精品解析：黑龙江省哈尔滨市光华中学2026-2027学年九年级上学期10月考试数学试题

光华中学2026-2027年度上学期九年级数学学科阶段性评价 （满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. -8的倒数是（　　） A. -8 B. 8 C. - D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 5. 红光机械厂九月份生产零件50万个，十一月份生产零件72万个，设该机械厂九、十月份生产零件数的月平均增长率为x．则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ） A. 5米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，中，，，，则（ ） A. 9 B. 10 C. 21 D. 25 8. 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第8个图形共有（ ）个 A. 21 B. 24 C. 25 D. 27 9. 如图，在中，点，，分别在边，，上，若，则下面所列比例式中正确的是（） A. B. C. D. 10. 已知，、两地相距，上午时，亮亮从地步行到地，时芳芳从地出发骑自行车到地，亮亮和芳芳两人离地的距离（）与亮亮所用时间（）之间的函数关系如图所示，则芳芳到达地的时间为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 数字5080000用科学记数法表示为________． 12. 函数y=中，自变量x的取值范围是__________． 13. 计算：的结果是_________． 14. 因式分解：______． 15. 不等式组的解集是 _____． 16. 小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是_____； 17. 定义一种新运算：，例如．则的值为________ 18. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，，则的长为________． 19. 在中，，，，则的长为________． 20. 如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为，③，④．其中正确的有______．（填序号） 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1． （1）请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且； （2）在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边上的高，并保留作图痕迹． 23. 某中学为评估九年级学生的学习状况，抽取了部分参加考试的学生的成绩进行样本分析，并绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求该中学抽取参加考试的学生的人数； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该中学九年级共有750人参加了这次考试，请估计该中学九年级共有多少名学生的成绩达到成绩类别为优． 24. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁．） （1）已知：如图，四边形是“等对角四边形”，，，，求，的度数． （2）已知：在等对角四边形中，，，，，请直接写出对角线的长． 25. 某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，已知购进1件A种纪念品和6件B种纪念品花费200元，购进3件A种纪念品和2件B种纪念品花费120元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元； （2）若该商店准备购进两种纪念品一共100件，已知购买A种纪念品的数量不低于购买B种纪念品数量的3倍，求购买A种纪念品多少件时，该商店花费最多，最多费用是多少？ 26. 已知：矩形，点O为对角线中点，点E为矩形外部一点，连接，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，设交于点F，，，求证：； （3）在（2）的条件下，在上取点M，连接，，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B． （1）如图1，求点A的坐标； （2）如图2，点C为点B上方y轴上一点，点D为点A右侧x轴上一点，，连接、交于点E，设线段的长为d，若，求d与k之间的函数关系式： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，F为线段上一点，连接、，点M为y轴负半轴上一点，连接，若，，求M点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光华中学2026-2027年度上学期九年级数学学科阶段性评价 （满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. -8的倒数是（　　） A. -8 B. 8 C. - D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，-8×(-)=1，即可解答． 【详解】解：根据倒数的定义得：-8×(-)=1， 因此-8的倒数是-． 故选：C． 【点睛】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，解答即可． 【详解】解：A选项：，错误； B选项：，错误； C选项：，正确； D选项：，错误． 3. 下列图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4. 如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径，且， ， 由垂径定理可得，且， 在中，由勾股定理可得． 5. 红光机械厂九月份生产零件50万个，十一月份生产零件72万个，设该机械厂九、十月份生产零件数的月平均增长率为x．则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），如果设这个增长率为x，根据“九月份生产零件50万个，十一月份生产零件72万个”，即可得出方程． 【详解】解：设这个增长率为x， 根据题意可得：． 故选C． 【点睛】本题为增长率问题，一般形式为a（1＋x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 6. 如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ） A. 5米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可． 【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E， ∵BE平行于地面， ∴∠ABE＝∠α， ∵BE＝5米， ∴AB＝＝． 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形． 7. 如图，中，，，，则（ ） A. 9 B. 10 C. 21 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线得出三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】∵，  ∴，  ∴， ∵，， ∴． ∴． 8. 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第8个图形共有（ ）个 A. 21 B. 24 C. 25 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】统计前4个图形的★数量，整理数量和对应图形序号的关系，找到二者的变化规律．根据得到的规律，推导第n个图形的★数量的公式．将代入数量公式，计算对应结果． 【详解】我们先数前几个图形的★数量找规律： 第1个图形：共4个★，可写成  第2个图形：共7个★，可写成  第3个图形：共10个★，可写成  第4个图形：共13个★，可写成  由此总结规律：第个图形的★总数为 ． 当时，总数为 ． 9. 如图，在中，点，，分别在边，，上，若，则下面所列比例式中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例知识点，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理，分别对各选项进行分析判断． 【详解】A、因为，由平行线分线段成比例定理可得，而，所以该选项错误． B、由于，则四边形是平行四边形，所以． 因为，根据平行线分线段成比例定理可得，又因为，所以，该选项正确． C、因为，可得，又因为，所以，该选项错误． D、因为，则，而，所以，该选项错误． 故选：B． 10. 已知，、两地相距，上午时，亮亮从地步行到地，时芳芳从地出发骑自行车到地，亮亮和芳芳两人离地的距离（）与亮亮所用时间（）之间的函数关系如图所示，则芳芳到达地的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出亮亮的函数解析式，利用交点纵坐标求出相遇时间，再求出芳芳的函数解析式，令求出芳芳到达地的值，最后推算时刻． 【详解】解：设亮亮离地的距离（）与所用时间（）之间的函数关系为， 由图像可知，过点， 代入可得， 解得， 则， 当，解得 则两条直线的交点为， 设芳芳离地的距离（）与所用时间（）之间的函数关系为， 由图像可知，过点，， 可得， 解得， 则， 当芳芳到达地时，， ， 解得， 故芳芳到达地的时间为． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 数字5080000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 12. 函数y=中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0进行解答即可． 【详解】解：由题意得x−2≠0，即x≠2， 故答案为x≠2． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键． 13. 计算：的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先进行二次根式的化简，再合并二次根式即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确化简二次根式是解决此类问题的关键． 14. 因式分解：______． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 【点睛】题目主要考查因式分解的提公因式法和平方差公式法的综合运用，熟练掌握因式分解方法是解题关键． 15. 不等式组的解集是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别解出两个不等式，再根据求不等式组的解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定解集即可． 【详解】解：由得：， 由得：， ∴不等式组的解集为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是掌握好求不等式组的解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 16. 小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形实际应用，解题关键是正确列出比例式． 根据题意，列出比例式求解． 【详解】解：∵小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是6：13，∴， ∵烛焰的高是3cm， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 定义一种新运算：，例如．则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题目给出的新运算规则，代入对应数值，按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得，， 将，代入， 得 ． 18. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图过程可得，根据勾股定理可得，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 由作图知，， ∴， 即 ∴． 19. 在中，，，，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，首先排除不是直角三角形，然后分两种情况：当为锐角时或当为钝角时，过点作，构造直角三角形，利用三角函数定义与勾股定理求出相关线段长度，计算的长即可． 【详解】解：由题意可知，不是直角三角形； 当为锐角时，过点作，垂足为，如图所示： 在中，，即， 设，则，则由勾股定理得， ，则， 解得或（负值舍去）， ，， 在中，由勾股定理得， ； 当为钝角时，过点作，垂足为，如图所示： 在中，，即， 设，则，则由勾股定理得， ，则， 解得或（负值舍去）， ，， 在中，由勾股定理得， ； 综上所述，的长为或． 20. 如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为，③，④．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明推出，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出和长度，最后通过面积法即可求证④的结论正确；结合①中的结论和③的结论可求出的最小值，从而证明②不对. 【详解】解： 为正方形， ，， ， ， . , , ， ， . 平分， . ， . ， ， 垂直平分， 故①正确. 由①可知，，， ， ， ， 由①可知， . 故③正确. 为正方形，且边长为4， ， 在中，. 由①可知，， ， . 由图可知，和等高，设高为， ， ， ， . 故④正确. 由①可知，， ， 关于线段的对称点为，过点作，交于，交于， 最小即为，如图所示， 由④可知的高即为图中的， . 故②不正确. 综上所述，正确的是①③④. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点. 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先化简分式，再计算的值，代入化简结果求值． 【详解】解： ， ，， 则， 当时，． 22. 实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1． （1）请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且； （2）在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边上的高，并保留作图痕迹． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与网格、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据网格的特点和勾股定理即可作图； （2）根据矩形的性质和等腰三角形三线合一进行作图即可； 【小问1详解】 解：证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：证明：∵点H是矩形的对角线的交点， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 即边上的高为； 23. 某中学为评估九年级学生的学习状况，抽取了部分参加考试的学生的成绩进行样本分析，并绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求该中学抽取参加考试的学生的人数； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该中学九年级共有750人参加了这次考试，请估计该中学九年级共有多少名学生的成绩达到成绩类别为优． 【答案】（1）50人 （2）（人） （3）150人 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可知，“良”的人数为22人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）求出“中”的人数，即可补全条形统计图； （3）求出样本中“优”的所占的百分比，估计总体750人中“优”的人数即可． 【小问1详解】 解：（人）． 答：该中学抽取参加考试的学生的人数为50人． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：该中学九年级共有150名学生的成绩达到成绩类别为优． 24. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁．） （1）已知：如图，四边形是“等对角四边形”，，，，求，的度数． （2）已知：在等对角四边形中，，，，，请直接写出对角线的长． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据“等对角四边形”及四边形内角和定理求解； （2）分，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等分别求解． 【小问1详解】 解：，， ， ，， ． 【小问2详解】 解：当时，如图，延长，相交于点E， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 当时，如图，过点D作于点E，于点F， ，四边形是矩形， ， ， ， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ． 综上所述，对角线的长为或． 25. 某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，已知购进1件A种纪念品和6件B种纪念品花费200元，购进3件A种纪念品和2件B种纪念品花费120元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元； （2）若该商店准备购进两种纪念品一共100件，已知购买A种纪念品的数量不低于购买B种纪念品数量的3倍，求购买A种纪念品多少件时，该商店花费最多，最多费用是多少？ 【答案】（1）A种纪念品每件进价为20元，B种纪念品每件进价为30元． （2）购买A种纪念品75件时，该商店花费最多，最多费用是2250元． 【解析】 【分析】（1）设A种纪念品每件进价为x元，B种纪念品每件进价为y元．根据两次购进的数量与总费用，列二元一次方程组求解两种纪念品的进价； （2）根据A、B的数量约束确定A的取值范围，再列出总费用与A种纪念品数量的函数关系式，然后运用一次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：设A种纪念品每件进价为x元，B种纪念品每件进价为y元． 根据题意，得，解得： ． 答：A种纪念品每件进价为20元，B种纪念品每件进价为30元． 【小问2详解】 解：设购进A种纪念品m件，总费用为w元，则购进B种纪念品件． ∵ 购买A种纪念品的数量不低于B种纪念品数量的3倍， ∴，解得： ， 又∵ ， ∴， ∵， ∴ w随m的增大而减小， ∴ 当时，w取得最大值，最大值为．  答：购买A种纪念品75件时，该商店花费最多，最多费用是2250元． 26. 已知：矩形，点O为对角线中点，点E为矩形外部一点，连接，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，设交于点F，，，求证：； （3）在（2）的条件下，在上取点M，连接，，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接、、， ∵， ∴矩形为正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由矩形的性质可得，，，证明出，，从而可得，即可得证； （2）连接、、，先证明，再证明，从而可得，即可得出为等边三角形，求出，则，最后利用勾股定理计算即可得出结果； （3）设与交于点，由（2）可得，四边形为正方形，，，作于点，则，求出，从而可得，，设，则，证明，求出，过点作，交的延长线于点，则，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，设与交于点， 由（2）可得，四边形为正方形，，， 作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值不符合题意，舍去）， 过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B． （1）如图1，求点A的坐标； （2）如图2，点C为点B上方y轴上一点，点D为点A右侧x轴上一点，，连接、交于点E，设线段的长为d，若，求d与k之间的函数关系式： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，F为线段上一点，连接、，点M为y轴负半轴上一点，连接，若，，求M点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入求出x的值即可得到答案； （2）过点A作，过点D作轴交于点R，连接，设交于点T，证明，得到，，证明四边形是平行四边形，得到；求出，即可得到； （3）过点B作，过点C作轴交于点L，连接交于点Q，同理可证明，得到，则；证明，得到，由勾股定理建立方程求出；过点A作于点P，于点S，可证明；可求得直线的解析式为；设，根据，得到，则；取点，过点F作轴，连接，过点M作于点N，求出；证明，得到，则，设，则，求出，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，，解得， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作，过点D作轴交于点R，连接，设交于点T， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：如图3所示，过点B作，过点C作轴交于点L，连接交于点Q， 由（2）得， 同理可证明， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； 如图3所示，过点A作于点P，于点S， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴可求得直线的解析式为； 设， ∵，即 ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴； 如图3所示，取点，过点F作轴，连接，过点M作于点N， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴中，， 设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $