精品解析：河北省唐山市第二中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

唐山二中2026一2027学年度第一学期高二月考(1) 数学学科试卷 时间：120分钟；总分：150分 一、单项选择题:本大题共8小题，共40分. 1. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 1或 4. 若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共3小题，共18分. 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若，，，是空间任意四点，则有 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若，共线，则 D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中）且，则，，，四点共面 11. 已知方程，下列叙述正确的是（ ） A. 方程表示的是圆 B. 当时，方程表示过原点的圆 C. 方程表示的圆关于直线对称 D. 方程表示的圆的圆心在x轴上 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于y轴的对称点坐标为______. 13. 点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 14. 在空间直角坐标系中，已知点，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的余弦值为________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明. 15. 已知圆C经过点，点，且它的圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若圆D与圆C关于直线对称，求圆D的标准方程. 16. 已知点，，直线：. （1）若经过点，求在轴上的截距； （2）若直线经过点且与垂直，求的方程，并化成一般式； （3）若为坐标原点，求中边上的中线所在直线的方程，并化成一般式. 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段上的动点. （1）若为线段的中点，证明：平面平面； （2）若，且，求二面角的余弦值. 18. 已知直线过定点． （1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； （2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）求点到直线的距离 （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山二中2026一2027学年度第一学期高二月考(1) 数学学科试卷 时间：120分钟；总分：150分 一、单项选择题:本大题共8小题，共40分. 1. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减运算，即可得结果. 【详解】由向量的加减运算法则可得： . 故选：C 2. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，即可得到倾斜角. 【详解】因为直线的方程为，则斜率， 且，，所以. 故选：B 3. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的判定方法，列方程求解即得. 【详解】由题意，可得，解得. 故选：B. 4. 若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量线性运算和基本定理即可求解. 【详解】由题意， 令， 所以，解得， 所以在基底下的坐标为， 故选：A 5. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用空间向量的线性运算即得. 【详解】在平行六面体中， 因为，，，点在上，且， 所以. 故选：A 6. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量数量积的几何意义及投影向量的定义，应用向量数量积、模长的坐标运算求向量在向量上的投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A 7. 方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知化为圆的标准方程进行求解即可. 【详解】将方程化简得， 要使得该方程表示圆，则，解得. 故选：C. 8. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 二、多项选择题:本大题共3小题，共18分. 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B：根据两直线平行分析判断；对于C：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D：根据两直线平行斜率相等，即可分析求解. 【详解】对于A，因为直线l：的斜率， 所以直线的一个方向向量为，因为， 所以直线的一个方向向量为，A正确； 对于B，直线，可化为， 所以与重合，B错误； 对于C，点到直线l的距离，故C正确； 对于D，过与直线l平行的直线方程是， 即，故D正确． 故选：ACD. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若，，，是空间任意四点，则有 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若，共线，则 D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中）且，则，，，四点共面 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量加法运算判断A；利用共线向量定理判断B；利用向量共线的意义判断C；利用共面向量定理判断D即可. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B，当时，不存在，故B错误； 对于C，若共线，可以在同一条直线上，故C错误； 对于D，若（其中）， 所以四点共面，故D正确. 故选：ABC. 11. 已知方程，下列叙述正确的是（ ） A. 方程表示的是圆 B. 当时，方程表示过原点的圆 C. 方程表示的圆关于直线对称 D. 方程表示的圆的圆心在x轴上 【答案】BCD 【解析】 【分析】配方得，进而得时表示圆，且圆心为，再依次分析各选项即可. 【详解】解：方程，配方得， 若方程表示一个圆，则，从而，故A错，B正确； 方程表示圆时，圆心为，在直线上，故C，D正确． 故选：BCD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于y轴的对称点坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】点关于轴的对称点,则纵坐标不变，其它坐标变为相反数即可. 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为： 13. 点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线恒过定点，则该定点到点A的距离即为点A到直线的距离的最大值. 【详解】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 故答案为：. 14. 在空间直角坐标系中，已知点，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的坐标公式直接计算求解即可. 【详解】由题意可得，又平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为， 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明. 15. 已知圆C经过点，点，且它的圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若圆D与圆C关于直线对称，求圆D的标准方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求得线段AB的垂直平分线方程，与联立，求得圆心即可； （2）根据圆D与圆C关于直线对称，求得圆心C关于直线的对称点即可. 【详解】（1）已知圆C经过点，点， 则线段AB的垂直平分线方程为：，即 ， 又它的圆心在直线上， 联立，解得， 所以其圆心为，， 所以圆C的标准方程； （2）设圆D的圆心为， 因为圆D与圆C关于直线对称， 所以，解得， 所以圆D的标准方程是 . 16. 已知点，，直线：. （1）若经过点，求在轴上的截距； （2）若直线经过点且与垂直，求的方程，并化成一般式； （3）若为坐标原点，求中边上的中线所在直线的方程，并化成一般式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入直线，得到，再令，求得轴上的截距即可； （2）根据垂直可设直线的方程为，再代入点即可求解； （3）先求得中点坐标，再求中线斜率得到方程即可. 【小问1详解】 （1）若经过点，则， 解得， 对于，令，得，所以在轴上的截距为. 【小问2详解】 依题意可设直线的方程为. 因为直线经过点，所以， 解得，所以的方程为. 【小问3详解】 线段的中点坐标为， 则， 所求直线的方程为， 即. 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段上的动点. （1）若为线段的中点，证明：平面平面； （2）若，且，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直、正方形的性质有、，根据线面垂直的判定得平面，再由线面垂直、等腰三角形的性质有、，最后由线面垂直、面面垂直的判定证明结论. （2）构建空间直角坐标系，求出面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值. 【小问1详解】 由底面，底面，则， 在正方形中，， 由，面，则平面， 由面，所以. 由，E为中点，则 又，面，则平面， 因为面AEF，从而平面平面. 【小问2详解】 以A为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则. 由（1）知：为平面的法向量. 由知：， 因为所以即 又所以， 设平面的法向量为， 由，即，取，则， 所以，又二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知直线过定点． （1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； （2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】（1）或； （2）（ⅰ）；（ⅱ）24， 【解析】 【分析】（1）由题意可得恒过定点，结合直线的截距式方程计算即可求解； （2）（i）由题意可得，解不等式组即可； （ii）由（i）可得，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 将整理可得， 令，可得，所以直线过定点， 若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为； 若直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为， 代入点即可得，解得； 此时直线的方程为； 综上可知直线的方程为或； 【小问2详解】 （ⅰ）显然，求得：， 依题意得：， 解得； （ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为； 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 此时直线的方程为. 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）求点到直线的距离 （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出等腰三角形腰上的高即可求出点到直线的距离. （2）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）利用向量法可求出点P到平面的距离． 【小问1详解】 三棱锥中，平面，平面，则， 又，，，则， ，， 于是等腰腰上的高， 由，分别是棱，的中点，得，是的中位线， 所以点到直线的距离为. 【小问2详解】 依题意：以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 又，，分别是棱，，的中点，， 得， 则，设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 点P到平面的距离， 所以点P到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $