择项的奇偶性，排除 A，再判断B、C、D的单调性，排除C. 【详解】对于A，函数的图象不过原点，不关于原点对称，故不是奇函数，即A项错误； 对于B，设，显然其定义域为，又因为，所以是奇函数， 由幂函数知是增函数，故是减函数，故B项正确; 对于C，函数是奇函数，但是在和上是减函数， 在定义域上不具有单调性，故C项错误； 对于D，函数可化为，其图象如下图: 故既是奇函数又是减函数，故D项正确. 故选：BD. 10. 已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时，的最小值为27 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差中项的性质判断AB；由A和等差数列的前n项和判断C；由等差数列的前n项和和等差中项判断D. 【详解】A：首项为正数的等差数列的前项和为， 所以， 若，则一定大于零，不符合题意， 所以，，故A正确； B：由A可知， ，故B正确； C：由A可知，因为，，可知，故，取最大值，故C错误； D：，，故D正确. 故选：ABD. 11. 若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令求解即可；对于B，由即可判断；对于C，令得，判断出为偶函数即可作出判断；对于D，通过赋值法，分别求出，发现具有周期性，再利用周期性求解即可. 【详解】原式移项得，即， 对于A，令，则由可得， 故（舍去）或，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，令，则，即， 因为，所以，所以为偶函数， 对两边同时求导得，，所以为奇函数，故C正确； 对于D，由A选项，若， 令，则，即，， 令，，则，即，， 令，，则，即，， 令，，则，即，， 令，，则，即，， 令，，则，即，， 令，，则，即，， 由此可得的值有周期性，且周期为6， 且， 故，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂运算性质和对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式， 故答案为： 13. 已知为偶函数，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数定义构造关于的恒等式，结合对数性质化简后，通过对比系数法求出参数并代入检验. 【详解】由题意得，即， 若，该等式恒成立， 若，则有， 即，可得， 即，整理得， 则，解得， 此时， 要使对数有意义，需满足，解得， 定义域关于原点对称，满足题意，故. 14. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的零点可得，再结合指、对数性质分析可知方程有根，方程无根，结合图象即可得结果. 【详解】当时，可得； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 即函数有且仅有1个零点1， 若函数有零点，则， 显然，可得， 假设方程有根，可知方程有两个不相等根， 设为，且， 则，可得，即， 假设方程有根，可知方程有且仅有1个根，设为， 结合题意可知：方程有根，方程无根， 即与无交点，与有2个交点， 结合图象可知：或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 已知数列是等比数列，，，数列满足：. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），，，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，，通过等比数列定义求出公比，代入等比数列通项公式求出，再根据作差法求出在时，，验证当时，符合该式，即可求出； （2）利用裂项相消的方法求出即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则，所以，， 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，. 【小问2详解】 由于， ， 所以. 16. 在中，． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用商数关系得到，再利用三角形的性质和正弦的和角公式，即可求解； （2）根据条件，利用三角形面积公式，得，再由余弦定理可得，即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 整理得． 则， 即， 所以．由，故， 又，所以． 【小问2详解】 设的内角所对的边分别为， 由（1）知，则的面积，得到， 因为，由余弦定理， 得，得到，所以， 所以的周长为． 17. 已知函数． （1）在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“______，”为真命题，求实数的取值范围； （注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （2）设，命题，”的充分不必要条件是“”；命题对；若为假命题且为真命题，求实数的取值范围 【答案】（1）选①，；选②，； （2）. 【解析】 【分析】（1）选①，分离参数得，再利用换元法并结合对勾函数单调性即可得到答案；选②，分离参数后利用基本不等式即可得到答案； （2）首先求出当为真命题时的范围，再求其补集即可，若为真命题，则分离参数后，利用基本不等式求出右边值域，则得到的范围，最后两者取交集即可. 【小问1详解】 选①，若命题：“，”， 则在上能成立， 则，设，， 令，则，则，， 根据对勾函数单调性知在单调递增，在上单调递减， 又因为，，则， 则. 选②，若命题：“，”， 则在上恒成立， 则， 因为，则 因为， 当且仅当，即时等号成立. 则. 【小问2详解】 若命题为真命题，则集合是集合的真子集， 显然恒成立，则， 则，等号不能同时成立，解得， 则若命题为假命题，， 若命题对为真命题，则， 令 ， 当时，令，则，，， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 则， 综上，若为假命题且为真命题，求实数的取值范围为. 18. 阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程，则，展开得:，比较系数得:，于是. （1）已知一元三次方程的三个根为，类比于上述推导过程，求; （2）已知，若存在三个不相等的实数，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把式子展开再应用待定系数法即可求值； （2）根据函数求出导函数，根据导数正负得出函数单调性，再画出图像数形结合与有三个交点，即可求参数范围. 【小问1详解】 由题意知， 展开得:， 比较系数得即. 【小问2详解】 令是的三个根， 即为的三个不等根，由上知. ， 于是单调递减，单调递增，单调递增， 且函数的大致图象如下: 为使得与有三个交点， 则故 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）（i）； （ii）证明：根据（i）可知，， 其中，则， 下证：即证：. 设 ， 令，，于是在上单调递增，在上单调递减， 则，即证. 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数的单调性， （2）（i）方法一：求导，对进行讨论，结合函数单调性可求解，即可构造函数，求导，结合零点存在性定理即可求解，方法二：求导，对进行讨论，换元，，，则， 可求解，即可结合解法一求解，解法三：求导，对进行讨论，结合零点存在性定理即可求解，解法四：分离常数得，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可结合函数图像求解，（ii）根据（i）的求解可求解函数的最大值，进而构造函数，利用导数求解单调性，即可得证. 【小问1详解】 由于 令，则， 令，，在上单调递增； 令，，在上单调递减； 于是的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 （i）解法1 由于 若，，，于是在上单调递增，至多与轴只有一个交点，矛盾； 于是，令，则等价于， 易得，因为 ，则， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 则， 因为即，， 所以， 显然不符合题意，故，即， 令，， 则在上单调递增，且， 由于，所以， 由于，令，在上单调递增，则， 于是，， 由零点存在定理，存在使得， 当 时，易证 ，则即， 由于， 取，且，则， 由零点存在定理，存在使得， 所以当时，在上有两个零点. 解法2 由于， ， 若，，，于是在上单调递增，至多与轴只有一个交点，矛盾： 于是，令，，，则， 令，则， 由于，令，， 当时，，即，于是在上单调递增， 当时，，即，于是在上单调递减， 于是， 若，即， 由，则，可得，同解法1； 解法3 由于， ， 若，，，于是在上单调递增，至多与轴只有一个交点，矛盾； 于是，设，， 若，则， 在上单调递减，且， 不妨令，则， 于是取，则， 且 在上连续，由零点存在定理，存在唯一，， 于是在单调递增，在单调递减，则存在唯一极大值点； 若，令，则，于是 在上单调递增，在单调递减，由于，则，，且， 且 在上连续，由零点存在定理，存在唯一，， 于是在单调递增，在单调递减，则存在唯一极大值点； 综上所述：若，有一个极大值点；， 于是， 若，则至多只有一个零点，矛盾； 若，由于，同解法1； 解法4 令，则， ， 于是函数与函数的图象在上有两个交点， 由于， 设， ，， 于是 在上单调递减，且， 于是时，，，在上单调递增； 时，，，在上单调递减： 且，， 所以函数的图象如图所示，所以， （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2027届高三上期第一次月考 数学 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 样本数据，，，的平均数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知、是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0，1，2共3个数字，并且4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，则满足条件的密码个数为（ ） A. 28 B. 30 C. 31 D. 32 8. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时，的最小值为27 11. 若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. _____． 13. 已知为偶函数，则实数________． 14. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是_____. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 已知数列是等比数列，，，数列满足：. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 在中，． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 已知函数． （1）在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“______，”为真命题，求实数的取值范围； （注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （2）设，命题，”的充分不必要条件是“”；命题对；若为假命题且为真命题，求实数的取值范围 18. 阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程，则，展开得:，比较系数得:，于是. （1）已知一元三次方程的三个根为，类比于上述推导过程，求; （2）已知，若存在三个不相等的实数，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $