精品解析：浙江温州市第二中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026学年第一学期九年级第一次阶段性练习数学试题卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 考生须知： 1．本卷评价的主要内容是《数学》九年级上册第一章＋第四章，全卷满分120分． 2．考试时间120分钟．试题卷共4页．解答题请在答题卷答题区域作答，不得超出答题区域边框线． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A． 中的最高次数为1，不是二次函数． B． 中的最高次数为2，且表达式为整式，是二次函数． C． ，不是二次函数． D． 中在分母位置，表达式不是整式，不是二次函数． 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知比例设参数，代入待求分式化简求值． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴． 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的顶点坐标为． 4. 如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理得出，结合求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 5. 设抛物线C1：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由“左加右减”的原则可知，向右平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：．故选A． 考点：二次函数图象与几何变换． 6. 将二次函数化成的形式，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用配方法将二次函数的一般式化成顶点式即可． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键． 7. 已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得． 将代入，得． ∵， ∴． 8. 在菱形中，，于点，，连结交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形性质求出、长度及长度，通过勾股定理求出，再利用构造相似三角形，根据对应边成比例求解． 【详解】解：四边形是菱形，，  ，，  ，  ，  ，  ， 在中，，  ， ，  ，  ，  ，  ， 解得． 9. 如图，在中，，，点为的重心，作于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长  交  于点 ，利用重心性质得出  为  中点及  与  的比例关系，结合  证得 ，求出  和  的长，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：延长  交  于点   点  为  的重心，   为  的中点， ，  ，，  ， 在  中，． 10. 二次函数经过，，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】将两点代入二次函数解析式，得到与的关系，再通过配方判断的符号，进而确定的符号，即可判断点所在象限． 【详解】解：将点代入，得， 化简得． 将点代入，得， 把代入上式，得， 整理得， 配方得． ， ， ， 点在第一象限． 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图像与轴交点坐标为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入二次函数解析式，即可求出交点的纵坐标，进而确定函数图像与轴交点坐标． 【详解】解：∵二次函数图像与轴交点的横坐标为， ∴将代入，计算得， ∴二次函数图像与轴交点坐标为． 12. 设计一个矩形窗户，要求宽与长之比为黄金比，当窗户长为米时，宽为________米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金比的定义列方程求解即可． 【详解】解：黄金比的值为， 设窗户的宽为米， 根据题意可得：，解得． 13. 某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率，即可列出函数解析式． 【详解】依题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率=现有量，表示增长的次数． 14. 二次函数的图像与轴有两个交点，则正整数的值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图像与轴有两个交点，对应一元二次方程的判别式大于，据此列不等式求解，再结合正整数条件即可确定的值． 【详解】解：∵ 二次函数的图像与轴有两个交点， ∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得：， ∵ 是正整数， ∴ ． 15. 二次函数的图象如图所示，若关于的方程有两个不相等的实数根，则常数的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程  的根的问题转化为二次函数  的图象与直线  的交点问题，结合图象中顶点的纵坐标进行求解． 【详解】解：关于  的方程  有两个不相等的实数根， 等价于二次函数  的图象与直线  有两个不同的交点． 由图象可知，抛物线开口向下，且顶点的纵坐标为 ． ∴ 当直线  位于抛物线顶点下方时，即  时，直线与抛物线有两个不同的交点． ∴  的取值范围是 ． 16. 如图，在矩形中，，是边上一点，连结，作于点，作于点，作，交的延长线于点，交于．当，矩形矩形时，的值为_________________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，由得.通过证明和，分别用和矩形边长比表示和.利用矩形相似性质表示，最后计算比值，即可求解． 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 矩形矩形， ， ， ， 故的值为3． 三．解答题（本题有8小题，共72分） 17. 按要求解答问题： （1）已知，求比例式中的值． （2）若线段是线段，的比例中项，，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用比例的基本性质将比例式转化为一元一次方程求解即可； （2）根据比例中项的定义列出等式，结合线段长度为正求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：∵线段是线段，的比例中项， ∴ ， ∵线段长度为正数 ∴ ． 18. 已知二次函数的图象经过，． （1）求，的值． （2）求这个图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】（1）将已知两点坐标代入二次函数解析式，得到关于的方程组，求解即可． （2）将二次函数一般式配方为顶点式，直接得到顶点坐标与对称轴． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过，， ∴将两点坐标代入解析式，得   解得． 【小问2详解】 由（1）得二次函数解析式为， 配方得， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 19. 如图，在中，，分别为，上的点，连接．若，， （1）求的长． （2）若的面积为，请求出的面积 【答案】（1）10 （2）50 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质列比例式求解即可； （2）由（1）可知相似比为，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此列比例式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴，即，解得：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴的相似比为， ∴，即， 解得：， ∴的面积为50． 20. 在网格建立平面直角坐标系，已知四点：，，，． （1）以点为位似中心，在网格中作的位似图形，使的边长放大到原来的倍． （2）同学们在探索“函数的系数，，与图像的关系”时分别经过，，，这四个点中的三个点画出二次函数的图像，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式最小？在，，，中选择个填入横线 ． 【答案】（1）如图：即为所求． （2），O、A、B 【解析】 【分析】（1）先根据题意确定的对应点，然后顺次连接即可； （2）四个点任选 3 个，一共 4 种情况，分别代入抛物线求得a的值：，然后比较a的值即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当抛物线经过点，，时， 代入得：，解得； 当抛物线经过点，， 时， 代入得：，解得； 当抛物线经过点，， 时， 代入得：，解得； 当抛物线经过点，， 时， 代入得： ，解得：， 比较四个a的值： ， 即a最小值是，对应三点：O、A、B． 21. 如图，已知二次函数的图像与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，点在二次函数图像上，且点与点关于对称轴对称，一次函数的图像经过，两点． （1）求点，的坐标． （2）根据图像，请直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求得点B、C的坐标，根据二次函数的性质求出对称轴直线为，然后利用抛物线的对称性求点D的坐标即可； （2）根据图像确定x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：当时，，解得：， ∵在的左侧， ∴， 当时，，即 ∵二次函数， ∴抛物线对称轴直线为， ∵D 与 C 关于对称轴对称， ∴． 【小问2详解】 解：∵二次函数的图像与一次函数的图像经过、两点． ∴根据图像判断，当时，． ∴当时，的取值范围为． 22. 小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． （1）求旗杆的高度． （2）在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）由、都垂直得到两直线平行，证出，算出米，代入，利用相似三角形的比例式求出旗杆高度米． （2）利用镜面反射角相等，结合直角证明，设，，代入列比例方程，解得米． 【小问1详解】 解：已知，， 因此， ∵为公共角，且 ∴． ∴ ∵ 代入已知数值，，： 则， ， ， ． 【小问2详解】 解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得； 又∵， ∴． 设米，则米， ∴ 代入已知数值，： 解方程： 即米． 23. 【问题情境】机器狗是现代人工智能机器人的代表，随着科技的进步，它的功能也越来越强大，高端科研机器狗已经实现自主跳跃．实验数据显示：机器狗从水平地面起跳，并落在水平地面，其运动路线类似于抛物线，且起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．一只微型机器狗起跳后的最高点距地面，起跳点与落地点的距离是． 【数学建模】如图，将这只微型机器狗的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，机器狗在水平地面上的起跳点为，落地点为，以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【问题解决】 （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式． （2）如图，若机器狗从点正上方的台面点处起跳，落地点为，点在轴的正半轴上，求落地点到原点的水平距离的长． （3）实验表明：机器狗在越过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为矩形， ， ．机器狗从距离左侧的点处起跳，发现不能跳过障碍物，则机器狗至少要向障碍物前进 ，才能刚好安全通过障碍物．（请直接写出答案） 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，即顶点N的纵坐标为50，从而写出顶点坐标；设出顶点式，把代入即可求得函数解析式； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出x的值，进而求出的长即可； （3）设机器狗至少要向障碍物前进，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，再确定机器狗刚好安全通过该障碍物时，抛物线过点，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为50， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵抛物线经过原点， ∴，解：， ∴． 【小问2详解】 解：∵抛物线的形状不变，点， ∴函数图像可以看作由抛物线向上平移22个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为： ， 当时，，解得：，（舍去）； ∴落地点到原点的水平距离的长． 【小问3详解】 解：设机器狗至少要向障碍物前进，新抛物线是由抛物线向右平移得到的， 设新的函数解析式为：， ∵纵切面为矩形，，，机器狗从距离左侧的点处起跳， ∴即抛物线经过点D上方点的横坐标为160， ∵障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过， ∴抛物线经过点时，机器狗恰好通过障碍物， ∴，解得：或100， ∴机器狗至少要向障碍物前进，才能刚好安全通过障碍物． 24. 已知菱形中，，，分别是，，边上一点，，连接，，，． （1）如图，当时， ①求证：． ②当，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形相似时，求的值． （2）如图，连接，，记的值为，当，时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①证明：∵菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即． ②或． （2） 【解析】 【分析】（1）①先利用菱形的性质以及证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，进而证明结论；②设菱形的边长为，即，当时，、；由等边三角形的性质可得；然后分和两种情况求解即可； （2）如图：设菱形的边长为，菱形边上的高为，过A作于G，过B作交延长线于I，过C作于J，则，；如图：连接，则；证明，利用相似三角形的性质可得；再根据可求得、 ，利用梯形的面积公式可得；进而得到；设，则，，再根据二次函数性质求最值即可确定k的取值范围． 【小问1详解】 ①证明：略； ②设菱形的边长为，即， 当时，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴当时，， ∴，即，解得：， ∴， 如图：连接，过A作于G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴当时，， ∴，即，解得：， 如图：连接，过A作于G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为或． 【小问2详解】 解：如图：设菱形的边长为，菱形边上的高为，过A作于G，过B作交延长线于I，过C作于J，则，， 如图：连接，则， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∵ ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，且在范围内，k有最大值， ∵，， ∴当时，k有最小值，最小值为， ∴k的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级第一次阶段性练习数学试题卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 考生须知： 1．本卷评价的主要内容是《数学》九年级上册第一章＋第四章，全卷满分120分． 2．考试时间120分钟．试题卷共4页．解答题请在答题卷答题区域作答，不得超出答题区域边框线． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设抛物线C1：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数化成的形式，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 8. 在菱形中，，于点，，连结交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点为的重心，作于点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数经过，，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图像与轴交点坐标为__________________． 12. 设计一个矩形窗户，要求宽与长之比为黄金比，当窗户长为米时，宽为________米． 13. 某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为____． 14. 二次函数的图像与轴有两个交点，则正整数的值为_________________． 15. 二次函数的图象如图所示，若关于的方程有两个不相等的实数根，则常数的取值范围是_________________． 16. 如图，在矩形中，，是边上一点，连结，作于点，作于点，作，交的延长线于点，交于．当，矩形矩形时，的值为_________________． 三．解答题（本题有8小题，共72分） 17. 按要求解答问题： （1）已知，求比例式中的值． （2）若线段是线段，的比例中项，，，求线段的长． 18. 已知二次函数的图象经过，． （1）求，的值． （2）求这个图象的顶点坐标和对称轴． 19. 如图，在中，，分别为，上的点，连接．若，， （1）求的长． （2）若的面积为，请求出的面积 20. 在网格建立平面直角坐标系，已知四点：，，，． （1）以点为位似中心，在网格中作的位似图形，使的边长放大到原来的倍． （2）同学们在探索“函数的系数，，与图像的关系”时分别经过，，，这四个点中的三个点画出二次函数的图像，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式最小？在，，，中选择个填入横线 ． 21. 如图，已知二次函数的图像与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，点在二次函数图像上，且点与点关于对称轴对称，一次函数的图像经过，两点． （1）求点，的坐标． （2）根据图像，请直接写出当时的取值范围． 22. 小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． （1）求旗杆的高度． （2）在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 23. 【问题情境】机器狗是现代人工智能机器人的代表，随着科技的进步，它的功能也越来越强大，高端科研机器狗已经实现自主跳跃．实验数据显示：机器狗从水平地面起跳，并落在水平地面，其运动路线类似于抛物线，且起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．一只微型机器狗起跳后的最高点距地面，起跳点与落地点的距离是． 【数学建模】如图，将这只微型机器狗的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，机器狗在水平地面上的起跳点为，落地点为，以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【问题解决】 （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式． （2）如图，若机器狗从点正上方的台面点处起跳，落地点为，点在轴的正半轴上，求落地点到原点的水平距离的长． （3）实验表明：机器狗在越过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为矩形， ， ．机器狗从距离左侧的点处起跳，发现不能跳过障碍物，则机器狗至少要向障碍物前进 ，才能刚好安全通过障碍物．（请直接写出答案） 24. 已知菱形中，，，分别是，，边上一点，，连接，，，． （1）如图，当时， ①求证：． ②当，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形相似时，求的值． （2）如图，连接，，记的值为，当，时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $