精品解析：河北唐山市开滦第二中学2026-2027学年第一学期高二年级10月调研数学试卷

2026—2027学年第一学期高二年级10月调研 数学 本试卷共4页，19小题．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将学校、班级、考号、姓名、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知直线的倾斜角为的一个方向向量为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 如图，在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 在四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，，则（ ） A. 恒过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 的倾斜角可能为0 11. 已知，，，，则（ ） A. 直线的单位方向向量是 B. 平面的一个法向量是 C. 四点共面 D. 点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则__________. 13. 经过点，且与直线平行的直线方程__________． 14. 在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）已知点，．求线段的垂直平分线的方程； （2）直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 16. 如图，在平行六面体中，，，，.记向量，，，取的中点. （1）用向量，，表示向量，并求； （2）求向量和向量所成角的余弦值. 17. 四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知O为坐标原点，过点的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点． （1）若，求直线l的一般式方程； （2）若的面积为16，求直线l的斜截式方程； （3）求面积的最小值． 19. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期高二年级10月调研 数学 本试卷共4页，19小题．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将学校、班级、考号、姓名、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求点关于平面对称的点，所求点的横坐标变为原来的相反数，纵坐标，竖坐标不变，由此即可得解. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B. 2. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 3. 设向量，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， ∵，， ∴，解得. 4. 已知直线的倾斜角为的一个方向向量为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角为得，再利用直线的方向向量求得斜率为，列方程求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以其斜率， 又因为的一个方向向量为，所以，即． 故选：D. 5. 如图，在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件所给的比例关系分解向量即可. 【详解】如图所示， . 故选：D. 6. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 7. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】，解得． 故选：A. 8. 在四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】设平面的法向量为，则， 所以，令，可得，，即，， ，故点到平面的距离为． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】推导出不共面，故能构成空间的一个基底，B错误，ACD选项向量均共面，不可构成空间的一个基底. 【详解】是空间的一个基底，故不共面， 对于A选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 则，所以为共面向量， 故不能构成空间的一个基底，故A正确； 对于B选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 所以，无解，故不共面，故可构成空间的一个基底，故B错误； 对于C选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 所以，解得，故共面， 故故不能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 所以，解得，故共面， 故故不能构成空间的一个基底，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知直线，，则（ ） A. 恒过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 的倾斜角可能为0 【答案】AC 【解析】 【分析】通过分离参数法求得直线恒过定点判断A选项，由两直线平行于垂直时直线方程中系数的关系建立方程，解得，判断BC选项，整理直线方程，得到斜率，由斜率为0建立方程，由方程的解判断D选项. 【详解】，直线恒过定点，A选项正确； 若，则，∴， 且当时，，，也成立，B选项错误； 若，则，即，则，C选项正确； 时，斜率不存在，倾斜角为，时，直线斜率为，倾斜角不是， 于是无论如何取值，倾斜角不可能是，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知，，，，则（ ） A. 直线的单位方向向量是 B. 平面的一个法向量是 C. 四点共面 D. 点到直线的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：利用直线的单位方向向量为，可判断；对于B：设平面的法向量是，利用，可得；对于C：利用向量共面定理与向量的坐标运算可判断；对于D：利用空间向量点到线的距离公式可判断. 【详解】对于A：因为，，所以直线的单位方向向量是或 （注意直线的单位方向向量有2个，是相反向量），故A错误； 对于B：设平面的法向量是，因为，， 所以则.令，可得，故B正确； 对于C：由题意得，则，所以，四点共面，故C正确; 对于D：，，， 则点到直线的距离为，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】求出向量的坐标，再利用平面法向量的意义，结合数量积的坐标表示求出. 【详解】由点，得， 由是平面的一个法向量，且点，得， 因此，所以. 故答案为：9 13. 经过点，且与直线平行的直线方程__________． 【答案】 【解析】 【详解】由两直线平行的性质，与直线平行的直线可设为（）， 将点代入所设方程，可得，解得，故所求直线方程为. 14. 在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设得到点的坐标参数，将转化为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，故可设，， 则，. ， 该式为关于的开口向上的二次函数，对称轴为，代入得最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）已知点，．求线段的垂直平分线的方程； （2）直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2）、 【解析】 【小问1详解】 线段的中点的坐标为，即点的坐标为， 而直线的斜率， 所以其垂直平分线的斜率， 因此垂直平分线的方程为，整理得。 【小问2详解】 由题意得，直线的斜率存在且不为零， 当直线在两坐标轴的截距均为时，直线过原点，设直线的方程为， 因为直线过，故直线的方程为. 当直线的截距不为时，设直线的截距为， 由截距式方程得到直线方程为， 代入点的坐标解得， 因此此时直线方程为. 16. 如图，在平行六面体中，，，，.记向量，，，取的中点. （1）用向量，，表示向量，并求； （2）求向量和向量所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算，再结合模的计算公式即可求解； （2）只需分别求出，再结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 ， 因为，，，， 所以； 【小问2详解】 ，所以， ， 所以. 17. 四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知O为坐标原点，过点的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点． （1）若，求直线l的一般式方程； （2）若的面积为16，求直线l的斜截式方程； （3）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3）12 【解析】 【分析】（1）首先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可求解； （2）设直线的点斜式方程，求出的坐标进而表示出的面积，解出即可； （3）写出的面积，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为直线l经过点，所以直线l的斜率， 则直线l的方程为，则直线l的一般式方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线l的斜率存在且为负数，则可设直线. 令，得，则点B的坐标为， 令，得，则点A的坐标为， 则的面积为． 因为的面积为16，所以，即， 即，解得或， 当时，直线方程为，整理得； 当时，直线方程为，整理得， 故所求直线的斜截式方程为或； 【小问3详解】 由（2）可知的面积为． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 故，即面积的最小值为12． 19. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2） （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【解析】 【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以， 因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为， 令，由（2）得，， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $