精品解析：湖北省孝感市楚天协作体2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得，则. 所以的虚部是. 2. “向量与共线”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【详解】对于平面向量与，根据平面向量共线的坐标判定规则：若两个向量与共线，则满足. 代入坐标得：，整理得，解得或. ①必要性：若，向量、，两向量共线，即由可以推出向量共线，故“向量共线”是“”的必要条件. ②充分性：向量共线时，可取2或-2，无法由“向量共线”必然推出“”，故不满足充分性. 综上，“向量与共线”是“”的必要不充分条件. 3. 已知等差数列（）满足，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 2026 【答案】C 【解析】 【详解】由等差数列的性质可知，， 则，即. 4. 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则其展开式中含的项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】二项式展开式的二项式系数呈中间大、两边对称分布，若只有第4项的二项式系数最大，说明展开式总共有7项，因此. 二项式的第项为： ， 令的指数，解得，代入得该项系数为. 5. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量，估计黄鹤楼的高度．无人机在距水平地面70米的同一高度上先后悬停于，两点．记楼顶为，在点测塔顶的俯角为．已知，两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中为楼顶在无人机所在水平面上的垂直投影点），则黄鹤楼的高度大概为（ ）米 A. 45 B. 51 C. 52 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】先在水平面中利用内角和、正弦定理求出，再利用俯角的几何含义得到竖直距离，结合无人机离地高度算出黄鹤楼的高度. 【详解】无人机所在平面距地面高度为70米，在点测塔顶的俯角为，且垂直于无人机所在水平面， 因此是直角三角形，由俯角定义可得. 中：米，，，则. 根据正弦定理​，代入数值得米. 由第一步得米，说明塔顶比无人机所在水平面低18米，因此黄鹤楼总高度为：米. 6. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，结合题设可得，设，进而由可得，进而求解即可. 【详解】由，得，则，解得或， 则函数的定义域为， 要使函数关于直线对称，则， 设，其图象关于对称， 则，即 则对于恒成立， 故，则，所以. 7. 暑期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“Be water，my friend”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．现从中提取四个首字母，，，各取两次（即共8个字母：，，，，，，，）并排成一排．若恰有3对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（ ） A. 144 B. 288 C. 408 D. 504 【答案】A 【解析】 【分析】先从4对字母中选3对，将其对应相同字母捆绑整体排列,再将剩余2个相同的字母插入空隙即可求解. 【详解】恰好3对相邻：先从4对字母中选3对，将其对应相同字母捆绑，选法为种， 将3对捆绑的整体排列，排列数是种， 3个整体排列后形成4个空隙，将剩余2个相同的字母插入空隙， 因为两个字母相同，所以插空方法共有种， 所以总的排列数为种. 8. 设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，可转化问题为对于恒成立，设，，结合其单调性转化问题为对于恒成立，令，则对于恒成立，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由，得， 则函数在上单调递增，而， 则，即， 则对于恒成立，而， 设，，显然在上单调递增，且， 则，即对于恒成立， 令，则对于恒成立， 令，，则， 令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即实数的取值范围为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组数据的线性回归方程为，若，则 B. 若随机变量满足，则 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 若随机变量，若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，线性回归直线一定过样本中心点， 若，则，故A正确； 对于B，由，得，则，故B错误； 对于C，由，得，因为， 所以，故C正确； 对于D，由，则，解得， 则，故D正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. B. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C. 若，且，则 D. 若函数在上恰有个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用图象的最值，周期，特殊值即可求出函数的解析式；对于B，利用函数的平移和三角转化进行求解；对于C，利用同角正余弦关系和倍角公式即可；对于D，利用列举函数的正零点进行求解. 【详解】对于选项A，由图可知，，解得， 将点代入得，即， 则，所以. 又，所以，则，故A正确； 对于选项B，的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象，故B错误； 对于选项C，由，得. 又，则， 所以. 所以 ，故C正确； 对于选项D，令，得，则. 所以正零点由小到大依次为、、、、. 若函数在上恰有个零点，则，故D正确. 11. 若实数集中存在最大元素和最小元素，则定义集合的“极差”．下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，，则存在实数使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由，，得；对于B，利用，可判断；对于C，利用三角换元，可得的最值，即可求；对于D，由即可. 【详解】对于选项A，由，得，又，所以，故A错误； 对于选项B，，， 则. 因为，所以，所以. 所以，故B正确； 对于选项C，由，即，令，，则. 所以. 则，故C正确； 对于选项D，由， 所以.所以，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，则的子集的个数为__________． 【答案】 【解析】 【详解】， ， 所以，元素有个，则的子集的个数为. 13. 已知函数在处的切线方程为，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【详解】由，得， 而，则， 因为函数在处的切线方程为， 所以，且，则，所以. 14. 在中，为边中点，是线段上的动点，，，，若，则_____（用，表示）；若，且，则的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空一：根据平面向量的线性运算求解即可； 空二：过点作，垂足为，延长交于点，利用三角形相似可得，再根据平面向量数量积的定义得到，进而求解即可. 【详解】空一：当时，因为为边中点， 所以 . 空二：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 因为，所以，则，， 因为为边中点，所以，则， 又，则， 所以 ，因为，所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求的值； （2）在边上取一点，使得，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设结合平方关系及正弦定理可得，再根据余弦定理可求得，，再利用正弦定理求解即可； （2）先根据题设及平方关系、两角和的正弦公式求得，可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由， 则， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理得，因为，所以， 因为，，所以，则， 由正弦定理得，即. 【小问2详解】 由于，， 所以， 由于，所以，而， 所以． 则 ， 由于，所以， 则． 16. 已知数列中，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ， 即， . 是以为首项，为公比的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）将题设条件转化为即可证明； （2）由已知可得，利用错位相减法即可求和. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， ， 又， 得， ， 两式作差， 得． 所以． 17. 一个箱子里有个黑球和个白球（），从箱子中不放回地每次抽取一个球，直到取完，记为在整个取球过程中，取出来的黑球个数始终小于取出来的白球个数的概率． （1）求； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，共有2个黑球，5个白球，只需前面取出3个白球，后面自由排序即可，而第一次和第二次取出的必须为白球，进而分析求解即可； （2）只需前面取出3个白球，后面自由排序即可，而第一次和第二次取出的必须为白球，进而分析得到，再结合对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意，共有2个黑球，5个白球， 只需前面取出3个白球，后面自由排序即可． 由题意可知，第一次和第二次取出的必须为白球，分为以下两类： ①当第三次取出的是黑球时，第四次必须取白球，这时前面已取出三个白球，后面共有种取法； ②当第三次取出的是白球时，这时前面已取出三个白球，后面共有种取法 故. 【小问2详解】 只需前面取出3个白球出来，后面自由排序即可． 由题意可知，第一次和第二次取出的必须为白球，分为以下两类： ①当第三次取出的是黑球时，第四次必须取白球，这时前面已取出三个白球，后面共有种取法； ②当第三次取出的是白球时，这时前面已取出三个白球，后面共有种取法． 故 考虑函数在上单调递减，在上单调递增． 又因为为正整数，故的最大值在或3时取到， 而，故的最大值为. 18. 若定义在上的单调函数，满足对于任意的，都有． （1）求的解析式； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若，当时，试比较：与的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由在上单调，可得存在唯一的实数，使得，进而结合题设求解即可； （2）由题设可得对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）方法一：结合（2）可得对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而得到，可得，进而得解； 方法二：设，，利用导数分析可得在上单调递增，设，，利用导数分析其单调性可得，进而得到，进而得解. 【小问1详解】 在上单调，∴存在唯一的实数， 使得，则为定值对于任意的恒成立． 故，而， 取，在上单调递增，且，则， 故． 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得， 则对于恒成立， 设，，则， 而，，设，， 则，而在上单调递增，且， ①当时，， 则在上单调递增，则， 则在上单调递增，此时有成立，满足题意． ②当时，， 由于在上单调递增，且， 故当时，，在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 故有当时，，不符合题意． 综上所述，的取值范围为． 【小问3详解】 方法一：由（2）知：当时，对于恒成立， 则对于恒成立， 设，， 则， 故在上单调递增，故，则有， 变形得，即，则， 即，则. 方法二：设，， 则， 设，， 则，所以在上单调递增， 故，即，则在上单调递增， 设，， 则，故在上单调递减， 故，则有， 则，即， 即有时，，即. 19. （1）证明积化和差公式：和； （2）求值：； （3）是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值组成的集合，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由余弦的和差角公式：①， ②， （②①），得 . 由正弦的和差角公式：③， ④， （③④），得. （2） （3）不存在，理由如下： 由 ， 设，， 则，所以在上单调递增， 故对于任意的恒成立，则有， 则， 故不存在正整数使得. 【解析】 【分析】（1）根据两角和与差的余弦、正弦公式求证即可； （2）将式子分子分母同时乘以，再用积化和差公式化简求解即可； （3）结合积化和差公式及三角恒等变换公式化简可得，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）略 （2） . （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. “向量与共线”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知等差数列（）满足，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 2026 4. 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则其展开式中含的项的系数是（ ） A. B. C. D. 5. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量，估计黄鹤楼的高度．无人机在距水平地面70米的同一高度上先后悬停于，两点．记楼顶为，在点测塔顶的俯角为．已知，两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中为楼顶在无人机所在水平面上的垂直投影点），则黄鹤楼的高度大概为（ ）米 A. 45 B. 51 C. 52 D. 55 6. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 暑期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“Be water，my friend”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．现从中提取四个首字母，，，各取两次（即共8个字母：，，，，，，，）并排成一排．若恰有3对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（ ） A. 144 B. 288 C. 408 D. 504 8. 设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组数据的线性回归方程为，若，则 B. 若随机变量满足，则 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 若随机变量，若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. B. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C. 若，且，则 D. 若函数在上恰有个零点，则实数的取值范围是 11. 若实数集中存在最大元素和最小元素，则定义集合的“极差”．下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，，则存在实数使得 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，则的子集的个数为__________． 13. 已知函数在处的切线方程为，则的值为__________． 14. 在中，为边中点，是线段上的动点，，，，若，则_____（用，表示）；若，且，则的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求的值； （2）在边上取一点，使得，求的值． 16. 已知数列中，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）记，求数列的前项和． 17. 一个箱子里有个黑球和个白球（），从箱子中不放回地每次抽取一个球，直到取完，记为在整个取球过程中，取出来的黑球个数始终小于取出来的白球个数的概率． （1）求； （2）求的最大值． 18. 若定义在上的单调函数，满足对于任意的，都有． （1）求的解析式； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若，当时，试比较：与的大小． 19. （1）证明积化和差公式：和； （2）求值：； （3）是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值组成的集合，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $