广东江门市第一中学2027届高三上学期诊断练习（一）数学试卷

2027届高三诊断练习（一） 数学 本试卷共19题，共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔书写 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持答题卡面清洁，不要折叠，不要弄破．不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，设点满足：在的延长线上，.记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ） A. 或2 B. 或4 C. D. 5. 已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 当函数的零点个数最多时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，那么阿基米德三角形满足以下特性：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形面积的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（ ） A. ，，成等比数列 B. 为钝角三角形 C. ，，成等差数列 D. 若，则 10. 已知平行六面体的所有棱长都为1，顶点在底面上的射影为，若，则（ ） A. B. 与所成角为 C. O是底面的中心 D. 与平面所成角为 11. 若图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”(点对与视为同一个“友情点对”)若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的各项均为正数，若，则_______. 13. 已知椭圆的左、右焦点为，且是抛物线的焦点，记与的一个交点为，若直线与只有一个公共点，则的离心率为__________． 14. 有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知公比为的等比数列的前项和为，且． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 某公司计划对A产品进行定价，前期针对A产品的售价以及相应的市场份额进行调研，所得数据如下表（1）所示.根据前期的销售情况，公司征求了所有员工对产品定价的看法，所得数据如表（2）所示 表（一） A产品售价x（千元） 22 31 40 A产品所占市场份额y 0.5 0.3 0.08 表（2） 认为定价应该超过3000元 认为定价不能超过3000元 40岁以上员工（含40岁） 100 50 40岁以下员工 150 150 （1）根据表（1）数据建立A产品所占市场份额y与定价x之间的回归直线方程（回归直线方程的斜率和截距均保留两位有效数字）； （2）根据表（2）中的数据，依据的独立性检验，能否认为产品定价的高低与员工的年龄具有相关性？ （3）若按照年龄进行分层抽样，从表（2）中认为定价应该超过3000元的员工中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记40岁以下员工的人数为X，求X的分布列以及数学期望. 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数及其导函数的定义域均为，的图象为一条连续不断的曲线，且与在上恒成立，设定义域为的函数． （1）求；（用含和的代数式表示）； （2）若． （ⅰ）证明：； （ⅱ）判断方程实根的个数，并说明理由． 19. 已知点到的距离与到定直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）记的左、右焦点分别为，，左顶点为，点和如下构造：在第二象限任取上一点，直线交于另一点，直线交于另一点． ①记直线的斜率为，证明：； ②设点关于直线的对称点为，探究：是否存在定圆，使得点始终在上？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由． 2027届高三诊断练习（一） 数学 本试卷共19题，共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔书写 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持答题卡面清洁，不要折叠，不要弄破．不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】##2.44 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）或． （2） 【16题答案】 【答案】（1）因为，，所以，． 在直三棱柱中，有底面侧面， 因为平面，平面平面， 所以平面． 在平面内过点作直线，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，． 所以，， 设为平面的一个法向量， 则得， 令，则，，则． 又．则，所以． 又平面，所以平面． （2）． 【17题答案】 【答案】（1）; （2）有99%的把握认为产品定价与员工年龄有关; （3）分布列见解析，数学期望为 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）由（1）得， 因为，，，， 所以，即． 若存在，使得， 因为在上恒成立，所以在上单调递增， 又，则，与矛盾， 所以． （ⅱ）方程有且仅有一个实根． 因为，所以在上单调递增， 令，， 所以在上单调递增， 因此方程至多有一个实根． 因为，且的图象为一条连续不断的曲线， 所以， 取，则，从而， 所以， 由零点存在定理可知在内至少有一个零点， 故方程有且仅有一个实根． 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：（i）设直线， 联立，消得. 设交点， 则. 点，所以. 当直线过时，，代入得； 当直线过时，，代入得； 两式相除得， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以其前项和为， 因为，所以，即得证. （ii）存在定圆，方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $