精品解析：江苏南京师范大学附属中学秦淮科技高中2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026-2027学年第一学期高一年级第一次学情调研 数学学科 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 一元二次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（ ）人. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集中恰好有3个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足.则的最小值为（ ） A. 3 B. 9 C. 4 D. 8 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “且”是“”的必要不充分条件 C. “x，y都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 13. 若不等式的解集为，则实数的取值范围为____________ 14. 若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 16. 设集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若存在实数，使得与可以同时成立，求实数的取值范围． 17. 已知正数满足. （1）求证：； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 18. 如图，在周长为8的矩形ABCD中（其中），现将沿AC折叠到，设与CD交于点E，设. （1）求证：的周长为定值； （2）试用x表示的长，并求x的取值范围； （3）当x为何值时，的面积S取得最大值，并求出该最大值. 19. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一年级第一次学情调研 数学学科 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合并集的定义，结合两个集合的范围直接推导并集结果即可. 【详解】因为集合，，所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】“，”的否定为：，. 3. 一元二次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将一元二次不等式左边分解因式，然后求得解集. 【详解】因为，所以， 解得，所以解集为， 故选：C. 4. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 5. 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（ ）人. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设同时参加球类比赛和田径比赛的有人，利用文氏图辅助解答. 【详解】不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有人， 结合已知条件可知，只参加游泳比赛的有10人，只参加球类比赛的有人， 只参加田径比赛的有人， 故，解得， 从而只参加球类一项比赛的有8人. 故选：B 6. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 7. 若关于的不等式的解集中恰好有3个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恰有3个整数解，分析可得实数的取值范围；或分离参数，构造新函数，分析新函数的单调性，解得实数的取值范围. 【详解】解：原不等式等价于， 由题意，知，解得. 又原不等式的解集为，且， 则为原不等式的整数解，所以，解得所以实数的取值范围为. 方法二：对于不等式， 当时，，不成立，所以0不是不等式的整数解； 当时，. 令，则在上均单调递增，其简图如下： 当时，，所以；当,且取整数时，，所以； 所以不等式的整数解是,即不等式解集中恰有3个整数解是，所以，所以. 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8. 已知正实数满足.则的最小值为（ ） A. 3 B. 9 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】a，b均为正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “且”是“”的必要不充分条件 C. “x，y都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】结合充分必要条件和不等式的性质可得A、B；举反例可判断CD. 【详解】对于A，由不等式的性质可得“”是“”的充要条件，故A正确； 对于B，“且”由不等式的同向可加性可得“”， 所以充分性不成立，故B错误； 对于C，令，则，充分性不成立； 令，符合是无理数，但为有理数，必要性不成立，故C正确； 对于D，令，符合，但不符合，充分性不成立，故D错误. 故选：AC. 10. 已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合Venn图逐项判断即可. 【详解】 由Venn图知： ，当时也成立，A正确； ，当时也成立，B错误； ，当时也成立，C正确， ，当时也成立，D正确， 故选：ACD 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由求出值，再由的取值检验是否满足即得. 【详解】由得，则，解得， 时，，此时，不符合题意， 时，，，符合题意， 所以. 反之，由可得， 所以充要条件是. 13. 若不等式的解集为，则实数的取值范围为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式解集为空集，分类讨论参数、求参数的范围，然后求并即可. 【详解】当时，不成立，此时解集为； 当时解集为，有解得， ∴综上，有， 故答案为： 【点睛】本题考查了由不等式解集为空求参数范围，分类讨论的方法分别求得参数范围，最后合并即为所求. 14. 若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件，利用二次函数图像性质即可求解. 【详解】由可知对称轴为：， 因为函数的两个零点都在区间内， 所以， 故实数的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算性质化简求解即可； （2）给两边同时平方即可求出，再两边同时平方可得，然后求解即可. 【详解】（1）原式=. （2）因为，所以两边同时平方得：， 所以，两边再平方得：， 故， 所以. 16. 设集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若存在实数，使得与可以同时成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，然后按照是否为空集分类讨论； （2）根据题意，可将问题转化成的讨论，再利用正难则反的思想，先计算出的范围，再求其补集即可. 【小问1详解】 ， 根据可知，，有两种情况： 若，则，解得； 若，根据可得，解得. 综上可得，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若存在实数x，使同时成立，即， 考虑正难则反，先求，有两种情况： 若，则，解得； 若且时，则有，解得， 或，解得， 综上可得当时，或， 则当时，. 则实数的取值范围. 17. 已知正数满足. （1）求证：； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以； （2）24 （3）50 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式 “1”的巧用求解最值即可； （2）由可得，利用分式的性质变形结合基本不等式求解最值即可； （3）由，可得，又，从而将所求最值转化为即可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为24； 【小问3详解】 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 又，所以， 则的最小值为50. 18. 如图，在周长为8的矩形ABCD中（其中），现将沿AC折叠到，设与CD交于点E，设. （1）求证：的周长为定值； （2）试用x表示的长，并求x的取值范围； （3）当x为何值时，的面积S取得最大值，并求出该最大值. 【答案】（1）证明：由题意可知, 所以,所以, 所以（定值）. 所以的周长为定值4. （2）， （3）当时，的面积取得最大值，为 【解析】 【分析】（1）通过证明,即可得到,,从而求出的周长； （2）在利用勾股定理并结合（1）即可建立和的关系，根据题意即实际意义可求出的范围； （3）将的面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由折叠可知, 所以，即, 由（1）知,即，所以， 在直角△中，由勾股定理可得， 即，化简得， 因为,，所以且，即， 所以，； 【小问3详解】 在Rt中,, 所以, 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的面积取得最大值，为. 19. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【小问1详解】 不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. 【小问3详解】 由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $