精品解析：广东普宁市第二中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

普宁二中2026—2027学年度第一学期高三第一次月考 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟 命题：高三数学命题小组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图，则函数的解析式可能为（ ）. A. B. C. D. 4. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A. B. ±2 C. D. 6. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A. B. C. D. 8. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，为复数的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限 D. 复数是方程的一个根 10. 已知实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 在三棱锥中，，点到棱所在直线的距离均为1，点为棱上一点，满足平面，且，则下列结论正确的是（ ） A. 点A到直线的距离的最大值为 B. 顶点所在的曲线为椭圆 C. 棱的长度可能为4 D. 三棱锥的体积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则_________. 13. 已知函数，则不等式的解集是__________． 14. 已知函数的定义域为，为的导函数，，，．若，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足． （1）证明：； （2）如图，点D在线段的延长线上，且，，当时，求线段的长． 16. 已知函数． （1）若曲线在处的切线与轴平行，求的值和切线方程； （2）若在上有2个零点，求的范围． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆：，，为原点，椭圆的左右焦点分别为，，并且经过点， （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的左右顶点分别为，，直线与椭圆有且仅有一个公共点，点不与，重合，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设的平分线与轴交于点，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数k的最大值； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁二中2026—2027学年度第一学期高三第一次月考 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟 命题：高三数学命题小组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将集合的解集求出来，然后利用集合的补集和交集概念求得结果即可. 【详解】对于集合，， 所以，所以. 对于集合，， 则，所以. 所以. 故选：B. 2. 设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由可得， 由于是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知函数的部分图象如图，则函数的解析式可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性可排除BC，由特殊点可排除D，即可求解 【详解】由于图像关于原点对称，所以为奇函数， 对于B：由， 得：，为偶函数，故可排除B； 对于C：由， 得：，为偶函数，故可排除C； 由图知图象不经过点， 而对于D：，故可排除D； 故选：A 4. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求. 【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 5. 已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A. B. ±2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】圆的圆心，半径， 由为等边三角形，得点到直线距离为， 因此，解得，所以的值为. 6. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 7. 已知实数满足，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，令，则，作出的函数图象，根据图象即可判断. 【详解】，则，令， 则， 如图，当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 8. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解. 【详解】由， 可得，，，， 所以， 所以， 所以前项和， 所以， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，为复数的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限 D. 复数是方程的一个根 【答案】ABD 【解析】 【详解】由，得 对于选项A：，与计算结果一致，正确. 对于选项B：，正确. 对于选项C：，对应复平面内的点为，位于第三象限，错误. 对于选项D：将代入方程： ， 故是方程的一个根，正确. 10. 已知实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用均值不等式，讨论正负可得出的范围；对于B：方程可化为关于的一元二次方程，利用，可得出的范围；对于C：将条件变为，利用的范围可求得；对于D：直接利用的范围可求解. 【详解】对于A：实数x，y满足，由基本不等式，则， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， 当时，，解得，当且仅当时等号成立，所以，A正确； 对于B：因为关于的方程有解，所以，解得，B错误； 对于C：可化为：，由可得：， 即，所以，C正确； 对于D：，D正确. 11. 在三棱锥中，，点到棱所在直线的距离均为1，点为棱上一点，满足平面，且，则下列结论正确的是（ ） A. 点A到直线的距离的最大值为 B. 顶点所在的曲线为椭圆 C. 棱的长度可能为4 D. 三棱锥的体积最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据向量法求出圆柱面与底面平面的截线（椭圆），利用椭圆的几何性质研究过定点的弦，结合点到直线距离、弦长范围、三角形面积，求解距离最值、轨迹类型、体积最值. 【详解】以为原点，底面为平面，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，由得，取， 直线的方向向量，其单位方向向量. 设点，. 由空间中点到直线距离公式，结合点到直线距离为 1， 代入得， 整理得.同理点也满足该方程，故在底面内的轨迹为椭圆. 对于 A，直线过原点，设直线的方程为，设点. 则点到直线的距离，当且仅当为轴时等号成立， 故点A到直线的距离的最大值为，故 A 正确； 对于 B，满足的方程为椭圆方程，B 正确； 对于 C，联立消去，整理得. 设，由根与系数的关系得. 由弦长公式得， 若，解得，对应直线为轴， 此时三点共线，无法构成三棱锥底面，故棱长度不能取 4，C 错误； 对于 D，， 当且仅当即时等号成立，故最大值为1. 三棱锥体积，故体积最大值为，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量的坐标，再利用两向量垂直时数量积为0的性质列方程求解的值. 【详解】，，可得， 因为，所以，解得. 13. 已知函数，则不等式的解集是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】画出函数的图象，可得函数单调性，把不等式转化为关于的一元二次不等式求解． 【详解】解：作出函数的图象如图， 由图可知，函数在上为增函数， 则由式，得式，即， 解得． ∴不等式的解集是． 故答案为：． 14. 已知函数的定义域为，为的导函数，，，．若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由的轴对称与导函数对称性推出同时具备轴对称、中心对称，得到周期为，再利用与的关系式，求出同样周期为，算出一个周期四项之和为，最后根据除以的余数，取前两项求和得到结果. 【详解】由，，得关于直线对称，， 由，得关于直线对称， 所以关于点对称， 即， 由，得， 由，得， 所以， 所以， 即的周期为， 因为，即，所以的周期也为， 由，得， 由，得， 由，得，所以， 由，得， 所以， 所以， 因为， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足． （1）证明：； （2）如图，点D在线段的延长线上，且，，当时，求线段的长． 【答案】（1）证明：因为， 由余弦定理的推论， 得， 整理得． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），代入，， 得到解得或（舍去）． 结合余弦定理的推论可得， 因为，互补，，则． ， 从而． 16. 已知函数． （1）若曲线在处的切线与轴平行，求的值和切线方程； （2）若在上有2个零点，求的范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意与导数得到，进而求解参数值，再得到切线方程即可. （2）将零点问题合理转化为交点问题，再结合导数求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为，所以， 则，而曲线在处的切线与轴平行，可得， 解得，此时得到，，故切线方程为. 【小问2详解】 因为在上有2个零点， 所以在上有2个解，得到在上有2个解， 即与在上有2个交点， 而，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，当时，，当时，， 可得，即的范围为. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，，平面，所以平面． （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得，，故， 设，以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立坐标系， ，，，，， 设，，， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则： ， 解得，故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 18. 已知椭圆：，，为原点，椭圆的左右焦点分别为，，并且经过点， （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的左右顶点分别为，，直线与椭圆有且仅有一个公共点，点不与，重合，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设的平分线与轴交于点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，结合代入法进行求解即可； （2）（ⅰ）设出直线的方程与椭圆的方程联立，利用一元二次方程根的判别式、直线斜率的公式进行求解即可； （ⅱ）根据角平分线的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的左右焦点分别为，， 所以， 又因为该椭圆经过点， 所以， 由可得，或舍去， ， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 所以，化简，得， 可得， ，即， ，所以为定值； （ⅱ）设，即，且， 直线的方程为， 同理得直线的方程为， 因为的平分线与轴交于点， 所以， 由，代入上式，得 ， 因为在，之间， 所以，又， 所以由， 因为， 所以，而， 所以，即的取值范围为． 19. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数k的最大值； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）（ⅰ）3； （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，恒成立， 即对恒成立，取， 则， 因此 ， 即， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，确定单调区间，进而求出极值. （2）（ⅰ）利用（1）中单调区间，按分类，借助单调性求出最小值，再构造函数，结合零点存在性定理求解；（ⅱ）由（ⅰ）的信息，结合赋值法、裂项相消法求和即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得，而， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，当时，函数在上单调递增，，因此； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，令函数，求导得， 函数在上单调递减，而， 则存在，，即， 因此当时，， 所以正整数k的最大值为3. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $