3.4 相似三角形的性质能力诊断2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.4 相似三角形的性质 能力诊断2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，与交于，且，，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D，E分别是边，上的点，且，的面积为，的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若，，则对应边上的中线之比是（     ） A． B． C． D． 4．，，分别是和的角平分线，且，下面给出的四个结论中，正确的结论有（    ） ①，②， ③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知点D、M是边上的三等分点，且，设、四边形、四边形的面积分别为，则为（   ） A． B． C． D． 6．如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子的长是3米，则路灯的高为（   ） A．5米 B．米 C．8米 D．10米 7．图是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图所示，此时液面宽度为（    ）．    A． B． C． D． 8．两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他们的做法是：在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小宇在学习了小孔成像的原理后，利用如图所示装置来观察小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔（），光屏在距小孔处，小宇测得蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为（    ）    A． B． C． D． 9．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止，点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长度为，y与t的函数图象如图2所示，当恰好平分时t的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图1，三个大小不同的相似三角形可以拼成（无重合无空隙）一个矩形．将三角形①和②如图2重新组合，可得到和四边形，已知两个图形的面积满足，则拼成的图1矩形的长与宽之比为（   ） A． B． C．2 D． 二、填空题 11．已知，顶点、、分别与、、对应，若，，则________度． 12．如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 13．如图，将矩形纸片（）沿过点B的直线折叠，使点A落在边的点E处，折痕为，再沿过点E的直线折叠，使点C落在线段上的点G处．作射线交矩形的边于点P，若，，则线段的长为________． 14．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是_________． 15．如图，已知中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是________． 三、解答题 16．如图，已知，点为一点，在上找一点，使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 17．如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 19．问题情境：在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩形纸片中，点分别是的中点，点分别在上，且． 动手操作：将沿折叠，点A的对应点为点P．将沿折叠，点C的对应点为点Q．点均落在矩形的内部，连接． 问题解决： (1)判断四边形的形状，并证明； (2)当，四边形为菱形时，求的长． 20．如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B D C C B D C 1．【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与的周长之比等于． 2．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【详解】解：∵，， ∴对应边上的中线之比为． 4．【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，分别是和的角平分线，且， ∴，，故①②正确； ④错误； ，故③错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 5．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、以及相似三角形面积比等于相似比的平方，掌握相似三角形的判定方法以及面积比等于相似比的平方是解题的关键．本题先根据三条直线平行得到 ，得到对应相似比为，然后得到 ，进而可得出，，最后相比即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， 又∵，为的三等分点， ∴， ∴ 设，则 ，， ∴， ∴． 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解决问题的关键．根据，得出∽，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由题意知，米，米，米，， 则米， ， ∽ ，即， 解得， 即路灯的高为8米； 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过作于点，则点三点共线，则有，，，，通过线段和差得到，，由，证明，最后由相似三角形的性质得出即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】如图，过作于点，则点三点共线，    由题意得：，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即此时液面宽度为， 故选：． 8．【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用、利用相似三角形的性质求解 【分析】画出图像，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列比例式即可求出光屏上火焰所成像的高度． 【详解】解：如图，设蜡烛的高度为线段，蜡烛的像为，于C，于，则，．    由题知， ， ， ， ， 解得， 即光屏上火焰所成像的高度为． 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题．熟练掌握这一性质是解题的关键． 9．【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据图像可知，到是4秒，到是4秒，得到，进而算出每个角的度数，可知，根据相似三角形的性质，可算出每段长，最后可得答案． 本题考查了动点问题，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，证明相似三角形是解题关键． 【详解】解：如图，作的平分线， 由图2可知，， ， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 10．【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据等角对等边证明边相等、利用相似三角形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】根据相似三角形的性质和等腰三角形的判定可证，再根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，设，则，根据勾股定理可得，再由相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图： ， ， ， 由题意知：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 拼成的图1矩形的长与宽之比为， 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是能够理解题意，知道矩形是如何拼成的，并熟练掌握相似三角形的性质． 11．【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用三角形内角和求出的度数，再利用相似三角形的性质可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴ ∵，顶点、、分别与、、对应， ∴， 故答案为： 12．【答案】2或 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间． 【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为， 则，，， ∵， 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 故答案为：或． 13．【答案】或6 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质与判定证明 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，折叠的性质，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，合理运用分类谈论思想进行解答． 根据是矩形和折叠性质证出四边形为正方形，四边形为矩形，从而得出．设，则，．分两种情况讨论：①点P落在边上，如图1所示，则，证明，根据相似三角形的性质即可解答；②点P落在边上，如图2所示，则，，证明，根据相似三角形的性质即可解答； 【详解】解：根据是矩形可得， 根据折叠可得：， ∴四边形为正方形，， ∴四边形为矩形． ． 设，则，． 分两种情况讨论． ①点P落在边上，如图1所示， 则． ， ． ， 即， 解得：（负值已舍去）． 则． ②点P落在边上，如图2所示， 则，． ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）． 则． 综上所述，线段的长为或6． 14．【答案】20 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，可证明得到，则；再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴（点F为点O右边的那个点，下面的点F一样）， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：20． 15．【答案】 【知识点】作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． 由作图方法得平分，垂直平分，先证明，得到，再由线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理可得的长，证明，可得，求出，进而可以解决问题． 【详解】解：连接，设交于O，如图所示， 由作图方法得平分，垂直平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、尺规作一个角等于已知角 【分析】根据作一个角等于已知角的方法，构造∠ADE=∠C即可． 【详解】作．即点就是所求作的点． 【点睛】本题考查作图相似变换，解题关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 17．【答案】(1) 证明：由四边形为平行四边形可知，， ， ， 又， ． (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质对应边成比例求出的长，根据四边形的对边相等可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， ∵， ， ∴， 在平行四边形中，． 18．【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【知识点】相似三角形实际应用、三线合一、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 19．【答案】(1)证明：四边形为平行四边形，理由如下： 如图所示，连接， ， ∵四边形是矩形，点分别是的中点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴； 在和中，， ∴， ∴， ∵沿折叠，点A的对应点为点P．将沿折叠，点C的对应点为点Q， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． (2) 【知识点】矩形与折叠问题、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是平行四边形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）根据矩形的性质与对称的性质可证得，从而证得结果； （2）过点作，证得四边形为矩形，根据“一线三等角”证得，利用相似求得最终答案． 【详解】（1）证明：见答案 （2）解：如图所示，过点作，交于点，交于点， ， 由题意知，四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵四边形是菱形，， ∴点为的中点， ∴， 由（1）可知，，，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴． 20．【答案】(1)，， (2)2 【知识点】正方形性质理解、相似三角形——动点问题、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）证明，根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可；证明四边形是矩形，得出，根据列出关于x的方程，求解即可； （2）设，由（1）同理可求，，根据正方形与公共部分的面积为6，得出四边形的面积为6，则可列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴； ∵正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 由（1）同理可求，， ∵在外部， ∴， ∵正方形与公共部分的面积为6， ∴四边形的面积为6， ∴， 解得， 即的值为2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $