精品解析：河南、山西省部分学校2026-2027学年高一上学期10月过程性作业评估数学试题（人教版）

高一年级过程性作业评价 数学（人教版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数，，，满足，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若不等式的解集为或，则实数的值为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 5. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A. B. 7 C. D. 9 6. 已知，均为实数，集合，，若，则的取值组成的集合为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，若存在，使成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为实数，集合，，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. “，或” B. “，或” C. “，或” D. “，或” 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，下列关于的表述，正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 对任意的实数，，总有 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 设集合是实数集的非空子集．若对任意的，都有（且当时，还需满足），则称是衡集．下列说法正确的有（ ） A. 若集合是衡集，则 B. 集合是衡集 C. 有理数集是衡集 D. 若衡集中含有非零元素，则中一定含有无限个元素 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为_________． 13. 由单词“level”中的字母作为集合中的元素，则集合的所有子集共有_________个． 14. 若，，且，则的最小值为_________，此时的值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）当时，求； （2）当时，求； （3）若，求实数的所有可能取值组成的集合． 16. 某公司要把货物从A城运到B城，全部使用每辆载重为吨的卡车，总运输成本（单位：百元）与之间的关系为（，均为常数），当每辆卡车载重为3吨时，总运输成本为140百元；当每辆卡车载重为6吨时，总运输成本为98百元． （1）若每辆卡车载重为12吨，总运输成本为多少百元？ （2）当每辆卡车载重为多少吨时，总运输成本最低？总运输成本最低为多少百元？ 17. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）命题：“，”；命题：“集合中整数的个数最大为”，当命题为真命题，命题为假命题时，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，若，求实数的取值范围； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）设集合，关于的不等式的解集为，当时，求实数的取值范围． 19. 对于第三象限内的任意两点，： ①若，则称是的沉序点对； ②若，则称是的浮序点对； ③若，则称是的等沉点对． （1）已知第三象限内，，三点，请判断是的哪种点对，是的哪种点对； （2）已知点，均是第三象限内的点，对于任意的负数，请讨论是的哪种点对； （3）设负整数，负整数满足条件：对集合内的任意，总存在第三象限内的点，使得点是点的浮序点对，且点是点的浮序点对，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级过程性作业评价 数学（人教版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得：为，. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，再根据集合并集运算求解即可. 【详解】，可得， 所以集合， 所以. 3. 已知实数，，，满足，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确已知条件，逐个分析选项，利用特值法或性质推导即可. 【详解】对于A：当，，，，此时，并不满足题意； 对于B：，，即，故，B正确； 对于C：，，当，，，，此时，并不满足题意； 对于D: ，，当，，，，此时，并不满足题意； 4. 若不等式的解集为或，则实数的值为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】分式不等式移项通分转化为整式不等式，利用解集端点对应方程根来求参数. 【详解】原不等式，移项通分整理得， 等价于. 由解集或可知：方程的两根为，故，解得. 5. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A. B. 7 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】结合韦达定理求解即可. 【详解】由题意可得是方程的两根， 由韦达定理可得， 又因为， 即， 解得. 6. 已知，均为实数，集合，，若，则的取值组成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，分或，两种情况讨论，进而求解. 【详解】由，所以或， 当时，或， 当时，，满足题意， 当时，不满足集合的互异性， 当时，或， 当时，，所以不满足题意， 当时，，所以不满足题意， 所以，所以. 7. 已知，，且，若存在，使成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对化简得到，利用基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】由题可得，其中， 存在，使成立，则， 当且仅当，即，时，有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 8. 已知为实数，集合，，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. “，或” B. “，或” C. “，或” D. “，或” 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解得，从而解出集合，根据，求出的取值范围，再结合必要不充分条件即可找出选项. 【详解】，因式分解得， ，解得，，， 所以集合或， 由，可知，又因为， 所以或，解得或， 因为题目要找的选项是“”的一个必要不充分条件， 即或是要找的选项的真子集，故D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，下列关于的表述，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，B，解方程组，解得， 所以，是点集，故A正确，B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，中的元素不是点坐标的形式， 故，故D错误. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 对任意的实数，，总有 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A移项配方利用平方非负判符号，B作差因式分解结合条件判断差的正负，C因符号不定可举反例验证，D分式作差通分，依据范围判断分子分母符号. 【详解】 ， 因为，所以. 正确，A正确. 已知：，，所以， 即 ，B正确. 举反例：，满足， ，，，即，C错误. ， ， ，D正确. 11. 设集合是实数集的非空子集．若对任意的，都有（且当时，还需满足），则称是衡集．下列说法正确的有（ ） A. 若集合是衡集，则 B. 集合是衡集 C. 有理数集是衡集 D. 若衡集中含有非零元素，则中一定含有无限个元素 【答案】CD 【解析】 【分析】对于，取反例即可判断；对于B，取反例即可判断；对于C，取有理数，根据都是有理数即可判断；对于D，取非零元素，则，以此类推可知所有正整数都属于，即可判断． 【详解】对于，取，则，， 且不存在，商的条件自动成立， 因此集合是衡集，但，故错误； 对于B，取，则， 此时，，不满足，即， 因此集合不是衡集，故B错误； 对于，任取有理数，则仍是有理数， 当时，仍为有理数，满足衡集条件， 因此有理数集是衡集，故正确； 对于，若衡集中存在非零元素，则， 以此类推，所有正整数都属于， 因此中一定含有无限个元素，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，由此求解即可. 【详解】因为非负数的绝对值为本身，负数的绝对值为其相反数， 且，所以，解得， 所以原不等式的解集为. 13. 由单词“level”中的字母作为集合中的元素，则集合的所有子集共有_________个． 【答案】8 【解析】 【详解】因为集合中元素具有互异性，所以集合有3个元素，所有子集共有个. 14. 若，，且，则的最小值为_________，此时的值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】因为， 所以， 设， 则， 即， 结合解得，所以的最小值为， 当且仅当时等号成立， 即，代入中， 得， 解得或(舍去)， 所以的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）当时，求； （2）当时，求； （3）若，求实数的所有可能取值组成的集合． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【小问1详解】 ， ， 当时，， 所以． 【小问2详解】 当时，， 所以． 【小问3详解】 由，得，． ①当时，，满足，故符合题意； ②当时，，，故只需，因为，结合，得，或．符合题意， 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为． 16. 某公司要把货物从A城运到B城，全部使用每辆载重为吨的卡车，总运输成本（单位：百元）与之间的关系为（，均为常数），当每辆卡车载重为3吨时，总运输成本为140百元；当每辆卡车载重为6吨时，总运输成本为98百元． （1）若每辆卡车载重为12吨，总运输成本为多少百元？ （2）当每辆卡车载重为多少吨时，总运输成本最低？总运输成本最低为多少百元？ 【答案】（1）95百元． （2）当每辆卡车载重为9吨时，总运输成本最低，总运输成本最低为92百元 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法列出关于的方程组求解出，然后代入，求解出总运输成本即可. （2）利用基本不等式求解出运输成本的最小值即可，再求解出对应的卡车载重. 【小问1详解】 将，代入，得①， 将，代入，得②， ①②联立，解得，， 所以， 当时，， 故当每辆卡车载重为12吨时，总运输成本为95百元． 【小问2详解】 由（1），可知， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当每辆卡车载重为9吨时，总运输成本最低，总运输成本最低为92百元． 17. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）命题：“，”；命题：“集合中整数的个数最大为”，当命题为真命题，命题为假命题时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合、，将必要不充分条件转化为，由区间端点列不等式并验证端点，求范围； （2）命题为真转化为存在使；命题为假转化为中整数至少个，结合的长度为，列举包含或的情形列不等式，再与真条件取交集. 【小问1详解】 集合，集合． 若“”是“”的必要不充分条件，则． 所以，解得． 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 当命题为真命题时，，即，即实数的取值范围为． 当命题：“集合中整数的个数最大为”为假命题时， ：“集合中整数的个数最小为”为真命题， 又集合中，，所以集合中整数的个数为， 集合包含的整数有，能同时包含个整数只有下面两种情况： ①包含整数时，，解得； ②包含整数时，，解得， 所以当命题为假命题时，实数的取值范围为或． 又或或， 所以实数的取值范围为或． 18. 已知函数． （1）当时，若，求实数的取值范围； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）设集合，关于的不等式的解集为，当时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当，解，即可得答案； （2）分类讨论二次项系数和； （3）分类讨论和，当时，因式分解求得两根分别为1和，再分类讨论1和的大小关系即可. 【小问1详解】 当时，， 由，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 当时，由，解得，不符合题意； 当时，需满足解得． 综上所述，实数的取值范围为． 【小问3详解】 由，得， 若，则集合，不满足． 若，则方程的根为和， ， 若，则抛物线的开口向上， 当时，，则或， 若满足，则，解得； 当时，，则或，满足； 当时，，则，满足； 若，则抛物线开口向下，， 故，不满足． 综上所述，实数的取值范围为． 19. 对于第三象限内的任意两点，： ①若，则称是的沉序点对； ②若，则称是的浮序点对； ③若，则称是的等沉点对． （1）已知第三象限内，，三点，请判断是的哪种点对，是的哪种点对； （2）已知点，均是第三象限内的点，对于任意的负数，请讨论是的哪种点对； （3）设负整数，负整数满足条件：对集合内的任意，总存在第三象限内的点，使得点是点的浮序点对，且点是点的浮序点对，求的最大值． 【答案】（1）是的沉序点对，是的等沉点对． （2）当时，是的浮序点对； 当时，是的沉序点对； 当时，是的等沉点对 （3）． 【解析】 【分析】（1）按照沉序点对，浮序点对，等沉点对的定义判断即可. （2）先列出不等式，然后根据不等式情况确定是的哪种点对. （3）先根据点是点的浮序点对，且点是点的浮序点对列出关于的不等式组，然后消去，得到，再利用对任意的都成立求解出的最大值，最后进行检验. 【小问1详解】 对于点，，因为，所以是的沉序点对． 对于点，，因为，所以是的等沉点对. 【小问2详解】 因为点，均在第三象限内，所以，，，， 则， 已知，，，，分三类讨论： ①当时，，所以，故是的浮序点对； ②当时，，所以，故是的沉序点对； ③当时，，所以，故是的等沉点对； 【小问3详解】 由题意，得 又，，均为负整数，所以，则 所以，即，则， 又对集合内的每个m均成立，则， 所以负整数的最大值为． 下证当时满足题意， 即证即证即证， 取，由，得，故． 由，得，即， 故存在负整数满足题意． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $