精品解析：安徽省六安市叶集区叶集皖西当代中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

叶集皖西当代中学高二年级10月月考 数学（A） 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案填在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第二节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量都相等 B. 空间中零向量的方向是确定的 C. 空间中相反向量的模长相等 D. 空间中共线的向量必在同一条直线上 2. 如图，在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，若直线与线段相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 6. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，是等边三角形，是等腰直角三角形且，平面平面，，则球的表面积为（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线的方程为，则下列选项正确的有（ ） A. 直线不经过第二象限 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线在轴上的截距为3 10. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 对于非零向量，，若，则 B. 对空间任意两个向量，有 C. 若，则存在唯一实数，使 D. 若三个非零向量，，两两垂直，则，，可构成空间的一个基底 11. 如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（ ）　 A. 线段的长度为 B. 异面直线和夹角的余弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若与垂直，则________. 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 14. 在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，求： （1）； （2）； （3）求与的夹角． 16. 如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值． 17. 求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求线段的垂直平分线的方程． 18. 长方体中，．点为中点． （1）求证：平面 （2）求证：平面． 19. 在四棱锥中，平面平面.在梯形中，. （1）证明：平面； （2）若为棱的中点， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）过作平面，使得，记与棱的交点分别为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叶集皖西当代中学高二年级10月月考 数学（A） 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案填在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第二节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量都相等 B. 空间中零向量的方向是确定的 C. 空间中相反向量的模长相等 D. 空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 2. 如图，在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 3. 已知，，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可设，即， 所以，解得， 所以. 4. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 即斜率，设倾斜角为，则， 因为，所以. 5. 已知点，若直线与线段相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先找出直线过定点，然后利用斜率公式求出相应直线的斜率，再结合图形分析即可. 【详解】由题意知直线过定点，如图所示： 则， 由图像得直线的斜率的取值范围是或． 故选：D． 6. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 7. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： . 8. 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，是等边三角形，是等腰直角三角形且，平面平面，，则球的表面积为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，结合题设分析球心的位置，进而求解即可. 【详解】取的中点，连接， 因为是等腰直角三角形且，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为是等边三角形，所以，则， 设的中心为，过点作平面的垂线， 可得球心在此垂线上，则， 易得，即， 则, 所以球的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线的方程为，则下列选项正确的有（ ） A. 直线不经过第二象限 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线在轴上的截距为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】先把直线方程化为斜截式，分别求出直线在轴上的截距，判断选项C、D，进而得出直线经过的象限，判断选项A，利用方向向量和斜率的关系判断选项B． 【详解】 直线的方程为，化为斜截式得：， 当时，，即直线在轴上的截距为，故C正确； 当时，，即直线在轴上的截距为3，故D正确； 直线经过第一、三、四象限，故A正确； 直线的方向向量与直线斜率一致，直线斜率为， 直线的一个方向向量为，对应斜率为， 不是直线的方向向量，故B错误． 故选：ACD． 10. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 对于非零向量，，若，则 B. 对空间任意两个向量，有 C. 若，则存在唯一实数，使 D. 若三个非零向量，，两两垂直，则，，可构成空间的一个基底 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：空间向量数量积定义：， 都是非零向量，，夹角为， 即，A正确； B：， 因为，所以，B正确； C：当时，满足，但不存在实数使得， 命题缺少条件，C错误； D：三个非零向量两两垂直，任意一个向量都不能用另外两个向量线性表示， 因此不共面， 空间基底的定义：一组不共面的三个非零向量可以作为空间的一个基底，D正确. 11. 如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（ ）　 A. 线段的长度为 B. 异面直线和夹角的余弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断ABC，结合等体积法即可判断D选项． 【详解】A选项，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示： 根据题意得，，，，，， 则，所以线段的长度为，选项A错误； B选项，又，所以异面直线和夹角余弦值为： ，选项B正确； C选项，设直线上存在点满足，且， 则，所以， 则，又，所以， 解得，则， 所以点到直线的距离为：，选项C正确； D选项，因为，选项D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若与垂直，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为与垂直，则，解得. 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 14. 在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积计算公式即可求解． 【详解】如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 则当时取得最小值，此时最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，求： （1）； （2）； （3）求与的夹角． 【答案】（1） （2）, （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的数乘、加法坐标运算求解； （2）利用空间向量的模长的坐标表示，即得解； （3）利用，结合（2）中的结果，即得解. 【小问1详解】 因为向量，， 所以. 【小问2详解】 由题意，向量，， 【小问3详解】 因为， 所以， 由，可得. 16. 如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）运用向量加法的线性运算及中点向量公式，通过两次中点（D为BC中点，E为AD中点）逐步将所求向量用已知基底表示； （2）利用向量模长与夹角余弦值求各基底向量间的数量积，再代入第一问结果进行向量数量积的分配律展开并求值. 【小问1详解】 由题可得向量； 【小问2详解】 由题，， 由（1）得， 所以． 17. 求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以直线方程为：． 【小问2详解】 由题意知，，则线段的中点， 直线的斜率， 因为直线与直线垂直，则有，所以， 再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为：， 化为一般式为：． 18. 长方体中，．点为中点． （1）求证：平面 （2）求证：平面． 【答案】（1）证明：因为是长方体， 所以平面，而平面， 所以， 又因为，所以侧面是正方形， 因此， 因为平面， 所以平面﹔ （2）证明：建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则有， 解得， 因为， 而平面，所以有平面. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及判断定理即可证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意写出相应点的坐标，求出及平面的法向量的坐标，由，即可证明平面. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 19. 在四棱锥中，平面平面.在梯形中，. （1）证明：平面； （2）若为棱的中点， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）过作平面，使得，记与棱的交点分别为，求. 【答案】（1） 证明：， ，即. 又平面平面，平面平面平面， 平面； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明线线垂直，再结合面面垂直证明线面垂直即可； （2）（i）方法一：利用空间向量法，来求线面角正弦值即可；方法二：利用等体积法求点到面的距离，再求线面角的正弦值即可； （ii）方法一：利用空间向量法，结合线面平行来求线段长；方法二：利用向量的线性运算，结合余弦定理来求线段长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一（i）取中点，则，， 四边形为正方形，， 由（1）知平面， 两两垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 其中. ， 设平面的法向量为， 由得， 令得平面的一个法向量为， ， 与平面所成角的正弦值为. （ii）平面，平面平面，， 为的中点，， 设，则， 则， 设平面的法向量为， 由得 令，则平面的一个法向量为， 由，可得， 解得， . 方法二（i）取的中点，连接，则， 平面平面， 平面， 点到平面的距离相等，记为. 由得， 即，故. 在Rt中，， ， 与平面所成角的正弦值为. （ii）取中点为，则， 平面平面， 平面， 又，故平面即为平面. 已知，设， ， 分别是的中点， ， 四点共面， ，即，故. 在中，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $