精品解析：陕西宝鸡市第一中学2026-2027学年度上学期八年级数学第一次学情自测试题

2026—2027学年度第一学期八年级数学单元检测卷 一．选择题：每小题3分，共24分，每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 在，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点和关于y轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B. 一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C. 负数没有立方根 D. 如果一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数一定是或 6. 如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为 A. 5 B. 4 C. 4. 25 D. 8. 如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 10. 已知，则的算术平方根为_________． 11. 若点的坐标是，，且轴，则点的坐标为_________． 12. 如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为___________． 13. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 14. 如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是________米． 三．解答题：本题共11小题，共78分． 15. 计算： （1） （2）． 16. 先化简，再求值，其中 ． 17. 在数轴上作出表示的点．（保留作图痕迹） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的 （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 19. 在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为， 的小数部分为． （1）的整数部分为___________，小数部分为___________． （2）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 20. 党的二十大以来，各地更加积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山，某小区物业在小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，，，，，． （1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； （2）若该空地的改造费用为每平方米100元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 21. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 22. 【阅读理解】爱思考的小欢同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，， ，即， ， ． 请你根据小欢的分析过程，解决如下问题： （1）计算：__________； （2）计算：； （3）若，求的值． 23. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风移动的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，求t的取值？ 25. 【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围：_____； （2）如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； （3）如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期八年级数学单元检测卷 一．选择题：每小题3分，共24分，每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】先排除非正整数的选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：A中，，均为分数，B中，，均为小数，均非正整数，不符合； ∵，， ∴，C符合； ∵，， ∴，D不符合． 2. 在，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，是分数，∴均为有理数； ∵是有限小数，∴为有理数； ∵，是整数，∴均为有理数； ∵（相邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，∴为无理数， ∴无理数有共个． 3. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、根据平方差公式，，原计算错误； D、对分母有理化得，原计算正确． 4. 已知点和关于y轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】∵点和关于y轴对称， ∴， 解得， ∴， 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B. 一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C. 负数没有立方根 D. 如果一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数一定是或 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊数的性质及负数的平方根、立方根相关结论，即可排除错误选项． 【详解】解：负数没有平方根，的平方根是，故A选项错误； 的立方根是，既不是正数也不是负数，故B选项错误； 负数有立方根，例如的立方根是，故C选项错误； 只有非负数才有算术平方根，故满足条件的数必为非负数，又的立方根与算术平方根均为，的立方根与算术平方根均为，其余非负数均不满足，故D选项正确． 6. 如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程公式求得，长，判定，利用勾股定理求解． 【详解】解：由题意得，（海里），（海里），  渔船沿北偏东方向，渔船沿南偏东方向，  ， 由勾股定理得，（海里）． 7. 如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为 A. 5 B. 4 C. 4. 25 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得AE=A1E， ∵△ABC为等腰直角三角形，BC=6， ∴AB=6， ∵A1为BC的中点， ∴A1B=3， 设AE=A1E=x，则BE=6-x， 在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=， 故选D． 【点睛】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用． 8. 如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故选：A． 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键． 10. 已知，则的算术平方根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的非负性，被开方数为非负数，先求出的值，再代入求出，最后计算的算术平方根即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性可知且， ∴且， ∴， 将代入，得， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 11. 若点的坐标是，，且轴，则点的坐标为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握坐标与图形变化是解题关键．先根据轴可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，再根据求出点的横坐标即可． 【详解】解：∵点的坐标是，，且轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为；点的横坐标为或， 则点的坐标为或， 故答案为：或． 12. 如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中的运算程序，将x=代入列出关系式中计算，即可得到输出的结果． 【详解】解：根据题意列得：（）×（）+=3+2， 则输出的数值为． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式加减乘混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键． 13. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 【答案】9． 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB＝＝＝15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD＝＝6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 14. 如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，画出展开图得到最短路径是解题的关键；展开图的对角线长即为所求，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将木块展开如图所示， 则米，米， 米， 一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是米， 故答案为： 三．解答题：本题共11小题，共78分． 15. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 16. 先化简，再求值，其中 ． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ， 将代入，原式． 17. 在数轴上作出表示的点．（保留作图痕迹） 【答案】如图，即为所求： 【解析】 【分析】由，可构造一个直角边分别为、的直角三角形，其斜边为，再以原点为圆心，以斜边长度为半径画圆，交数轴负半轴于一点，该点即为． 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的 （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称规律：关于轴对称，横坐标变号，纵坐标不变，即可画出； （2）根据对称规律，直接写出坐标即可； （3）利用“割补法”，将放入一个矩形中，减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中的图形可得，． 【小问3详解】 解：的面积为：． 19. 在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为， 的小数部分为． （1）的整数部分为___________，小数部分为___________． （2）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，平方根、算术平方根以及立方根的概念和算法，属于理解题型，对于初学者来说，无理数的估算比较抽象，重点是要掌握表示整数部分和小数部分的方法，易错点为忽略一个正数有两个平方根，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）先判断的区间，进一步估算出在哪两个相邻的整数之间，这样可得的整数部分为4，最后用表示小数部分． （2）先根据题意列出关于，的方程，进一步求出，的值，再根据区间算法得出的值，最后代入式子求其平方根． 【小问1详解】 ， 即， 的整数部分为4， 的小数部分为． 【小问2详解】 由题意得， ， ，． 的整数部分是3， ， ， 的平方根是． 20. 党的二十大以来，各地更加积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山，某小区物业在小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，，，，，． （1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； （2）若该空地的改造费用为每平方米100元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 【答案】（1）小路的长度为 （2）改造这片空地共需花费11400元 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的实际应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形，分割法求出四边形的面积，再乘以每平方米的改造费用即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 答：小路的长度为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ∴（元）. 答：改造这片空地共需花费11400元． 21. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 22. 【阅读理解】爱思考的小欢同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，， ，即， ， ． 请你根据小欢的分析过程，解决如下问题： （1）计算：__________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）44 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）仿照题的方法化简即可； （2）把每项按照题中方法化简，再相加减，即可； （3）仿照题中方法求代数式值的方法求解，即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴, ∴ 23. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风移动的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； （2）台风影响该海港持续的时间有小时 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先证明是直角三角形，利用等面积法求出，即可得出结果； （2）当时，海港正好受台风影响，由等腰三角形的性质并结合勾股定理求出，从而即可得出结果． 【小问1详解】 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； 【小问2详解】 解：如图，当时，海港正好受台风影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵台风移动的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有小时． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，求t的取值？ 【答案】当t分别为s、10s、16s时，△ABP为等腰三角形 【解析】 【分析】根据△ABP为等腰三角形进行分类讨论，分别求出BP的长，即可求出t． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 由勾股定理得：BC=＝8（cm）， 由题意可知共三种情况，如下： ①PB=PA时，设BP=t，则PC=8-t， ∴6²+（8-t）²=t² 解得t=， ②当BA=PB时，AB=10， 所以t=10÷1=10， ③当AB=AP时，即BP=16， 所以t=16÷1=16， 综上所述，当t分别为s、 10s、 16s时，△ABP为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的分类讨论思想，能够正确地分类是解决本题的关键． 25. 【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围：_____； （2）如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； （3）如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ； （3）， 如图，延长到使，连接， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． （1）延长至点，使，连接， 根据可得，则可得，，再证，则可得，进而可得 ； （3）延长到使，连接，．根据可得，则可得，，进而可得，则可得．再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得． 【小问1详解】 解：延长到点，使，连接，如图所示： ， 在中，，，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边之间关系得：， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $