精品解析：湖北宜昌市当阳市实验初级中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

实验中学九年级2026年9月检测数学卷 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. B. 5，4 C. D. 3. 不解方程，判别方程2x2﹣2x+1＝0根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 菱形中，是的中点，和交于点，，则长是（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 5. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象经过点，则代数式的值为 （ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 8. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意可列方程（　　） A. 100（1+x）2＝500 B. 100+100•2x＝500 C. 100+100•3x＝500 D. 100[1+（1+x）+（1+x）2]＝500 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A.   B.   C.   D.   二、填空题（本大题满分15分．共5小题，每小题3分） 11. 二次函数的顶点坐标为_____. 12. 已知是关于x的方程的根，则常数k的值为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 . 14. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点⋯⋯第行有个点⋯⋯，容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和．300是前行的点数和，则______． 15. 如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式______． 三、解答题（本题共9小题，共计75分） 16. 解方程． （1） （2） 17. 已知、、为的三边，一元二次方程有两个相等的实数根，判断的形状． 18. 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，求k的值及另一个根． 19. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象，A（1，0），B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线与x轴的另一个交点是C点，求△ABC的面积． 20. 如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长为60米． 设米，则CD为______米，四边形ABCD的面积为______米； 若长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC为多少米？ 21. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 22. 某文具店在今年月底购进了一批价格为每件元的文具．据市场预测：若售价为元/件，一月可销售件；若每涨价元，销售量就减少件．月份售价为元． （1）求月份销售量是多少件？ （2）月份该文具进价比月底的进价每件增加，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果月份的销售量比月份销售量增加了百分数，但售价比月份售价减少了，减少的百分数为销售量增加百分数的，结果月份利润达到元．求月份的售价． 23. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动． （1）经过多少秒后，的面积为？ （2）线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． （3）若点P从点A出发，沿射线方向以的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线方向以的速度移动，经过多少秒后的面积为？ 24. 如图，已知抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）分别求出抛物线和直线的解析式； （2）若抛物线的顶点为，对称轴与直线交于点，则四边形是平行四边形吗？请通过计算说明理由 （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学九年级2026年9月检测数学卷 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义为依据，从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度判断各选项即可得出答案． 【详解】解：A选项，方程中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B选项，方程是分式方程，不是整式方程，不符合题意； C选项，方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程，符合题意； D选项，方程含有两个未知数，是二元二次方程，不符合题意． 2. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. B. 5，4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式， 二次项系数和一次项系数分别为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 3. 不解方程，判别方程2x2﹣2x+1＝0根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】找出方程a，b及c的值a=2，b=，c=1，计算出根的判别式的值△=b2﹣4ac=0，即可判断． 【详解】解：∵， ∴a=2，b=，c=1， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故选B． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟练掌握当△=0时方程有两个相等的实数根是解题的关键． 4. 菱形中，是的中点，和交于点，，则长是（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，三角形中位线，解答即可． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ∴ 为中点， ∵ 为中点， ∴ 是的中位线， ∴ ； ∵ ， ∴ ． 5. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可． 【详解】解：点，，都在函数的图象上， ，，， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 6. 二次函数的图象经过点，则代数式的值为 （ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据二次函数的图象经过点，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， 把点代入二次函数的解析式，得：， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用整体代值计算． 7. 顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】连接矩形对角线，利用三角形中位线定理与矩形对角线相等的性质判定所得四边形形状． 【详解】解：设矩形的边的中点分别为， 连接， ∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∵ 是的中位线， ∴ ，， 同理，，，，， ∴ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∴ 平行四边形是菱形． 8. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 9. 某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意可列方程（　　） A. 100（1+x）2＝500 B. 100+100•2x＝500 C. 100+100•3x＝500 D. 100[1+（1+x）+（1+x）2]＝500 【答案】D 【解析】 【分析】如果平均每月增长率为x，根据某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业额共500万元，可列方程． 【详解】设平均每月增长率为x， 100[1+（1+x）+（1+x）2]=500． 故选D． 【点睛】本题考查理解题意的能力，分别求出一，二，三月份的，以总和为等量关系列出方程． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，D选项正确． 二、填空题（本大题满分15分．共5小题，每小题3分） 11. 二次函数的顶点坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．根据的顶点坐标为，即可作答． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 12. 已知是关于x的方程的根，则常数k的值为________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，解一元二次方程． 先将代入求出关于k的一元二次方程，再因式分解法求解即可． 【详解】∵是关于x的方程的根， ∴， 即， 解得， 故答案为：0或1． 13. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 . 【答案】（10，3） 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标． 【详解】∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8), ∴AD=BC=10，DC=AB=8， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ∴AD=AF=10，DE=EF， 在Rt△AOF中,OF= =6， ∴FC=10−6=4， 设EC=x，则DE=EF=8−x， 在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2， 即(8−x)2=x2+42， 解得x=3，即EC的长为3. ∴点E的坐标为(10,3). 故答案为：(10,3). 14. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点⋯⋯第行有个点⋯⋯，容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和．300是前行的点数和，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化．找出规律，得到前行共有个点，即前行共有个点，则，然后解方程，求的值即可． 【详解】解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 则前五行共有个点， 前10行共有个点， ， 前行共有个点， 然后求它们的和， 前行共有个点， 由题意可得：， 整理得， ， ，， 为正整数， ． 是前24行的点数之和； 故答案为：24． 15. 如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式______． 【答案】 2037 【解析】 【分析】由已知条件可得m，n是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到和的值，再对所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵m，n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m，n是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系可得：，， ∵， ∴， ∴ ， 将，代入得： 原式． 三、解答题（本题共9小题，共计75分） 16. 解方程． （1） （2） 【答案】（1）, （2）, 【解析】 【分析】先将方程化简成一般式，再用公式法求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 化简成一般式方程是， ， ∴方程有两个根， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ∴方程有两个根， ∴， ∴，． 17. 已知、、为的三边，一元二次方程有两个相等的实数根，判断的形状． 【答案】是直角三角形 【解析】 【分析】由“有两个相等实数根”得，展开化简后得到三边的平方关系，从而判断三角形为直角三角形．解题时不要漏掉“二次项系数不为”这一前提． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴二次项系数不为，且判别式． 由二次项系数不为，得，即， 由判别式，得， ， ， ， ， 根据勾股定理的逆定理，、、为三角形三边，且满足，故． 又， 是以为斜边的直角三角形． 18. 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，求k的值及另一个根． 【答案】，另一根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的知识，根与系数的关系，由于一根为2，把代入方程即可求得的值．然后根据两根之积即可求得另一根．解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大． 【详解】解：方程的一个根为2， ， 解得， 设另一根为， ， ， ，另一根为． 19. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象，A（1，0），B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线与x轴的另一个交点是C点，求△ABC的面积． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）6. 【解析】 【分析】（1）把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c即可求出b,c的值 ，即可得出抛物线的解析式；（2）令y=0，求出C点，再利用三角形的面积公式进行求解. 【详解】解：（1）把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c 得，解得， 所以抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1， ∴C点坐标为（﹣3，0）， ∴△ABC的面积＝（1+3）×3＝6． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的求解与性质. 20. 如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长为60米． 设米，则CD为______米，四边形ABCD的面积为______米； 若长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC为多少米？ 【答案】（1），（2）米，长方形的面积为4000平方米 【解析】 【分析】（1）根据铁栅栏总长为180米可得CD的长，再根据矩形的面积公式可得四边形的面积； （2）根据题意列出关于x的一元二次方程，解之求得x的值，再依据两面墙的长度取舍即可得． 【详解】（1）设BC=x米，则CD=（180﹣2x）米．四边形ABCD的面积为x（180﹣2x）米2． 故答案为（180﹣2x），x（180﹣2x）； （2）由题意，得：x（180﹣2x）=4000 整理，得：x2﹣90x+2000=0 解得：x=40或x=50． 当x=40时，180﹣2x=100＞90，不符合题意，舍去； 当x=50时，180﹣2x=80＜90，符合题意． 答：BC=50米，长方形的面积为4000平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意表示出解题所需线段的长度，并依据矩形的面积公式列出关于x的方程． 21. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC===5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明； （2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明． 【详解】（1）略 （2） 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键． 22. 某文具店在今年月底购进了一批价格为每件元的文具．据市场预测：若售价为元/件，一月可销售件；若每涨价元，销售量就减少件．月份售价为元． （1）求月份销售量是多少件？ （2）月份该文具进价比月底的进价每件增加，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果月份的销售量比月份销售量增加了百分数，但售价比月份售价减少了，减少的百分数为销售量增加百分数的，结果月份利润达到元．求月份的售价． 【答案】（1）件 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及代数式： （1）根据题目要求列式求解即可； （2）先求出月进价，再根据月份利润达到元求出月份的售价． 【小问1详解】 解：（件）； 【小问2详解】 解：月该文具进价比月进价每件增加， 月份的进价：（元）； 由题意得：， 化简得：， 解得：或（舍去）； 月售价为：（元）． 23. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动． （1）经过多少秒后，的面积为？ （2）线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． （3）若点P从点A出发，沿射线方向以的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线方向以的速度移动，经过多少秒后的面积为？ 【答案】（1）2或4 （2）线段不能将分成面积相等的两部分 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式列出方程，解方程即可； （2）根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答； （3）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：设经过秒后，的面积为． 根据题意得：， ∴， ∴，解得，， 故经过2秒或4秒后，的面积为； 【小问2详解】 解∶ 设经过t秒后，线段将分成面积相等的两部分． ∵， ∴，即． ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分． 【小问3详解】 解：设y秒后，的面积为； 分三种情况： ①点P在线段上，点Q在线段上，如图所示， 依题意得： ， 即， 解得， 经检验， 不符合题意，舍去， ； ②点P在线段上，点Q在射线上，如图所示， 依题意得：， 即， 解得， 经检验，符合题意； ③点P在射线上，点Q在射线上，如图所示， 依题意得：， 即， 解得， 经检验，不符合题意，舍去， ， 综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积等于． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了一元二次方程的应用和几何动点问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用． 24. 如图，已知抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）分别求出抛物线和直线的解析式； （2）若抛物线的顶点为，对称轴与直线交于点，则四边形是平行四边形吗？请通过计算说明理由 （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【答案】（1）； （2）不是，理由： 抛物线的顶点为 根据顶点公式：，得： 顶点和的横坐标相同 当时， 四边形不是平行四边形 （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，通过解析式得到点，将点代入直线解析式即可求； （2）根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分类讨论即可． 【小问1详解】 抛物线经过 解得： 抛物线的解析式为： 分别是抛物线与轴和轴负半轴的交点 当时，，即 当时，即 解得：或 在负半轴 设直线的解析式为： 解得： 直线解析式为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设 ， ， ， ， 若点为直角顶点时，则 即， 解得； 若点为直角顶点时，则 即， 解得， 若为直角顶点时，则，则， 解得 综上，点的坐标为或或或 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用、一次函数的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定以及勾股定理等，解题的关键在于正确求解出抛物线和直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $