精品解析：河南开封市、南阳市部分校联考2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定是“”. 2. 已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 3. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由“”为真命题可排除A，由“”为假命题可排除BD，即可得到结果. 【详解】若“”为真命题，则A错误， 又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误， 则集合可以是. 故选：C 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先分别解出和的等价范围，再通过判断两个范围的包含关系来确定充分性与必要性. 【详解】由“”解得，由“”解得， 若，则必然有，即，故充分性成立， 若，取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 5. 方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据韦达定理以及二次方程判别式求出充要条件，再结合选项逐一判断. 【详解】若方程有一个正根和一个负根， 则，，，得， 则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误； 是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误； 是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确； 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误. 故选：C 6. 若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 7. 某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是．由图可知，解得． 故选：C. 8. 已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：是方程的两根，且， 则，可得，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用不等式的性质求解；选项B，举反例求解；选项C，作差法求解；选项D，利用不等式的性质求解. 【详解】选项A，因为，，所以， 因为，所以， 则，则，A正确； 选项B，举反例：，且， 换一组：，满足， ，此时，和命题 矛盾， B错误； 选项C，， 因为，所以分子分母都大于0，则，即，C正确； 选项D，若，所以，则， D正确. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. “关于的不等式恒成立 ”的一个充分不必要条件是“” C. 真包含于 D. 的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，作差法，利用二次函数的图像和性质求解；选项B，利用二次函数的图像和性质求出的范围，利用充分条件和必要条件的定义求解；选项C，整理这两个集合，利用奇数都属于整数得解；选项D，利用基本不等式分析判断. 【详解】选项A，因为，， 则， 因为，所以， 则，A正确； 选项B，因为关于的不等式恒成立， 所以，解得， 条件是，结论是关于的不等式恒成立， 当时，不等式变为，充分性成立， 不等式恒成立时，可以取内任意数，不一定是，必要性不成立， 则“关于的不等式恒成立 ”的一个充分不必要条件是“”，B正确； 选项C，设， 分子为，是全体奇数， 设， 令，，，分子是全体整数， 集合里面的元素都是分母为6、分子为奇数的分数， 集合里面的元素都是分母为6，分子为任意整数的分数， 奇数都属于整数，且偶数分子的元素在B中但不在A中， 则真包含于，C正确； 选项D，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 这显然不成立，所以取不到最小值，D错误. 11. 定义，若，则下列说法一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知运算新定义有，作变形有，进而有，再结合已知及不等式的性质及基本不等式，依次判断各项的正误. 【详解】对于A，由题设，， 所以，而， 所以，故，正确； 对于B，注意到当时，满足， 此时，错误； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故，正确； 对于D，由，则，错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等的定义及集合元素的互异性，分情况求解参数、的取值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】首先由集合元素的互异性可知，集合中元素互不相同，故，，， 因为，两集合均含元素，因此剩余元素满足， 分两种情况讨论： 当时， 由，解得或，结合，得， 将代入，得，解得， 此时，，满足，符合题意； 当时， 将代入，得， 解得，与矛盾，故该情况舍去； 将，代入， 得： . 13. 已知，，，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题条件是带交叉项的等式，目标求的最小值，已知，，适合用基本不等式（均值不等式）求解，首先观察式子，不能直接套不等式，需要先对等式配凑因式，把原式变形为两个正数相乘等于定值的形式，再把也用这两个因式表达，就可以利用“一正二定三相等”求最小值；方法二选择消元思路用表示，代入整理成对勾函数形式，再用基本不等式求解． 【详解】解法一：由得， ∵，，∴，， ∴， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由得， 得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的最小值为． 14. 设，若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【详解】关于的不等式即，， 的解集中的整数恰有3个，， 不等式的解集为，所以解集里的整数是，，0 三个 ， ，， ， ， ， 综上，， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，集合． （1）若，求和； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交，并，补运算求解； （2）根据集合间的关系求参数. 【小问1详解】 当时，，， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 若，则，所以， 若，则，或， 解得或， 综上所述：实数a的取值范围为 16. 已知集合，非空集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）已知命题：，命题：，若是的必要不充分条件；求实数的取值范围． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）解决集合类参数问题，先化简给定集合，同时先确定非空集合的参数取值前提，避免漏掉边界条件；（2）将交集为空、充分必要条件等文字描述，转化为集合间的包含/真包含关系，再通过区间端点列不等式组求解. 【小问1详解】 分式不等式，等价于，得，即 ， 由集合非空，得，解得. 等价于（完全包含于）， 要使区间包含于区间，需满足， 分别解得、，结合前提，取交集得， 即实数的取值范围是； 【小问2详解】 是的必要不充分条件，等价于且，对应集合关系为 （是的真子集）， 要使区间真包含于，需满足， 分别解得、；结合前提，且验证时 成立， 因此实数的取值范围是. 17. 设命题，；命题， （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，求实数的取值范围； （3）若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【小问1详解】 若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 18. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】（1）100个，30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 19. 设. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2） （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可直接求得结果； （2）采用参变分离的方法可得，利用基本不等式可求得，由此可得结果； （3）分别讨论、和的情况，结合一元二次方程两根大小关系可确定不等式的解集. 【小问1详解】 当时，， 解得：，即的解集为. 【小问2详解】 ，， 恒成立，对任意恒成立， （当且仅当时取等号），，， 即的取值范围为. 【小问3详解】 由得：， ①当时，，解得：； ②当时，的解集为； ③当时，令，解得：或， 若，则，不等式无解； 若，则，则的解集为； 若，则，则的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. “关于的不等式恒成立 ”的一个充分不必要条件是“” C. 真包含于 D. 的最小值是 11. 定义，若，则下列说法一定正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，若，则的值为__________． 13. 已知，，，则的最小值是________． 14. 设，若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数a的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，集合． （1）若，求和； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知集合，非空集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）已知命题：，命题：，若是的必要不充分条件；求实数的取值范围． 17. 设命题，；命题， （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，求实数的取值范围； （3）若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 18. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 19. 设. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $