精品解析：江苏镇江市丹阳市正则高级中学2026-2027学年高一上学期10月学情检测数学试题

高一学情检测·数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定求解即可. 【详解】命题：是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题：的否定是：. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式把集合用列举法表示出来，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以. 故选：B. 3. 若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离常数后求其值域即可. 【详解】， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为. 故选：A. 4. 下列命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质或者特值排除法可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 5. 已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先讨论当时是否满足题意，其次当时，由题意可得，解不等式组即可. 【详解】当时，不等式为即不等式无解，满足题意； 当时，若不等式的解集为空集， 即不等式恒成立， 则当且仅当， 解不等式组得； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】化简得， 解得， 所以，而， 因此“”是“”的充分而不必要条件. 7. 若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． 8. 已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，，对称轴为，则； 当时，， 若，则，符合题意； 若，则，则，得； 若，则，符合题意； 综上，实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知全集，集合，满足⫋，则 B. 关于的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数 C. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 D. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【详解】若，则，故A错误； 由题意得，，得，故B正确； 若，则，则集合的个数为，故C正确； 由题意得，，则可化为，得，故D错误. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数和函数表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：抽象函数的定义域为，则中的取值范围需满足， 解得，即的定义域为，A正确； 选项B：的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是同一个函数，B错误； 选项C：函数定义域为，令，则，代入得， 该函数在上单调递增，时取最小值3，故值域为，C正确； 选项D：已知①，将替换为得②， 联立①②消去，解得，D正确. 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. （其中且） 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合二次函数的性质用表示，再逐项判断得解. 【详解】观察图象知，二次函数图象对称轴为，过点， 由对称性得该图象还过点，于是，即，显然， 因此，，，，C错误，AB正确； 当时，，而， 即，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数有意义，列式求解即得. 【详解】函数有意义，则有，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 已知函数，分别由下表给出：满足的所有的值的和为_______． x 0 1 2 0 2 1 x 0 1 2 2 1 0 【答案】 【解析】 【分析】利用列表法求得正确答案. 【详解】依题意， x 0 1 2 2 0 1 1 2 0 满足的所有的值为， 所以和为. 14. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）=；或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）将代入，根据交集、并集及补集的定义求解即可； （2）求得，求出时的范围，再取其补集即可. 【小问1详解】 因为或， ， 所以或=； 或， 所以或或或； 【小问2详解】 因为或， ， 又因为， 所以， 当时， ，解得， 因为， 所以或， 所以实数的取值范围为或. 16. 已知集合，集合． （1）若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】（1）实数的取值范围为； （2）实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）由题设条件先得，接着分和两种情况列关于m的不等关系即可求解； （2）先假设存在得到是的子集，进而列出不等式组求解即可得解. 【小问1详解】 若是的必要条件，则， 当即时，，满足； 当时，则可得. 综上，若是的必要条件，则实数的取值范围为. 【小问2详解】 假设存在实数，使是的充分条件，则， 则由题意得. 所以存在实数，使是的充分条件，实数的取值范围为. 17. 某企业生产甲、乙两种产品所得利润分别是（单位：万元）和（单位：万元），它们与投入资金（单位：万元）的关系有经验公式.今将4万元资金投入生产甲、乙两种产品，其中对甲种产品投资（单位：万元）. （1）试建立总利润（单位：万元）关于的函数关系式； （2）如何安排投入资金使得该企业所获利润最大？并求出获利润的最大值. 【答案】（1） （2）甲产品投资2万元，乙投资2万元，此时利润最大，最大利润为2万元. 【解析】 【分析】（1）通过设出甲投资以及乙投资的数目，设立函数表达式，根据函数式直接写出定义域； （2）对于（1）中的函数解析式，利用换元法转化成一个二次函数的形式，最后结合二次函数的最值求法得出函数的最大值，从而解决问题． 【小问1详解】 甲投资万元，则乙投资万元， 则； 【小问2详解】 令，则， ， 当时，，此时的最大值为万元. 则甲产品投资万元，乙投资2万元，此时利润最大，最大利润为2万元. 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为（），求实数，的值； （2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2）； （3） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式与二次函数的关系，及其解集求参数值； （2）问题化为恒成立，应用基本不等式求不等式右侧的最小值，即可得范围； （3）分类讨论参数求一元二次不等式对应的解集. 【小问1详解】 由关于的不等式的解集为，得， 且和是方程的两个实数根，即，解得， 所以的另一实数根为，即，所以，. 【小问2详解】 由，得，又，所以恒成立. 当时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，. 若，不等式解集为； 若，不等式可化为，此时不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 综上可知， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 19. 设，，其中，记． （1）若，求的值域； （2）若的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围； （3）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出的解析式后根据二次函数的性质可求值域； （2）根据判别式恒为负可求参数的取值范围； （3）由题设可得在上的值域为的子集，根据最大值小于等于9可求参数的取值范围. 【小问1详解】 时，， 故， ， 当时，； 当时，， 故的值域为. 【小问2详解】 的图象始终在的图象上方即为， 故对任意恒成立， 故，故，而， 故. 【小问3详解】 ， 因为对任意，总存在，使得成立， 故在上的值域为的子集， 因为，故，故， 所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一学情检测·数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 5. 已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知全集，集合，满足⫋，则 B. 关于的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数 C. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 D. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数和函数表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. （其中且） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数的定义域为__________. 13. 已知函数，分别由下表给出：满足的所有的值的和为_______． x 0 1 2 0 2 1 x 0 1 2 2 1 0 14. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知集合，集合． （1）若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 17. 某企业生产甲、乙两种产品所得利润分别是（单位：万元）和（单位：万元），它们与投入资金（单位：万元）的关系有经验公式.今将4万元资金投入生产甲、乙两种产品，其中对甲种产品投资（单位：万元）. （1）试建立总利润（单位：万元）关于的函数关系式； （2）如何安排投入资金使得该企业所获利润最大？并求出获利润的最大值. 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为（），求实数，的值； （2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 19. 设，，其中，记． （1）若，求的值域； （2）若的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围； （3）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $