精品解析：湖北襄阳市枣阳市第一中学2025-2026学年高三上学期2月月考数学试题

枣阳一中2023级高三2月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求出集合A，根据对数函数的定义域求出集合B，再根据交集运算方法即可得到答案． 【详解】， ， ∴， 故选：C． 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简复数，即可判断其共轭复数. 【详解】，， 故选：C. 3. 在正方体中，直线和平面所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，连接，即可得到平面，则为直线和平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】连接交于点，连接，则， 又平面，平面，所以 又，平面，所以平面， 则为直线和平面所成角， 又平面，所以，所以， 则，即直线和平面所成角为. 故选：A 4. 一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数定义以及百分位数定义计算可得结果. 【详解】数据，，，，，，，，，已是由小到大的排列，数据共个， 中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为， 由，因此百分位数为第个与第个数据的平均值即， 得， 解得， 故选：A． 5. 已知等比数列的首项为64，公比为，数列的前n项积为，则当时n的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】先求出等比数列的通项公式，然后求出的表达式，进而求不等式的解集即可得出结果. 【详解】因为等比数列的首项为64，公比为，所以. 数列的前n项积为，则. 指数部分是首项为6，末项为的等差数列求和，其和为. 所以时，化简得，由于，所以解得. 所以当时n的最小值是14. 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，求出，根据即可求解. 【详解】， ， ，， 故选： 7. 在中，已知，点在边上且．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】+由三角函数知识结合正弦定理可得，，据此可得答案. 【详解】由题，且为锐角，则 ，又， 则，. . 由正弦定理，， ， 则，则. 故选：B 8. 若直线与曲线相切，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设切点为，进而求出的导数，可得切线的斜率，从而得出，再由切点也在切线方程上，并化简得出，从而得出，通过构造函数并利用导数研究函数的单调性和最值，从而可求出的最大值． 【详解】设直线与曲线相切于点， ，， 可得切线的斜率为，则，即， 又切点也在直线上，则， ， ， 设，， ， 当时，，单调递增 当时，，单调递减． 的最大值为，即的最大值为． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的性质或根据图象变换作出图象，逐一判断即可． 【详解】A：的最小正周期为，故A错误； B：的图象为： ， 则其以为最小正周期，且在区间上单调递增，故B正确； C：因在区间上单调递增，且其最小正周期为，故C正确； D：如图： 则其以最小正周期，且在区间上不单调，故D错误； 故选：BC． 10. 下列有关说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种 C. 若，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3； 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质可判定A，应用分组分配结合排列组合计算判断B，采用赋值法令可计算出C正确；应用指对数运算结合回归方程判断D. 【详解】对于A，设随机变量服从正态分布， 若，则曲线关于对称，则，故A正确； 对于B：甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需 要有人去， 则不同的安排方法有种，B选项错误； 对于C， 令，可得， 令，可得， 即可得，即，C正确； 对于D：，两边取对数得到，故，的值分别是和0.3，D正确； 故选：ACD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点P，M，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线C的离心率为 B. 当时，曲线C的离心率为 C. 当时，曲线C的离心率为4 D. 当时，曲线C的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出双曲线渐近线方程，由已知求出点的坐标，再结合双曲线定义，逐项列式求出离心率并判断得解. 【详解】双曲线的焦点，渐近线方程为， 以为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点，得， 设，由，解得， 对于A，，又，则， 由勾股定理得，即，曲线C的离心率为，A正确； 对于B，，不妨令，则， 即，整理得，曲线C的离心率为，B正确； 对于C，，则， 解得，曲线C的离心率为，C错误； 对于D，，而， 解得，又，即，曲线C的离心率为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】取正棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可. 【详解】 如图，取正四棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，为侧棱，， 则， 因为上下底面边长分别为2和4， 所以，，， 所以，即棱台的高为， 棱台的体积=. 故答案为：. 13. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是________ 【答案】 【解析】 【分析】两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率的求法求解即可. 【详解】设事件分别表示甲两轮猜对1个，2个成语，事件分别表示乙两轮猜对1个，2个成语，则 ，， ，， 设事件为““星队”在两轮活动中猜对3个成语”， 则，且与互斥，与，与分别相互独立， 所以 ， 故答案为： 14. 过点的直线l与抛物线交于两点M，N，点M，N处的切线交于点P，则点P到圆的距离的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设l为，的横坐标为，l与抛物线方程联立求出．利用导数求出抛物线在点M和N处的切线方程，联立两条切线方程求出P的横坐标和纵坐标，消去参数k得到P的轨迹方程，再利用几何关系即可求解． 【详解】由题可知直线l的斜率存在， 故可设过点的直线的方程为，即． 联立抛物线方程，得：， 设的横坐标为，∵，故由韦达定理得：， 对于函数，其导数，在处切线斜率为， 切线方程为，即． 故抛物线在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为． 联立两切线方程：， 解得交点的横坐标为， 代入切线方程得纵坐标为． 因此，点坐标为， 消去参数得P的轨迹方程为，即． 圆的圆心为，半径． 圆心到直线的距离， ∴直线与圆相离， 故P到圆的最小距离为圆心到直线距离减去圆半径：． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若D为边上一点，，，平分，求a． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦的和角公式及正弦定理、辅助角公式等进行求解即可； （2）在中利用正弦定理求出的关系，从而可得c和b的方程，利用可再得一个关于b、c的方程，联立求出b、c，再利用余弦定理即可求出a． 【小问1详解】 由及正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴，即， 又∵，， ∴，∴； 【小问2详解】 由题可知，， 在中由正弦定理得①，②， ①÷②得，即． 又，∴， ∴，∴，∴， ∴， ∴． 16. 已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． （1）证明：是等差数列； （2）设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在正项数列中，， 则，所以是等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出及并裂项，再按分奇偶求出，进而求出的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，等差数列的首项，公差，则，， ，于是，而满足上式， 因此，， 则， ， 显然，且数列单调递增，， 因此，又不等式对任意正整数n恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在上，点为的中点，且平面． （1）求证：平面； （2）若平面平面，且，，记平面与平面的夹角为． ①求的最大值； ②当取到最大值时，求四棱锥的外接球体积． 【答案】（1） 取线段的中点，连接、，连接交于点，连接，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，、平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 因为为的中点，故为的中点， 因为四边形为正方形，，故为的中点， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，故平面. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接、，连接交于点，连接，推导出平面平面，利用面面平行的性质得出，可得出为的中点，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）①推导出平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，，由得出，可得出，然后利用空间向量法可求得的最大值； ②由题意得出，设外接球球心为，根据结合空间中两点间的距离公式可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可求出外接球的半径，结合球体体积公式可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，设点，其中，， 则，， 因为，则，可得，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为； ②当取到最大值时，，，则点， 设四棱锥的外接球球心为， 由可得， 解得，，即， 故四棱锥的外接球半径为， 因此四棱锥外接球的体积为. 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. （1）求的方程； （2）若是的中点，求直线的方程； （3）过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 【答案】（1） （2）或 （3）根据题意画出图像为： 由①②可得，. 由题意可得，，直线的方程为 ， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率条件，求出椭圆方程. （2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程组，利用韦达定理化简求解直线方程. （3）首先根据题意确定点的坐标，然后设出直线的方程，联立直线与椭圆方程组，利用韦达定理化简求出直线的方程，进而可看出该直线过定点. 【小问1详解】 由题意可得解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 依题意画出图像为： 设直线的方程为（因为点在第二象限，所以，即）， 设，. 联立直线与椭圆方程得. 当时，. 由根与系数的关系知，①，②. 因为是的中点，所以，结合①解得. 代入②，解得（舍去）， 所以直线的方程为，即或. 【小问3详解】 略 19. 设函数． （1）试求函数的极值； （2）若函数在上存在单调减区间，求实数的取值范围； （3）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，令，求得，得出函数的单调性，进而求得函数的极值； （2）由函数，求得，结合，分和，两种情况讨论，得出函数的单调区间，即可求解； （3）根据题意，转化为在上恒成立，设，求得，再令，得到，得出在上单调递增，根据零点存在定理知，存在唯一，使得，得出得到单调性，得到，再由，结合对数的运算性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 令，可得， 当故当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 解：因为函数， 所以函数， 可得， 由，可得，且在上单调递增，故有， ①当时，可得，函数在上单调递增，故不存在单调减区间； ②当时，存在且满足， 当，有，函数在上递减， 当，有，函数在上递增， 所以当时，函数在存在单调减区间. 【小问3详解】 解：由在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立 设，可得， 记，则， 所以在上单调递增， 因为， 根据零点存在定理知，存在唯一，有，即， 且在上有；在上有； 由，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 对于两边取对数得， 因为函数在上单调递增，则有，即， 所以，即． 所以，即的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枣阳一中2023级高三2月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，直线和平面所成角为（ ） A. B. C. D. 4. 一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的首项为64，公比为，数列的前n项积为，则当时n的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 13 D. 14 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知，点在边上且．若，则（　　） A. B. C. D. 8. 若直线与曲线相切，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列有关说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种 C. 若，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3； 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点P，M，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线C的离心率为 B. 当时，曲线C的离心率为 C. 当时，曲线C的离心率为4 D. 当时，曲线C的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为_____. 13. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是________ 14. 过点的直线l与抛物线交于两点M，N，点M，N处的切线交于点P，则点P到圆的距离的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若D为边上一点，，，平分，求a． 16. 已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． （1）证明：是等差数列； （2）设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在上，点为的中点，且平面． （1）求证：平面； （2）若平面平面，且，，记平面与平面的夹角为． ①求的最大值； ②当取到最大值时，求四棱锥的外接球体积． 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. （1）求的方程； （2）若是的中点，求直线的方程； （3）过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 19. 设函数． （1）试求函数的极值； （2）若函数在上存在单调减区间，求实数的取值范围； （3）若在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $