内蒙古赤峰市松山区松山外国语学校2026～2027学年高二上学期（10月）阶段性考试（一）

松山外国语2026~2027学年高二上学期阶段性考试（一） （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答题前：考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时：选出每小题给出的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效；测试范围：人教A版（2019）必修第二册第九章+第十章+选择性必修一第一章． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据5，8，9，10，12，14的下四分位数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．已知，若，则实数的值为（ ） A．-2 B． C． D．2 3．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．袋中装有质地，大小和形状完全相同的6个球，其中有2个红色球，2个黄色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出3个球，则下列判断正确的是（ ） A．“摸出的3个球颜色不都相同”是必然条件 B．“摸出的3个球颜色都不相同”是不可能事件 C．“恰好摸出1个红色球”与“恰好摸出2个红色球”是对立事件 D．“恰好摸出1个红色球”与“恰好摸出1个黄色球”是互斥事件 5．已知，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若互斥，则 6．在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，，，则的长为（ ） A． B．5 C． D． 8．已知二面角的大小为，点在平面内，点在平面内，且点到直线的距离为2，点到直线的距离为3，则线段长度的最小值为（ ） A． B． C． D．5 二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面四个结论中，正确的是（ ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量，的夹角是钝角 C．已知，，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．已知甲组数据的平均数为，方差为；乙组数据的平均数为，方差为，且，现将甲、乙两组数据合并成一组新数据，记为丙组，其平均数为，方差为，则（ ） A． B．若，则 C．若甲组数据的众数为2，则乙组数据的众数为5 D．若甲组数据的中位数为，则乙组数据的中位数为 11．如图，在棱长为2的正方体中，、、分别是、、的中点，是线段上的动点（不包含端点）则（ ） A．对于任意点，都有 B．对于任意点，不存在平面 C．过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 D．存在点，使得三棱锥体积为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，点，，则线段的中点的坐标为_____． 13．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1、2、3，绿色卡片两张，标号分别为1和2。若从五张卡片中任取两张，则两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的概率为_____． 14．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱，为侧棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面与平面夹角的正弦值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）已知． （1）求； （2）时，求实数的值． 16．（本小题15分）2025年7月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组，第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85）和第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百位数（保留两位小数）； （2）现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者．若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为32，求第四组面试者的面试征集的方差． 17．（本小题15分）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题17分）为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不响，连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1、2、3，白球的编号为4、5．游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜； 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜； 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三得徽章的概率更大，说明理由． 19．（本小题17分）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，，将沿翻折至，如图2，点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值。 2026——2027学年高二上学期阶段考试（一）数学试卷评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D B A B A A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9 10 11 AC ACD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．0.3 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．（13分）（1）， ， ． （2）， 因为，所以存在实数，使得， 解得是唯一解，故． 16．（15分）（1）可知频率分布直方图组距为10，所以（0．005+a+0．045+0．020+0．005），解得， 平均数为， 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75， 则第60百分位数为． （2）这100名面试者中第四组和第五组面试者有人， 第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为， 由题意可得，解得． 17．（15分）（1）记的中点为，连接、， 因为、分别为、的中点，所以，， 在正方体中，，， 因为为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面平面，故平面5 （2）以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则、、、． 所以． 设是平面的一个法向量，则，即， 令，可得． 设是平面的一个法向量，则，即 取，可得． 所以 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．（17分）【答案】（1）设事件：“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，，所以游戏一获胜的概率为． 游戏二中有数问地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以， 所以跨式二获胜的概率为 （2）游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； （3）设“先玩游戏二”，获得徽章”，“先玩游戏三”，获得徽章“， 则，且互斥，相互独立， 分所以 又，且互斥 所以 若要按下来先玩游戏二比先玩游戏二获得徽章的概率大，则， 所以，即． 进行游戏二时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 1 2 3 4 5 1 （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，5） 3 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） 当时，，舍去 19．（1）如图，作出符合题意的图形， 连接相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面 （2）如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则 又，所以， 则，即， 又平面． 所以平面，又平面，所以平面平面； （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为 由，得，令，则解得，， 令 因为，所以，令， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $