河北省唐山市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026唐山一中高二上学期12月月考 一、单选题 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】把抛物线方程化为标准方程后得焦参数，可得焦点坐标． 【详解】抛物线方程为，，，焦点为. 故选：D. 2．已知数列的通项公式，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】通过赋值求得，即可求得结果. 【详解】因为，故可得，则. 故选：. 3．过抛物线的焦点作倾斜角为120°的直线交抛物线于、两点，则长为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】先求出直线AB的方程，利用“设而不求法”求解. 【详解】根据抛物线方程得：焦点坐标. 直线AB的斜率为,由直线方程的点斜式方程可得AB: . 将直线方程代入到拋物线当中,整理得：. 设，则有，. 所以弦长. 故选：A 4．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取点，推理证明得，把问题转化为求点M到定点B，N距离和的最小值作答. 【详解】如图，点M在圆上，取点，连接，有， 当点不共线时，，又，因此∽， 则有，当点共线时，有，则， 因此，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：圆及圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 5．已知是圆（）上任意一点，若是定值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知此圆夹在两直线和之间时，是定值，得，解不等式组即可得解. 【详解】由题意得，（，分别表示点到直线和的距离）．由题意可知此圆夹在两直线和之间时，是定值，所以可得，又因为，得. 故选：A． 【点睛】一般处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法，通过比较圆心到直线的距离与半径的大小判断；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 6．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为 A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论． 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2， 设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得， 4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos ∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：， ∴≥2 ∴， 故选D．    【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题． 7．在平面直角坐标系 中，已知抛物线的焦点为是抛物线 上位于第一象限内的任意一点，是线段 上的点，且满足，则直线 的斜率的最大值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由可得：，即，从而， 即， 根据得：. 本题选择D选项. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点点处的切线为直线，过作直线的垂线，垂足在圆上，当时，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出图形，结合椭圆的光学性质求出即可. 【详解】延长至，使，连接， 由直线是椭圆在点点处的切线，且，得三点共线，， 而为的中点，则，即， 令椭圆半焦距为，当时，设，则，解得， ，即， 所以椭圆的离心率. 故选：B 二、多选题 9．等差数列中，已知，则正确的结论是（      ） A． B． C．是中最小值 D． 【答案】ACD 【分析】由可得，从而可得正确的选项. 【详解】因为，故. 故，，故A正确，B错误. 而，故是中最小值，故C正确. ，故，故D正确. 故选：ACD. 10．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，存在唯一点P使得DP与直线的夹角为 C．当时，的最小值为 D．当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值即可. 【详解】当时，如图（1），的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正确； 当时，如图（1），点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，故B错误； 当时，如图（2），点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知．故C正确； 当点落在以为球心，为半径的球面上时，点的轨迹为以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 则的轨迹方程为：，设， 有可得， 故，故， 因为，故当时，．故D正确． 故选：ACD． 11．已知抛物线，点，，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P，则下列结论正确的有（ ） A．点P的坐标为 B． C．的面积的最大值为 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】由，可得，得到点处的切线的斜率分别为和，设过点的切线方程为，联立方程组，由，求得，根据，可判断B不正确；由，得出的直线方程为，将代入直线的方程，可判定A正确；设直线的方程为，根据点到直线的距离公式和弦长公式，求得，可判定C正确；由，结合韦达定理，得到，得出不等式组，可判定D不正确. 【详解】由题意，设，由，可得， 所以点处的切线的斜率为，点处的切线的斜率为，设过点的切线方程为，联立方程组，可得，由，可得，又由，则，所以不垂直，所以B不正确； 由，所以的直线方程为，即，将代入直线的方程，可得，由知，方程成立，所以点在直线上，所以A正确； 由点在直线上，可设直线的方程为，则点到的距离为，且，所以，因为，可得，所以的最大值为，所以C正确； 由， 由，所以， 可得，所以，因为，可得，又由，设，可得，即，解得或， 所以的取值范围是，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】易知点在椭圆外，根据椭圆的定义可知，即可得解. 【详解】    如图所示，设椭圆的右焦点为， 由椭圆， 得，，，则， ， 当且仅当在的延长线上时，等号成立， 且， 即的最大值为. 故答案为：13 13．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若是线段的中点，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设出点，的坐标，利用中点坐标公式，斜率公式以及点差法联立即可求解． 【详解】设，，，， 由已知可得：，，且， 把点，的坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 则， 又抛物线的焦点的坐标为，所以， 所以，则，， 所以椭圆的方程为：， 故答案为：． 14．已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由切线长定理结合双曲线定义可得，结合条件可得，由此可得，再根据关系结合离心率定义求结论. 【详解】设该内切圆在，上的切点分别为， 由切线长定理可得，，， 又，， 所以，所以， 所以，故， 所以， 因为，所以， 故，又， 所以. 故答案为：.    四、解答题 15．在数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件可得数列是等差数列，再根据可求出公差，从而可求出数列的通项公式， （2）设数列的前n项和为，则由等差数列的求和公式可求出，由可求得时，，当时，，然后分情况可求出. 【详解】（1）∵，∴， ∴数列是等差数列，设其公差为d． ∵，∴， ∴ （2）设数列的前n项和为，则由（1）可得， 由（1）知，令，得， ∴当时，， 则 ； 当时，，则， ∴ 16．如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）依题可知，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证出平面平面； （2）方法一：依题意建立相应的空间直角坐标系，求得平面的法向量，设与平面所成角为，利用线面角的向量公式即可求出． 【详解】（1）由已知可得，，，又，所以平面. 又平面，所以平面平面； （2）[方法一]：向量法 作，垂足为.由（1）得，平面. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，设，建立如图所示的空间直角坐标系. 由（1）可得，.又，，所以.又，，故，可得. 则 为平面的法向量. 设与平面所成角为，则. 所以与平面所成角的正弦值为. [方法2]：向量法 如图3所示以E为原点建系．设正方形边长为2，由（1）知，平面，则平面，故．易求，则点P到直线的距离为，从而． 又，故，而平面的一个法向量，故与平面所成角的正弦值． [方法3]：【最优解】定义法 如图4，作，垂足为H，联结． 由（1）知，平面,因此为与平面所成的角． 设正方形的边长为2，则，在中，． 又因为，由知，．又因为，所以在中，． 所以与平面所成角的正弦值为． [方法4]：等积法 不妨设，则．，又，所以平面．设点P到平面的距离为d，根据，即，解得．于是与平面所成角的正弦值为． 【整体点评】（2）方法一：建立空间直角坐标系利用线面角的向量公式求解，可算作通性通法； 方法二：同方法一，只是建系方式不一样； 方法三：利用线面角的定义求解，计算量小，是该题的最优解； 方法四：利用等积法求出点P到平面的距离，再根据线面角的正弦公式即可求出，是线面角的常见求法． 17．已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点且与交于两点，的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设圆心坐标，由圆过的两点建立方程求出圆心半径即得. （2）求出直线方程及线段长，由三角形面积求得点到直线距离，由点到直线距离可得，再求出直线并与圆的方程联立求出点的坐标. 【详解】（1）由圆心在直线上，设点，由圆过点， 得，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）由点，得， 由的面积为2，得点到直线的距离为， 直线方程为，即，则点到直线的距离为， 而，即直线不可能过的中点，因此，直线方程为， 由，解得或， 所以或. 18．如图，点是椭圆：()的一个顶点，的长轴是圆：的直径.，是过点P且互相垂直的两条直线，其中交椭圆于另一点D，交圆于A，B两点. （1）求椭圆的方程： （2）当的面积取得最大值时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意可得，，即可得到椭圆的方程； （2）设，，，，，．由题意可知：直线的斜率存在，设为，则直线的方程为．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心到直线的距离和弦长，又，可得直线的方程为，与椭圆的方程联立即可得到点的横坐标，即可得出，即可得到三角形的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到的值． 【详解】解：（1）由题意可得，，即． 椭圆的方程为； （2）设，，，，，． 由题意可知：直线的斜率存在，设为，则直线的方程为． 又圆的圆心到直线的距离． ． 又，故直线的方程为，联立，消去得到，解得， ． 三角形的面积， 令，则， ， ，当且仅，即，当时取等号， 故所求直线的方程为． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19．已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点为，点是双曲线上异于，的一点，且直线，的斜率之积为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若垂直于轴，且，直线与双曲线相切，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明为定值，并求此定值；（注：过双曲线上一点且与双曲线相切的直线方程为） (3)在（2）的条件下，已知直线与双曲线交于点，（异于点），若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用斜率坐标公式，结合双曲线方程求出，进而求出渐近线方程. （2）结合（1）的结论求出双曲线方程，设出切点坐标，写出切线方程，求出点坐标即可求解. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求得，再讨论直线斜率不存在的情况，确定直线所过定点即可推理得证. 【详解】（1）依题意，，设点，则，即， 直线，的斜率之积为，得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）设，由轴，得，则， 解得，双曲线：， 设直线与双曲线相切的切点为，， 直线方程为，则点，点， ， 而，所以，即为定值. （3）当直线斜率存在时，设其方程为：，，而， 由消去y并整理得， 有，，即且， ，， ，由以为直径的圆经过点，得， 则，， 于是，化简得， 即，而直线不过点，即，因此， 直线：过定点， 当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：， 由解得或，则点的横坐标均为， 即直线过定点，因此直线过定点， 由于，得点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径， 所以存在定点，使为定值. 试卷第6页，共20页 试卷第5页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026唐山一中高二上学期12月月考 一、单选题 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的通项公式，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．过抛物线的焦点作倾斜角为120°的直线交抛物线于、两点，则长为（    ） A．2 B． C． D．1 4．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知是圆（）上任意一点，若是定值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为 A．3 B．2 C． D． 7．在平面直角坐标系 中，已知抛物线的焦点为是抛物线 上位于第一象限内的任意一点，是线段 上的点，且满足，则直线 的斜率的最大值为 A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点点处的切线为直线，过作直线的垂线，垂足在圆上，当时，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．等差数列中，已知，则正确的结论是（      ） A． B． C．是中最小值 D． 10．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，存在唯一点P使得DP与直线的夹角为 C．当时，的最小值为 D．当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为 11．已知抛物线，点，，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P，则下列结论正确的有（ ） A．点P的坐标为 B． C．的面积的最大值为 D．的取值范围是 三、填空题 12．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为 . 13．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若是线段的中点，则椭圆的方程为 ． 14．已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 四、解答题 15．在数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 16．如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 17．已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点且与交于两点，的面积为2，求点的坐标． 18．如图，点是椭圆：()的一个顶点，的长轴是圆：的直径.，是过点P且互相垂直的两条直线，其中交椭圆于另一点D，交圆于A，B两点. （1）求椭圆的方程： （2）当的面积取得最大值时，求直线的方程. 19．已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点为，点是双曲线上异于，的一点，且直线，的斜率之积为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若垂直于轴，且，直线与双曲线相切，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明为定值，并求此定值；（注：过双曲线上一点且与双曲线相切的直线方程为） (3)在（2）的条件下，已知直线与双曲线交于点，（异于点），若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使得为定值． 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $