精品解析：安徽宣城市部分校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题2卷

高二10月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的斜率为2，则的倾斜角满足（ ） A. B. C. D. 3. 圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各点中，在圆的内部的有（ ） A. B. C. D. 10. 设直线，，则（ ） A. 过定点 B. 原点到的距离的最大值为 C. 不存在，使得 D. 存在唯一的，使得 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上的动点且不在轴上，则（ ） A. 的离心率为 B. 的面积的最大值为 C. 的最小值为 D. 以的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与之间的距离为_________． 13. 已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 14. 如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，与直线相互垂直． （1）求； （2），相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． 16. 已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． （1）求圆的方程； （2）若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 17. 已知直线，，设为坐标原点． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求； （2）若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 18. 已知椭圆（且）． （1）若过点，求的离心率； （2）若的焦点在轴上，过上一点作斜率为的直线，且与圆有且仅有一个公共点，求的取值范围． 19. 在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． （1）求的方程； （2）若的面积为，且，求直线的斜率； （3）点，证明：直线和的斜率之和为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二10月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设直线为，将代入得，解得， 故直线的方程为. 2. 已知直线的斜率为2，则的倾斜角满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设有，且，而， 故. 3. 圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】因为圆的方程可化为， 所以圆的半径为. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 由轴且是等腰直角三角形得，， 故，即， 因此的离心率． 5. 已知圆与圆交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用圆的方程减去圆的方程得到交线的方程，利用点到直线的距离求出到的距离，再根据勾股定理求出，扩大两倍即可求出的值. 【详解】联立圆的方程和圆的方程，得， 两式相减得交线的方程为， 圆的圆心坐标为，半径为，设到交线的距离为， 而，则. 6. 已知点，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 已知点，，设， 则，， 因为直线与线段相交，故或. 7. 已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中点坐标公式将点的坐标用点的坐标表示，结合两点分别在对应直线上列方程组求解点的坐标，再由两点坐标求解直线的斜率与方程. 【详解】设点的坐标为， ∵ 是的中点， ∴ 点的坐标为. ∵ 在直线上，在直线上， ∴ ， 解得，，即. ∴ 直线的斜率， 由点斜式得直线的方程为，整理得. 8. 已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算弦的弦心距，推导到的距离，结合两圆位置关系求的取值范围. 【详解】 圆，圆心为，半径为1， ，取的中点，， 弦心距， ，与圆相切，所以，， ，， 所以，， 所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 要使圆上存在满足条件的点，即圆与点的轨迹圆有公共点， ， ， 解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各点中，在圆的内部的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】将代入圆方程左侧得：，点在圆内，A正确； 将代入圆方程左侧得：，点在圆内，B正确； 将代入圆方程左侧得：，点在圆外，C错误； 将代入圆方程左侧得：，点在圆外，D错误. 10. 设直线，，则（ ） A. 过定点 B. 原点到的距离的最大值为 C. 不存在，使得 D. 存在唯一的，使得 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题意得，即， 由得，故A错误； 而原点到的距离的最大值为，故B正确； 由得， 故不存在，使得，故C正确； 由得， 故存在唯一的，使得，故D正确. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上的动点且不在轴上，则（ ） A. 的离心率为 B. 的面积的最大值为 C. 的最小值为 D. 以的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接根据椭圆标准方程计算离心率可判定A，利用椭圆性质计算焦点三角形面积可判定B，利用椭圆定义及基本不等式可判定C，利用点到线的距离公式结合椭圆的对称性可判定D. 【详解】由题易知，，，所以，. 设. 对于A，的离心率，故A正确； 对于B，由题可知，当点位于的上、下顶点处时，的面积最大， 且最大值为，故B正确； 对于C，因为，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 对于D，由题可知的左顶点为，上顶点为， 这两点所在直线的方程为， 根据对称性可知，以的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径即为原点到直线 的距离，即，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与之间的距离为_________． 【答案】 【解析】 【详解】直线的方程可化为， 故直线与平行， 所以这两条直线间的距离为. 13. 已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点在圆内，明确过圆内一点的最短弦为与该点和圆心连线垂直的弦，结合两点间距离公式与弦长公式求解即可. 【详解】由圆的方程可知，圆心，半径. ∵ ，∴ 点在圆内部. ∵ 过圆内一点的弦中，当直线与点和圆心的连线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小， ∴ 此时圆心到直线的最大距离， ∴ 最短弦长为. 14. 如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，求出点关于直线、轴的对称点、的坐标，根据、、三点共线以及斜率关系可求出的值，即可得出的值. 【详解】在等腰直角三角形中，，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、，设，则，其中， 点关于轴的对称点为， 直线的截距式方程为，即直线的方程为，该直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为， 由题意可知，且线段的中点在直线上， 所以，解得，即点， 由对称性可知、、三点共线，则，即， 整理可得，解得或，即或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，与直线相互垂直． （1）求； （2），相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【小问1详解】 因为直线，与直线相互垂直， 所以得，即． 解得． 【小问2详解】 由题意知，四边形为矩形，，分别是点到直线，的距离， 所以， ． 四边形的面积为． 16. 已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． （1）求圆的方程； （2）若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得要求的最小值，只需求的最小值，利用点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 因为圆的面积被轴平分，所以圆心在轴上． 设，圆． 将点和代入，得， 解得， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 由题意，得， 所以要求的最小值，只需求的最小值． 因为点在直线上，所以的最小值等于点到直线的距离， 即． 故， 即的最小值为． 17. 已知直线，，设为坐标原点． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求； （2）若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 【答案】（1）或0． （2）4 【解析】 【分析】（1）分别讨论经过点和不经过点时的情况，求出截距，由截距相等列式求解即可； （2）根据题意求出的坐标，由三角形的面积公式，再利用基本不等式求出最值即可. 【小问1详解】 ①当经过点时，两坐标轴上的截距均为0，则，解得. ②当不经过点时，． 令，得；令，得， 由题意，得，解得， 综上所述，或0． 【小问2详解】 易知，即，设，， 则，解得． 此时，， 所以． 不妨设，则，， ． 当且仅当，即时取等号，此时． 故面积的最小值为4． 18. 已知椭圆（且）． （1）若过点，求的离心率； （2）若的焦点在轴上，过上一点作斜率为的直线，且与圆有且仅有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求，再根据离心率的公式即可求解； （2）设l的方程为，由与圆有且仅有一个公共点，即与圆相切，得或，再根据直线与椭圆相交，利用代数法即可求解. 【小问1详解】 将点代入的方程，得，解得． 所以的方程为． 则，，所以． 故的离心率； 【小问2详解】 由的焦点在轴上，得． 设l的方程为，即， 圆的圆心为，半径． 因为与圆有且仅有一个公共点，即与圆相切， 所以，得或． 因为点在C上，说明与有公共点． 联立直线与， 得． 由判别式，得，化简得， 因为，所以． 当时，，整理得， 解得． 因为，所以． 当时，，整理得， 因为，该不等式无解． 综上所述，实数的取值范围是． 19. 在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． （1）求的方程； （2）若的面积为，且，求直线的斜率； （3）点，证明：直线和的斜率之和为定值． 【答案】（1） （2）2或． （3）由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，，． 将与联立，可得， 即． 由判别式，得，解得． 则，． 设直线和的斜率分别为，．则所以直线和的斜率之和为定值． 【解析】 【分析】（1）设点，利用直接法求轨迹方程即可； （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆，由三角形的面积公式及平方关系可得，取的中点，由半角公式可得，由锐角三角函数可得，即点到直线的距离为，设直线方程为，利用点到直线的距离公式列式求解即可； （3）设直线方程为，，，联立直线与圆的方程，利用韦达定理及直线的斜率公式计算直线和的斜率之和即可证明. 【小问1详解】 设点．由，得， 即． 化简得，即的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆． ，解得． 因为，所以． 取的中点，则，． 所以，即点到直线的距离为． 此时直线的斜率显然存在，设：． 由，得，解得或． 即直线的斜率为2或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $