15.3.1等腰三角形(第一课时 等腰三角形的性质)（导学案）数学新教材人教版八年级上册

15.3.1等腰三角形(第一课时 等腰三角形的性质)（导学案） 【学习目标】 1. 理解等腰三角形的有关概念（腰、底边、顶角、底角），能结合图形正确识别与标注； 2. 通过折纸探究发现并运用全等三角形证明等腰三角形的性质：性质1（等边对等角）、性质2（三线合一），掌握其几何语言的三种书写形式； 3. 能运用等腰三角形的性质进行简单的角度计算与推理证明，会正确添加辅助线解决问题。 【学习重点】 等腰三角形性质1（等边对等角）与性质2（三线合一）的探索与证明，以及运用这两条性质进行简单的角度计算与推理证明。 【学习难点】 1. 通过添加辅助线，把等腰三角形问题转化为全等三角形问题； 2. 准确理解“三线合一”的适用条件——顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，避免随意套用； 3. 已知一个内角求其余角时的分类讨论，以及对所求结果进行合理性检验。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 把 等腰三角形性质1： 等腰三角形两底角相等（简写“等边对等角”） 几何语言： ∵在中， ∴ 等腰三角形性质2： 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.(简写“三线合一”) 几何语言： ∵在中，， ∴ 或∵在中，， ∴ 或∵在中，， ∴ 【课堂探究】 情景导入 观看视频 新知探究 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 问1:是什么三角形？ 等腰三角形 问2:是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 等腰三角形是轴对称图形,折痕所在的直线是它的对称轴. 问3:把 你能证明这些结论吗？ 探究一：等腰三角形两底角相等 已知：中， 求证： 法一、证明：作底边的中线． ∵为边上的中线 ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴． 法二、证明：作顶角的角平分线． ∵平分 ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴． 法三、证明：作底边上的垂线． ∵⊥ ∴ 在和 ∵， ∴ ≌()． ∴． 等腰三角形性质1： 等腰三角形两底角相等（简写“等边对等角”） 几何语言： ∵在中， ∴ 探究二：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 已知：中，， 为边上的中线 求证：高线，是的平分线 证明：∵为边上的中线 ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴, ∴高线，是的平分线 已知：中，，是的平分线 求证：， 高线 证明：∵平分 ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴, ． ∴， 高线 已知：中，， 高线 求证：， 证明：∵⊥ ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴, ． ∴， 等腰三角形性质2： 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.(简写“三线合一”) 几何语言： ∵在中，， ∴ 或∵在中，， ∴ 或∵在中，， ∴ 典例分析 例1(1)若等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于 ; (2)等腰三角形一个底角为,它的另外两个角为__和____； (3)等腰三角形一个角为,它的另外两个角为___和或和__________； (4)等腰三角形一个角为,它的另外两个角为 __和_____ 方法总结 等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 例2.如图，在中，，点在上，.求各角的度数. 解∵，， ∴，(等边对等角). 设，则， ∴. ∵°. ∴.解得 ∴在中，， 方法总结 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 例3.如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，的平分线，交于点，垂足为． (1)若，求的度数． (2)求证：． 解(1)：，是边上的中线， ， ， ， ， （2）证明：，是边上的中线， ， 平分， ． 方法总结 等腰三角形“三线合一”的性质是证明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法. 变式训练 1.如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE． (1)若，求和的度数． (2)探究与的和是否为定值，如果是请求出这个定值，如果不是说明理由． 解(1)：，， ． ∵在中，，， ， ， ． ． 解(2)， 理由如下： ， ． 同理：， ∴， ∵． ． 2.已知点、在的边上，. (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若，为的中点，求证：. 证明：(1)如图①，过作于. ∵，， ∴，， ∴， ∴； (2)∵，为的中点， ∴， ∴. 又∵， ∴. 方法总结： 在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 3.已知一个等腰三角形的两个内角分别为和，求这个等腰三角形各内角的度数． 解：当角和角是两个底角时， 可得：，解得， 则有， 则三角形的顶角为，三个内角分别是，，； 当角是顶角时，可得：，解得：， 则有，，三个内角分别是°； 当角是顶角时，可得：，解得， 则有，，三个内角分别是，，． 综上，这个等腰三角形三个内角的度数分别为，，或或，，． 【课堂总结】 【课堂练习】 1.在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是( B ) A.B. C. D.平分 2.如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为______9______ 3.如图，中，，点 ， 分别是的边，上的点，且，求的度数 解：设． ∵，∴， ∴． ∵，∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 4.如图，在中，，为的中点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 证明(1)：∵，点D是边上的中点， ∴平分， ∵于点，于点． ∴． 解(2)：∵，点D是边上的中点，， ∴，， ∴，即，解得：． 5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的顶角的度数 解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵，， ∴，∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴三角形的顶角为． 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为或． 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.1等腰三角形(第一课时 等腰三角形的性质)（导学案） 【学习目标】 1. 理解等腰三角形的有关概念（腰、底边、顶角、底角），能结合图形正确识别与标注； 2. 通过折纸探究发现并运用全等三角形证明等腰三角形的性质：性质1（等边对等角）、性质2（三线合一），掌握其几何语言的三种书写形式； 3. 能运用等腰三角形的性质进行简单的角度计算与推理证明，会正确添加辅助线解决问题。 【学习重点】 等腰三角形性质1（等边对等角）与性质2（三线合一）的探索与证明，以及运用这两条性质进行简单的角度计算与推理证明。 【学习难点】 1. 通过添加辅助线，把等腰三角形问题转化为全等三角形问题； 2. 准确理解“三线合一”的适用条件——顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，避免随意套用； 3. 已知一个内角求其余角时的分类讨论，以及对所求结果进行合理性检验。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 把 等腰三角形性质1： 等腰三角形两底角相等（简写“等边对等角”） 几何语言： _____________________________ _____________________________ 等腰三角形性质2： 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.(简写“三线合一”) 几何语言： _____________________________ _____________________________ 【课堂探究】 情景导入 观看视频 新知探究 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 问1:是什么三角形？ 问2:是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 问3:把 你能证明这些结论吗？ 探究一：等腰三角形两底角相等 已知：中， 求证： 等腰三角形性质1： 等腰三角形两底角相等（简写“等边对等角”） 几何语言： _____________________________ _____________________________ 探究二：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 已知：中，， 为边上的中线 求证：高线，是的平分线 已知：中，，是的平分线 求证：， 高线 已知：中，， 高线 求证：， 等腰三角形性质2： 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.(简写“三线合一”) 几何语言： _____________________________ _____________________________ 典例分析 例1(1)若等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于 ; (2)等腰三角形一个底角为,它的另外两个角为______________； (3)等腰三角形一个角为,它的另外两个角为_________________； (4)等腰三角形一个角为,它的另外两个角为 例2.如图，在中，，点在上，.求各角的度数. 例3.如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，的平分线，交于点，垂足为． (1)若，求的度数． (2)求证：． 变式训练 1.如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE． (1)若，求和的度数． (2)探究与的和是否为定值，如果是请求出这个定值，如果不是说明理由． 2.已知点、在的边上，. (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若，为的中点，求证：. 3.已知一个等腰三角形的两个内角分别为和，求这个等腰三角形各内角的度数． 【课堂总结】 【课堂练习】 1.在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是( ) A.B. C. D.平分 2.如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为____________ 3.如图，中，，点 ， 分别是的边，上的点，且，求的度数 4.如图，在中，，为的中点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的顶角的度数 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $