精品解析：上海市南汇第四中学2026-2027学年上学期七年级10月数学学情自测卷

七年级数学单元作业 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. a不是单项式 B. 单项式的系数是 C. 是单项式 D. 5是零次单项式 2. 下列各组单项式中，是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 多项式的项数和次数分别是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列整式中，与相乘的结果是的整式是（ ） A. B. C. D. 6. 如果 A、B 都是关于 x 的次数不同的单项式（ A，B 都不是常数项），且  是一个八次单项式，则下列说法中正确的是（    ） ①可能是一个单项式；②可能是七次二项式；③的项数与 的项数一定相同； ④的次数与 的次数不一定相同． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题 7. 整式与的和是______． 8. 将按升幂排列为______． 9. 已知是关于的二次三项式，那么_____． 10. 计算：______． 11. 计算：______．（结果用幂的形式表示） 12. 计算：______． 13. 计算：______． 14. 已知：，则______． 15. 已知关于x的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为1，则______． 16. 已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么k的值是______． 17. 已知，，则的值为______． 18. 如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为18，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2、图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为______． 三、简答题 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 计算：． 22. 计算：． 23. 用乘法公式计算：． 四、解答题 24. 已知整式A，B，C满足，其中，．求整式B． 25. 先化简，再求值：，其中，． 26. 如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题： （1）写出 ，，之间的等量关系：________． （2）已知 ，，求的值； （3）如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 27. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是______； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则 ． ②已知，求的值． 【知识迁移】 （3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学单元作业 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. a不是单项式 B. 单项式的系数是 C. 是单项式 D. 5是零次单项式 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是单项式，故该选项错误，不符合题意； B、单项式的系数是，故该选项错误，不符合题意； C、∵， ∴不是单项式，故该选项错误，不符合题意； D、5是单项式，且常数项的次数为0，故该选项正确，符合题意． 2. 下列各组单项式中，是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是常数，含字母，不是同类项，不符合题意； B、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，符合题意； C、与中相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意； D、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意． 3. 多项式的项数和次数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先合并同类项，再统计项数，取最高次项的次数作为多项式的次数． 【详解】解：∵， ∴项数为，各项次数为：的次数为，的次数为，的次数为，的次数为， ∴最高次数为． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，A错误． B、，B错误． C、，C错误． D、，D正确． 5. 下列整式中，与相乘的结果是的整式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得， ． 6. 如果 A、B 都是关于 x 的次数不同的单项式（ A，B 都不是常数项），且  是一个八次单项式，则下列说法中正确的是（    ） ①可能是一个单项式；②可能是七次二项式；③的项数与 的项数一定相同； ④的次数与 的次数不一定相同． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数．熟练掌握单项式的次数是解题的关键． 由于和是关于的次数不同的单项式，且是八次单项式，设的次数为，的次数为，则且．和均因次数不同而无法合并，故均为二项式。通过具体例子验证各说法正误． 【详解】解：∵和是次数不同的单项式，且是八次单项式， ∴ 设的次数为，的次数为，则且． 对于说法①：可能是一个单项式。但由于，和不是同类项，无法合并，故总是二项式，不可能为单项式．①错误． 对于说法②：可能是七次二项式．若，，则的次数为7，且为二项式，例如，，则（八次），（七次二项式）．②正确． 对于说法③：的项数与的项数一定相同。由于，和均为二项式，项数均为2．③正确。 对于说法④：的次数与的次数不一定相同． ∵和的次数均为，且， ∴ 次数一定相同。④错误． 综上，②和③正确， 故选C． 二、填空题 7. 整式与的和是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得， ． 8. 将按升幂排列为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式按某一字母升幂排列，按字母 的升幂排列多项式，即根据各项中 的指数从小到大进行排列即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由多项式中，各项的指数分别为：常数项的指数为，项的指数为，项的指数为，项的指数为， ∴按的升幂排列为， 故答案为：． 9. 已知是关于的二次三项式，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次三项式的定义，多项式最高次数为，且共有项，据此确定和的值再计算． 【详解】解：∵是关于的二次三项式， ∴多项式中不能存在三次项，且最高次项的次数为， ∴，， 解得， 将，代入得：． 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多项式乘单项式，根据整式乘法的运算法则，使用分配律将单项式分别与多项式中的每一项相乘，再合并即可． 【详解】解： ． 故答案为： 11. 计算：______．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握其运算法则是关键，把原式化为，再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用乘法交换律调整计算顺序，先通过平方差公式简化运算，再展开完全平方得到结果． 【详解】解： ． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】将和改写为与相关的式子，利用平方差公式简化计算． 【详解】解： ． 14. 已知：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，幂的运算，涉及负整数指数幂、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算等知识点． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零则每项均为零，由此求出a和b的值，再代入，根据幂的相关运算法则计算． 【详解】解：由， 因为， 所以，， 解得， 则 ． 故答案为：． 15. 已知关于x的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为1，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法，二元一次方程组的解法，根据多项式乘法的展开式，结合条件“积中不出现一次项”和“二次项系数为1”列出方程组，求解a和b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：： ． 由积中不出现一次项，得一次项系数； 由二次项系数为1，得二次项系数． 解方程组： ， 解得：， ∴． 故答案为： 16. 已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么k的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构特征，对比对应项系数即可求解的值． 【详解】解：由题意得，是关于的完全平方式， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 17. 已知，，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，利用完全平方公式求出和的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵，． ∴， ∴， ∴． 将两式相减，得：， ∴， ∴． ∴． 故答案为： 18. 如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为18，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2、图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为______． 【答案】38 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ， 故答案为：． 三、简答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】找出原式中的同类项，分别合并同类项即可得到结果． 【详解】解：． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，先计算乘法，再计算整式加减法． 【详解】解： ． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，先根据多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： 23. 用乘法公式计算：． 【答案】 【解析】 【分析】将原式整理为平方差公式的标准形式，再结合完全平方公式展开计算即可． 【详解】解：原式． 四、解答题 24. 已知整式A，B，C满足，其中，．求整式B． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，根据代入整式计算即可求出整式B． 【详解】解： 即 25. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，代数式求值，先计算多项式乘多项式，再合并同类项，最后再代入数值计算即可． 【详解】解： 当，时， 则原式 26. 如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题： （1）写出 ，，之间的等量关系：________． （2）已知 ，，求的值； （3）如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3）20 【解析】 【分析】（1）根据面积相等得到等量关系； （2）将，代入第一问中的等量关系，求出的值； （3）根据正方形的性质得到、和，根据三角形面积公式得到，化简后再结合条件求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：观察图形可知，大正方形的边长为， ∴面积为， 这个大正方形由四部分构成，分别是： 两个边长分别为、的长方形，一个边长为的小正方形和一个边长为的小正方形， ∴这四部分的面积和为：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 27. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是______； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则 ． ②已知，求的值． 【知识迁移】 （3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 【答案】（1）；（2）①24；②；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积列式；方法2：用小正方形的边长列式，根据方法1和方法2表示的图形面积相等，即可得到等量关系； （2）①根据（1）所得等式求出，再根据多项式乘法法则将所求代数式展开，整体代入计算求值即可；②利用完全平方公式求解即可 （3）根据图形列式得到阴影部分面积和为，再根据（1）所得等式计算即可． 【详解】解：（1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积列式可得：， 方法2：用小正方形的边长列式可得：； 故答案为：；； ∵方法1和方法2表示的图形面积相等， ∴； 故答案为：； （2）①∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：24； ②∵，， ∴ ， ∴； （3）阴影部分面积和为： ， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积和等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $