精品解析：江苏镇江市第一中学2026-2027学年高一第一学期10月份月考数学试题

镇江第一中学高一十月份月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知命题：，，则是（ ） A. （）， B. （）， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 方程组的解构成的集合是（ ） A. B. C. D. 5. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，，且，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论： ①；②若，则； ③；④若，则的取值范围为． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，且，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 若，则 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 已知函数的值域为，则函数的值域为 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 最小值为 B. 的最小值为 C. 最大值为 D. 无最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 13. 若关于的分式方程无解，则________． 14. 已知集合，，若，则的取值范围是______． 四、解答题：共77分 15. 已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，． （1），均为正根，求实数的取值范围； （2）若，满足，求实数的值． 16. 将下列各式因式分解． （1）； （2）． 17. 已知命题：，使得不等式成立，命题关于的不等式的解集中含有． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围． 18. 已知，且． （1）求的最小值； （2）若对任意满足条件的正实数、，都有，求实数的取值范围． （3）对满足条件的正实数、，令，若不等式对任意符合题意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数和，定义集合． （1）设，，求； （2）设，，当时，求的取值范围； （3）设，，，若对任意，总存在，满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇江第一中学高一十月份月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知命题：，，则是（ ） A. （）， B. （）， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知：. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由知，所以. 因为，其中满足的元素是和，所以. 3. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 由已知得，所以. 将与相加得： ，即，解得. 4. 方程组的解构成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 5. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由不等式性质，且，可得， 但当时，推不出且，例如， 故“且”是“”的充分不必要条件． 6. 设，，且，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，是一元二次方程的两根，从而根据韦达定理得到与的值，进而将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】由，，且， 则，，且， 所以，是一元二次方程的两根， 所以，， 所以． 7. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若，不等式恒成立， 则，可得恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 8. 对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论： ①；②若，则； ③；④若，则的取值范围为． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义逐个运算可得答案. 【详解】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，， 若，由定义可得，当时，可得； 若，由定义可得，当时，可得，成立， 所以或，故②错误； 对于③，当时，，所以，， ，故③错误； 对于④，若， 当即时，得，解得，所以； 当即时，得，解得，所以； 综上，的取值范围为，故④正确. 其中正确的是①④. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于选项A： ∵ ，可知，即，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变. ∴ ，故A正确. 对于选项B： 取反例：，，，，满足，， 此时，，，不满足，故B错误. 对于选项C： 作差得. ∵ ，∴ ，. ∴ ，即，故C正确. 对于选项D： 取反例：，，，满足且， 此时，，，即，不满足. 故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 若，则 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 已知函数的值域为，则函数的值域为 【答案】BC 【解析】 【详解】 选项A：要使有意义，则，所以的定义域为； 要使有意义，则，所以的定义域为， 二者定义域不同，不是相同函数，A错误; 选项B：令，则，代入得，即，B正确; 选项C：定义域为即，则，故的定义域为，C正确; 选项D：与对应法则完全一致，仅自变量表达形式不同，故二者值域相同，的值域仍为，D错误 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 最小值为 B. 的最小值为 C. 最大值为 D. 无最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】选项AC利用均值不等式可以求解；选项B注意取值范围利用函数性质判断；选项D对根号部分利用均值不等式放缩判断有最大值. 【详解】选项A，由得，，且， 则， 因为，，所以， 故，当且仅当，即，解得时取等号. 所以最小值为，A正确. 选项B，越接近，接近，接近，无最小值，B错误. 选项C，设，则，且， 由均值不等式，，当且仅当即时取等号. 所以，得，即的最大值为，C正确. 选项D，由得，由（）变形得， 于是, 所以，当且仅当即时取等号. 所以该式有最大值，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数的图象的性质可得的取值范围． 【详解】因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴． 故答案为： 13. 若关于的分式方程无解，则________． 【答案】 【解析】 【详解】方程两边同时乘，得； 整理得；解得； 因为原方程无解，所以，即； 可得， 解得. 14. 已知集合，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】当时，无解，，此时成立. 当时，由得，即. 等价于且. 由得，解得；由得，解得. 所以此时. 综上，的取值范围是. 四、解答题：共77分 15. 已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，． （1），均为正根，求实数的取值范围； （2）若，满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两根均为正根等价于判别式非负、两根之和为正、两根之积为正三个条件同时成立，用韦达定理转化为关于 的不等式组联立求解. （2）将 通分为 ，用韦达定理代入得到关于 的方程，求解后注意检验判别式与分母非零. 【小问1详解】 由韦达定理，得 ，. 方程有两个实根，故 ，解得 . ， 均为正根，需满足 ，且 . 由 ，得 或 . 三式联立，得 ，其中当 时 ，出现零根，不合题意，故左端取严格不等号. 【小问2详解】 由 ，得 ，即 . 整理得 ，因式分解得 ，解得 或 . 检验：当 时，，方程无实根，舍去； 当 时，，且 ，分式有意义，符合题意. 16. 将下列各式因式分解． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先分组为，提公因式因式分解即可； （2）先把变形为，拆开化为，再用提公因式法与公式法即可因式分解． 【小问1详解】 【小问2详解】 ． 17. 已知命题：，使得不等式成立，命题关于的不等式的解集中含有． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合命题的真假转化不等式，再结合二次函数的性质可得； （2）先求出两命题为真时的取值，在根据题意讨论即可. 【小问1详解】 若为假命题，则其否定，为真命题， 对于开口向上的二次函数，要使恒成立只需判别式小于零即可， 即，即实数的取值范围. 【小问2详解】 若为真命题，则； 若为真命题，即； 所以，当为真为假时，，解得； 当为假为真时，，解得. 综上，实数的取值范围. 18. 已知，且． （1）求的最小值； （2）若对任意满足条件的正实数、，都有，求实数的取值范围． （3）对满足条件的正实数、，令，若不等式对任意符合题意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式得出，化简可得出的最小值； （2）先将已知等式变形为，将代数式与代数式相乘，展开后可得出的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解之即可； （3）由（2）得出，不等式即为对任意恒成立，分、两种情况讨论，结合一次函数不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 由基本不等式，，即，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 【小问2详解】 已知，，将两边同除以，得，  ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 因为对任意满足条件的正实数、，都有，所以， 即，解得，故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，原不等式整理为对任意恒成立， 设， ①当时，： 若，则，不符合题意； 若，则，满足恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得或. 综上所述，实数的取值范围为. 19. 已知函数和，定义集合． （1）设，，求； （2）设，，当时，求的取值范围； （3）设，，，若对任意，总存在，满足，求的取值范围． 【答案】（1）​ （2）​ （3）​ 【解析】 【分析】（1）先确定根式的定义域，再利用平方根函数的单调性解不等式． （2）将化为关于的二次式恒正，按二次项系数及判别式讨论参数． （3）分别求出两个集合对应的开区间，把任意到某个的距离不超过转化为区间端点的覆盖条件，再按与的关系分类． 【小问1详解】 由有意义，得． 在此范围内，等价于，所以． 故． 【小问2详解】 由为全体实数，得对任意实数，都有． 当时，二次项系数，上式不可能对任意实数恒成立． 当时，上式化为，满足条件． 当时，二次项系数为正，要使上式对任意实数恒成立，需判别式小于，即，解得． 综上，． 【小问3详解】 设，． 由，得． 又． 当时，； 当时，； 当时，． 当且时，对给定的，存在使的充要条件为． 因此，由为开区间，题设条件等价于，即其左端点不小于、右端点不大于． 当时，且，解得且，所以． 当时，，不满足题意． 当时，必须有，从而，与矛盾． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $