精品解析：湖北省宜昌市当阳市当阳市实验初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度初中数学12月月考卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. 9 B. C. D. 4. 一个不透明的口袋中装有14个白球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到蓝球的频率稳定在，则估计口袋中蓝球的个数为（ ） A. 18个 B. 16个 C. 6个 D. 4个 5. 在《数学知识赛》上，小逸同学给竞争对手抛出了一道旋转题，作为观赛选手，请大家都来挑战一下：如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（      ） A. B. C. D. 8. 今年的3月3日是第12个“世界野生动植物日”，今年我国的主题为“加大物种保护投入力度，共建地球生命共同体”．这些年对野生动物的关注和保护，使得云南某地的野生绿孔雀的数量增多，2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只，设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 10. 二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在直角坐标系中，点绕原点旋转后对应的点的坐标是________． 12. 一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是___度． 13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是________． 14. 唐代李皋发明了“奖轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为________． 15. 无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是___________． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解方程： 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点． （1）画出绕原点旋转后得到的．（画图时字母应标注清楚） （2）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为______． （3）求的面积． 18. 如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若． （1）求的度数； （2）的长度为__________． 19. 如图，D是等边三角形 内一点，将线段 绕点 A 顺时针旋转 ，得到线段，连接 ，． （1）求证：； （2）连接，若，求的大小． 20. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②扇形统计图中圆心角______度； （2）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 21. 如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE． （1）求证：∠BED=∠C； （2）若OA=5，AD=8，求AC的长． 22. 商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克．设售价为x元/千克()，每天销售量为y千克，每天销售利润为元． （1）分别求出y与x，与x的函数解析式； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）当这种水果的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作，交直线l于点D．若，求m的值； （3）过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初中数学12月月考卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念即可判断 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 已知点与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是． 【详解】解：平面直角坐标系中，已知点与点Q关于原点对称， 则Q点坐标为． 故选：C． 3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，据此求出m的取值范围． 【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 4. 一个不透明的口袋中装有14个白球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到蓝球的频率稳定在，则估计口袋中蓝球的个数为（ ） A. 18个 B. 16个 C. 6个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式． 根据频率估计概率，摸到蓝球的频率稳定在，即概率为，设蓝球个数为，利用概率公式列方程求解． 【详解】解：设蓝球个数为，则总球数为， ∵摸到蓝球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴蓝球个数为6个． 故选：C． 5. 在《数学知识赛》上，小逸同学给竞争对手抛出了一道旋转题，作为观赛选手，请大家都来挑战一下：如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由旋转的性质得，，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∴． 故选：B． 6. 把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 得 ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 故选：A 7. 如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的函数值计算与大小比较，代入自变量求值并比较数值大小是解题的关键． 解题思路：代入三点的横坐标到抛物线解析式，算出对应值，再比较y值大小即可． 【详解】解：当时，， 当时， 当时，， ，故． 故选：C． 8. 今年的3月3日是第12个“世界野生动植物日”，今年我国的主题为“加大物种保护投入力度，共建地球生命共同体”．这些年对野生动物的关注和保护，使得云南某地的野生绿孔雀的数量增多，2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只，设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题． 根据2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只列方程即可． 【详解】解：∵设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x， ∴2024年初数量为， ∴2025年初数量为． 又∵2025年初统计为180只， ∴． 故选：C． 9. 如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 先由圆周角定理得到，然后可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的半径是4， 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴ ， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴，故正确； ∵图象和轴交于两点， ∴，故正确； 由图象可知，当时，，故正确； 所以正确的序号是，共5个． 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在直角坐标系中，点绕原点旋转后对应的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，准确计算是解题的关键． 利用关于原点中心对称的点的坐标特征，旋转后，点的横纵坐标均变为相反数，即可得解． 【详解】解：由题意得，旋转后点的坐标为． 故答案为：． 12. 一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是___度． 【答案】150 【解析】 【分析】根据弧长公式计算． 【详解】根据扇形的面积公式可得： ， 解得r=24cm， 再根据弧长公式， 解得. 故答案为：150. 【点睛】本题考查了弧长的计算及扇形面积的计算，要记熟公式：扇形的面积公式，弧长公式. 13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是________． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数． 根据题意可得二次项系数不为0，且，即可得的取值范围． 【详解】解：∵ 关于 的一元二次方程 有两个实数根， ∴ 且 ， 解得且． ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 14. 唐代李皋发明了“奖轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案． 【详解】解：设半径为，则， ， ， ， 在中，有 ，即， 解得， 则该桨轮船的轮子半径为， 故答案为：． 15. 无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题．由直线过定点，抛物线的对称轴为直线，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴直线过定点， 而抛物线的对称轴为直线， 如图，当时， ∵直线与抛物线总有公共点， ∴， 解得， ∴此时； 当时，如图， ∵直线与抛物线总有公共点， ∴， 解得； 综上，或． 故答案为：或． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． 利用十字相乘法求解方程即可． 【详解】解： 解得． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点． （1）画出绕原点旋转后得到的．（画图时字母应标注清楚） （2）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为______． （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是画旋转图形，中心对称的性质，坐标与图形，熟练的画图是解本题的关键． （1）分别确定绕原点O旋转后的对应点，再顺次连接即可； （2）由，，结合与是中心对称图形，可得对称中心的坐标； （3）利用割补法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与是中心对称图形，，， ∴对称中心的坐标为，即． 【小问3详解】 解：． 18. 如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若． （1）求的度数； （2）的长度为__________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，求弧长，熟知圆周角定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得的度数，再由平行线的性质可得答案； （2）连接，由圆周角定理可得的度数，再由弧长计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的长度． 故答案为： 19. 如图，D是等边三角形 内一点，将线段 绕点 A 顺时针旋转 ，得到线段，连接 ，． （1）求证：； （2）连接，若，求的大小． 【答案】（1） ∵ D是等边三角形 内一点，线段 绕点 A 顺时针旋转 ，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． (1)根据旋转的性质，等边三角形的性质，运用边角边证明即可． (2)根据旋转的性质，证明是等边三角形，运用全等三角形的性质计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ D是等边三角形 内一点，线段 绕点 A 顺时针旋转 ，得到线段， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． ∴． 20. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②扇形统计图中圆心角______度； （2）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①；② （2）（恰好抽中甲、乙两人） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确理解题意读懂统计图是解题的关键． （1）①用B组的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数；②先求出A组的人数，再求出C组的人数，再用360度乘以C组的人数占比即可得到答案； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽中甲、乙两人的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：①名， ∴这次调查一共随机抽取了400名学生； ②由题意得，A组的学生人数为名，， ∴C组的学生人数为名， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种， （恰好抽中甲、乙两人）． 21. 如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE． （1）求证：∠BED=∠C； （2）若OA=5，AD=8，求AC的长． 【答案】 （1）证明：∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O直径， ∴AB⊥AC． 则∠1+∠2=90°， 又∵OC⊥AD， ∴∠1+∠C=90°， ∴∠C=∠2， 而∠BED=∠2， ∴∠BED=∠C； （2）AC=． 【解析】 【分析】（1）由切线的性质得∠1+∠2=90°；由同角的余角相等得到∠C=∠2．由圆周角定理知∠BED=∠2，故∠BED=∠C； （2）连接BD．由直径直径对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由勾股定理求得BD===6，由△OAC∽△BDA得OA：BD=AC：DA，从而求得AC的值． 【详解】（1）略 （2）解：连接BD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD===6， ∴△OAC∽△BDA， ∴OA：BD=AC：DA， 即5：6=AC：8， ∴AC=． 【点睛】考查切线的性质, 余角和补角, 勾股定理, 圆周角定理, 相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角、圆心角与弧的关系的相关知识是解决此类问题的关键. 22. 商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克．设售价为x元/千克()，每天销售量为y千克，每天销售利润为元． （1）分别求出y与x，与x的函数解析式； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）当这种水果的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），； （2）这种水果的售价25元/千克或35元/千克； （3）当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用二次函数的顶点式求函数的最值． （1）根据题意可以写出月销售利润y(单位：元)与售价x(单位：元/千克)之间的函数解析式； （2）根据代入，解一元二次方程，即可解答本题； （3）根据（1）中的函数解析式，化为顶点式即可解答本题． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ， ∴y与x的函数解析式是，与x的函数解析式； 【小问2详解】 解：∵每天销售利润为1500元， ∴， 解得， 答：这种水果的售价25元/千克或35元/千克； 【小问3详解】 解：∵， ， ∴当时，取得最大值，此时， 答：当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 23. 在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）①； ②F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（1）知，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即F是线段的中点． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）①连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ②连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作，交直线l于点D．若，求m的值； （3）过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】（1） （2） （3）①②故当时，点有1个；当时，点有2个；当时，点有3个 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，得，根据，表示出点的横坐标即可； （3）①先根据待定系数法求出直线的解析式为，再分当时，点在点的左侧，当时，点在点的右侧两种情况讨论；②画出函数图象，分析图象即可得出结论． 【小问1详解】 解：抛物线（b，c是常数）与x轴交于点， 抛物线的解析式为， 故； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，点的横坐标为， 直线的解析式为，点在直线上， ，且点P在直线l的右侧时，即， ； 【小问3详解】 解：①抛物线解析式为， 时，，即，， 设直线的解析式为， ， 解得：， 故直线的解析式为， 时，，即， 当时，点在点的左侧，， 当时，点在点的右侧，， 故； ②绘制的函数图象如图所示： 点，， 故当时，的值只有1个，故点只有1个； 当时，的值只有2个，故点只有2个； 当时，的值只有3个，故点只有3个． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，本题的关键是运用分类讨论的思想方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $