安徽宣城市部分校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题2卷

2 高二10月数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.若直线1过点(1，-1)，且与直线3x-y+2=0平行，则直线1的方程为 A.y=3x-2 B.y=-3x+2 C.y=3x-4 D.y=-3x+4 2.已知直线1的斜率为2，则1的倾斜角0满足 A.0°<0<30° B.30°<0<45 C.45°<0<60° D.60°<0<90° 3.圆C:x2+y2-2x-4y-3=0的半径为 A.22 B.2 C.2 D.1 4已知椭圆c芳+ a 尔=1(a>6>0)的左、右焦点分别为，F,点P在C上，且PR21x轴，若 △PF,F2是等腰直角三角形，则C的离心率为 A B.5-1 c号 D.3-1 5.已知圆C1:(x+2)2+(y-5)2=16与圆C2:x2+(y-2)2=1交于M,N两点，则1MN1= A爱 B.39 c.2v39 D.439 13 13 13 数学第1页（共4页） 6.已知点A(-4,3),B(2,2),过点(-1，-1)且斜率为k的直线1与线段AB相交，则k的取 值范围是 A(-,-1,+) c[- D.(-∞，-4]U[1,+∞) 7.已知A是直线x+2y-8=0上的动点，B是直线2x-y+1=0上的动点，若AB的中点为 P(1,2),则直线AB的方程为 A.y=2 B.3x-y-1=0 C.x-y+1=0 D.x-2y+3=0 8.已知圆C1:(x-1)2+（y+2)2=1,AB为圆C1的一条弦，且IABI=√5，若圆C2:(x-4)2+ (y-2)2=(r>0)上存在点P,使得直线PA,PB与圆C1相切，则r的取值范围是 A.[2,+o) B.[2,6] C.[3,+∞) D.[3,7] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列各点中，在圆C:(x-3)2+(y+1)2=16的内部的有 A.(3,0) B.(4,-1) C.(7,2) D.(0,3) 10.设直线1：(a+3)x+(1-2a)y+1=0,l2:(2a-1)x+(a+1)y-2=0,则 A马过定点号，引 B原点到的距窝的最大值为 C.不存在aeR,使得l1∥l2 D.存在唯一的aeR,使得1⊥2 1.已知椭圆E:普+少=1的左右焦点分别为R1,R,点P为E上的动点且不在x轴上，则 AE的离心率为号 B.△PFF2的面积的最大值为√3 C+P,的最小值为 D.以E的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径为25 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.直线3x-4y+5=0与6x-8y-5=0之间的距离为 13.已知直线1过点P(-1,-2),则1被圆C:x2+(y+1)2=4截得的弦长最小值为 14.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=6,P是边AB上异于A,B的点，光线从点P出 发，经BC,CA反射后又回到点P.若AR=1,则AP= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知直线l1:x-ay+2=0,a∈R与直线2：2x+y-3=0相互垂直. (1)求a; (2)L1,2相交于点A,过点P(3,4)作I1,12的垂线，垂足分别为B,C,求四边形PBAC的 面积 16.(15分) 已知圆C经过点(2,2)和(3，W3),且圆C的面积被x轴平分 (1)求圆C的方程； (2)若点P在直线l:2x-y+4=0上，过P点作C的切线，切点为Q,求1PQ1的最小值， 数学第3页（共4页） 17.(15分) 已知直线l:y=(a-1)x+2a-3,a∈R,设0为坐标原点 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a; (2)若I交x轴负半轴于点A,交y轴负半轴于点B,求△OAB面积的最小值. 18.(17分) 已知椭圆C人 +5=1(m>0且m≠，5). (1)若C过点5，]，求C的离心率； 2,2 (2)若C的焦点在x轴上，过C上一点P作斜率为2的直线L,且1与圆(x-2m)2+y=5 有且仅有一个公共点，求m的取值范围。 19.(17分) 在直角坐标系0中，设点M0,4)N(0,1),点P满足=2，记点P的轨迹为曲线取 过点(2,6)的直线l与曲线W交于A,B两点. (1)求W的方程； (2)若△0AB的面积为，且∠A0B>90°，求直线1的斜率； (3)点G(2,0),证明：直线GA和GB的斜率之和为定值. 数学第4页（共4页）2 高二10月数学·答案 一、选择题 1.答案C 命题透析本题考查两直线平行 解析因为直线3x-y+2=0的斜率为3，所以由平行关系可设l:y=3x+b.将点(1，-1)代入，得-1=3×1+ b,解得b=-4,所以1的方程为y=3x-4. 2.答案D 命题透析本题考查直线的斜率与倾斜角. 解析由题意知，tan0=2>√3=tan60°，所以60°<0<90. 3.答案A 命题透析本题考查圆的标准方程， 解析圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=8,则C的半径为2√2. 4.答案B 命题透析本题考查椭圆离心率的定义， 解析由椭圆的定义，可知IPF1I+IPF2I=2a,IFF2I=2c.因为△PFF2是等腰直角三角形，且PF2⊥x轴，所 以1PF,1=2c,1PF,1=22c.所以22c+2c=2a,即(2+1)c=4,所以C的离心率e=￡=1=2-1. a√2+1 5.答案D 命题透析本题考查圆与圆的交点弦问题 解析将两圆方程相减，得2x-3y+5=0,即为两个圆的相交弦所在的直线1的方程.圆心C2(0,2)到直线 1:2x-3y+5=0的距离为d=1 所以11=2=2高-4 13 6.答案B 命题透析本题考查直线的斜率. 解折不妨设点C(-1,-1),所以直线4C的斜*为3片=-号直线c的斜率为号二号1因 为直线1与线段AB相交，所以k的取值范围是(-”，-等]U[1,+∞)。 7.答案C 命题透析本题考查直线的方程与性质. -1 x1+2y1-8=0, 解析设A(x1,y1),B(2,y2).由点A,B所在的直线方程，得 因为AB的中点为P(2,1),所以 2x2-y2+1=0. [x1+x2=2, 3-1 联立以上四个方程，可得A(2,3),B(0,1),所以直线AB的方程为y=2二G+1,即x-y+1=0. ly1+y2=4. 8.答案D 命题透析本题考查圆的切线问题 解析因为IABI=√3，ICAI=ICB1=1,所以∠AC,B=120°.当PA,PB与圆C1相切时，易得1PC1I=2,所以 当弦AB运动时，点P在以C1(1,-2)为圆心，2为半径的圆（记为圆C3)上运动.又点P在圆C2上，所以圆C2, C3有公共点.因为1C3C21=1C,C2|=5,所以r-2≤5≤r+2,解得3≤r≤7. 二、选择题 9.答案AB 命题透析本题考查圆的方程 解析将各点的坐标代入圆的方程，使等号变为小于号的点在圆内，变为大于号的则在圆外 对于A,（3-3)2+(0+1)2=1<16,所以点(3,0)在圆内，故A正确. 对于B,(4-3)2+（-1+1)2=1<16,所以点(4，-1)在圆内，故B正确. 对于C,(7-3)2+（2+1)2=25>16,所以点(7,2)在圆外，故C错误. 对于D,(0-3)2+(3+1)2=25>16,所以点(0,3)在圆外，故D错误. 10.答案BCD 命题透析本题考查两直线平行、垂直关系的判断. 解标对于A,直线4的方程可化为a(x-2y)+(3x+y+1)=0,由-2y=0, [3x+y+1=0, 所以4过定点（号，），放错误 对F,设P(-子号）则原点0到的距离的最大位为10=√(+厂-汽放B正 对于C,若l1∥L2,则(a+3)(a+1)-(2a-1)(1-2a)=0,化简，得5a2+4=0,该方程无实数解，故不存在 a∈R,使得l1∥l2,故C正确 对于D,若41h,则(a+3)(2a-1)+(1-2a)(a+1)=0,解得a=7,放存在唯-的aeR,使得414，放D 正确。 11.答案ABD 命题透析本题考查椭圆的方程与几何性质。 解析由题易知a=2,b=1,c=3,所以F(-3,0),F2(√3,0).设P(x,y)(-2<x<2). 对于A,E的离心率：=台要，放A正确 —2— 对于B,由题可知，当点P位于E的上、下顶点处时，△PF,R:的面积最大，且最大值为？×2，万×1=万，故B 正确； 对于C,因为1PR,1+1P,1=4,所以+=(+水1PR1+1PR,) 1 +) PE,.PE)=1,当且仅当1PP,1=1PF,1=2时，等号成立，故C 错误； 对于D,由题可知E的左顶点为(-2,0)，上顶点为(0,1)，这两点所在直线的方程为x-2y+2=0,根据对称 性可知，以E的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径即为原点到直线x-2y+2=0的距离，即 121 W√1+(-2)2 汽放DE确 三、填空题 12.答案 3 命题透析本题考查平行直线间的距离公式， 解析直线3x-4y+5=0的方程可写为6x-8y+10=0,由平行直线间的距离公式可得，两直线间的距离为 110-(-5)13 √62+82 2 13.答案2√2 命题透析本题考查直线与圆的位置关系 解析因为点P(-1,-2)到圆心C(0,-1)的距离为d=1PC1=√(-1-0)2+(-2+1)2=√2<2，所以直 线1和圆C相交.当弦与PC垂直时，直线1与圆C相交的弦长为最短，所以1被圆C截得的弦长最小值为 2√22-(2)2=22. 14.答案2或3（答案不完整不给分） 命题透析本题考查直线的方程与应用. 解析建立如图的平面直角坐标系.由题意，可得B(6,0),C(0,6),故直线BC的方程为x+y=6.设P(a,0), ,a+x+X=6, 2 2 「x=6, 其中0<a<6,则点P关于直线BC的对称点P,(x,y)满足 解得 即P1(6,6-a).易 y=6-a, -=1 x-a 得点P关于y轴的对称点为P2(-α，0).由光的反射原理可知，P1,Q,R,P2四点共线，所以直线QR的方程为 -名(x+),即y名2+g:所以R-g+ -x+ -=1.整理得a2-5a+6=0,解得a=2或a=3. 6+a 6+a6+a 6+a —3 R B 2 四、解答题 15.命题透析本题考查两直线的垂直关系，点到直线的距离. 解析（1)由题意，得1×2+（-a)×1=0,即2-a=0.… (3分) 獬得a=2.… (5分) (2)由题意知，四边形PBAC为矩形，PB,PC分别是点P到直线l1,l2的距离，… (7分) 所以1PB1=3-2×4+2L_35 5, (9分) √P+(-2)7 1PC1=12×3+4-3_75 (11分) √22+12 四边形PBAC的面积为S=1PB1·1PC1=3,5×7,5_21 5=5 (13分) 16.命题透析本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系。 解析(1)因为圆C的面积被x轴平分，所以圆心C在x轴上. (2分) 设C(a,0),圆C:(x-a)2+y=2. (3分) 将点(2,2)和(33)代人，得2-2+4=， (5分) 1(3-a)2+3=r2, ra=2, 解得 2=4 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.… (7分) (2)由题意，得1PQ1=√1PC2-2=√1PC12-4, 所以要求PQ川的最小值，只需求|PC的最小值。… (10分) 因为点P在直线2x-y+4=0上，所以IPC1的最小值等于点C(2,0)到直线2x-y+4=0的距离， 即IPCI= 12×2-0+41_85 (13分) √22+(-1)7 51 故11mV(8-4-2 5 即1PQ的最小值为25⑤ 5 (15分) 17.命题透析本题考查直线的方程与性质。 解析（1)①当l经过点0时，两坐标轴上的截距均为0， 则2a-3=0,解得a=2 3 (2分) ②当1不经过点0时，@≠子 令x=0,得y=2a-3:冷y=0,得x=3-20(a≠1. a-1 (4分) 由题意，得3-24=2a-3,解得a=0. a-1 (5分) 综上所述，a=2或0， (6分) (2)易知a-1≠0，即a≠1，设A(xA,0),B(0,yg), xA 3-2a<0, 则 a-1 解得a<1.… (8分) yB=2a-3<0, 此时A2二20），B0,2a-3). 所以5a-分101081-28 (11分) 不妨设1-a=t,则te(0,+∞)，a=1-t, 5m02-+22v2 1 +2=4.…(14分) 2t 当且仅当24=7，即t=之时取等号，此时a=分<1. 故△0AB面积的最小值为4.…（15分) 18.命题透析本题考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系. 解析 (①将点()代人C的方器，得品+ 4nm+4 =1,解得m=1. 所以C的方程为x+ 51. (2分) 则a=√5，b=1,所以c=√a2-b=√5-1=2. 故C的离心率e=c=25 (5分) (2)由C的焦点在x轴上，得m>√5.…(6分) 1 设1的方程为y=2x+6,即x-2y+2t=0, 圆(x-2m)2+y2=5的圆心为(2m,0),半径r=√5.…(7分) 因为1与圆有且仅有一个公共点，即1与圆相切， —5 所以d=2m-0+2=5,得2=5-2m或21=-5-2m… (10分) √2+(-2)7 因为点P在C上，说明1与C有公共点. 得（20+m2)x2+4m2tx+4m2t2-20m2=0. (11分) 由判别式△≥0，得16m4t2-4(20+m2)(4m22-20m2)≥0，化简得80m2(20+m2-42)≥0， 因为m>0,所以4≤20+m2.… (13分) 当2t=5-2m时，(5-2m)2≤20+m2,整理得3m2-20m+5≤0， 解得0-，85≤m≤10+85 3 3 因为m>5,所以w5<m≤10+Y85 … (15分) 3 当2t=-5-2m时，（-5-2m)2≤20+m2,整理得3m2+20m+5≤0， 因为m>√5>0，该不等式无解. 综上所述，关数m的取位范围是(5,10+，] (17分) 19.命题透析本题考查轨迹与方程、直线与圆的位置关系. 解析(1)设点P(x,y) 由=2，得PW-21M, 即√+(y-4)7=2√2+(y-1). (2分) 化简得x2+y2=4,即W的方程为x2+y2=4.… (4分) (2)由(1)可知W是以原点0为圆心，2为半径的圆. Saas=7×2 XsinA0B=号，解得sin∠A0B=号 1 5 因为LA0B>90°，所以c0s∠A0B=-3 (6分) 取MB的中点M,则∠A0M=之∠A0B,com∠AOM= 1+Cos ZAOB5 2 所以10W=101os∠40M-25,即点0到直线1的距离为 (8分) 此时直线1的斜率显然存在，设1：y=k(x-2)+6 由20-25得2-156+2=0，解得6=2号 √2+I 即直线1的斜率为2或号 …(10分) (3)由题意知，直线1的斜率存在，设其方程为y=kx-2k+6,A(x1,y1),B(x2,y2).…(11分) —6 将l:y=x-2k+6与x2+y2=4联立，可得x2+(kx+6-2k)2=4, 即(k2+1)x2+4k(3-k)x+4k2-24k+32=0. 由判别式4>0，得16(3-k)2-4(2+1)(42-24k+32)>0,解得k>4 则%世2 …(13分）》 k2+1 设直线GA和GB的斜率分别为k1,k2· 则%+6=22222-2+2+2=24+2 6(x1+x2-4) x1-2 - 24k(k-3)-242-24 4K-24k+32_8k(k-3）+4 *2-4e-2232)4批44+2=-72%24+2-层 36 2+1 k2+1 所以直线CA和CB的斜率之和为定值-子 …（17分) —7一