专题06频率估计概率及概率应用期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题06频率估计概率及概率应用期中复习讲义 知识点 01 频数、频率、概率基础概念 频数：多次重复试验中，某随机事件实际发生的次数。 频率：事件发生频数与试验总次数的比值。 计算公式：频率= 概率：随机事件本身固有的理论发生可能性大小，是固定常数。 知识点 02 频率与概率的区别和联系 知识点 03 频率稳定性定理 定理内容：大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会稳定在某一个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。 关键结论：试验的总次数越大，用频率估计得到的概率精准度越高。 知识点 04 频率估计概率相关计算与适用场景 1.两个核心公式 估算概率：试验次数足够多时，P(A)稳定频率 ② 预估事件发生次数：预估频数=总试验次数估计概率 2.适用场景 ① 试验结果不相等、结果无限，无法使用列表 / 树状图求理论概率； ② 生活统计类试验：产品合格率、种子发芽率、投篮命中率、降雨概率等。 知识点 05 等可能事件求概率通用方法（列表法、树状图法） 适用条件：试验结果有限，每一种结果出现的可能性完全相同，多用于两步及以上随机试验。 标准解题步骤 判断试验结果是否为等可能； 列表或画树状图，不重不漏列出所有等可能结果； 统计符合题意的结果数量、全部结果总数； 代入概率公式：P(A)= 知识点 06 放回试验与不放回试验对比 知识点 07 概率典型应用及实际意义 1：判断游戏公平性 判断标准：分别计算游戏双方获胜的概率 双方获胜概率相等 → 游戏公平； 双方获胜概率不相等 → 游戏不公平。 修改规则方法：不改变试验方式，调整得分规则，使双方「获胜概率 × 对应分值」相等，即可让游戏公平。 2：生活实际概率模型 常见题型背景：摸球、转盘、掷骰子、抽奖、抽签、物品配对问题； 解题思路：将实际情境转化为等可能概率模型，使用列表法或树状图计算概率。 3：概率的实际意义 （1）概率数值大小仅代表事件发生可能性高低，无法确定单次试验结果； （2）P(A)=1：必然事件，一定会发生；P(A)=0：不可能事件，一定不会发生； （3）概率反映大量重复试验下的整体规律，不能用来预判单次随机结果。 1、混淆频率与概率的概念 易错提醒：频率是试验产生的统计值，具有波动性；概率是事件本身固有的恒定值。只有大量重复试验后趋于稳定的频率，才可以用来估计概率，不可将单次试验的频率直接等同于概率。 2、少量试验也用来估计概率 易错提醒：频率稳定于概率的前提是大量重复试验；试验次数过少时，频率与概率可能存在较大偏差，不能够用来估计概率。 3、选取不稳定的频率值估计概率 易错提醒：用频率估计概率，不能选用某一次或者少数几次的试验结果；应当选取多次试验之后，持续稳定的数值作为概率的估计值。 4、忽略古典概型的两个必备条件 易错提醒：使用公式P(A)=的前提：试验结果总数有限、各个结果发生的可能性相等。不满足等可能性，不可套用该公式。 5、列举基本事件出现重复或者遗漏 易错提醒：求解概率时，采用列表或树状图列举结果，必须做到不重不漏；要严格区分放回试验与不放回试验，两种情形对应的基本事件总数不一样。 6、误把概率当成必然发生的保证 易错提醒：某事件的概率为P，只代表发生可能性的大小；不表示做对应次数的试验，这件事就一定会发生。 7、计算期望时混淆理论值和实际值 易错提醒：概率算出的是理论上的预期数量，仅为预测结果；实际试验得到的数量不一定和理论数值完全相等。 8、审题不清忽略是否有序 易错提醒：列举事件时，要注意元素是否具有顺序性；有序和无序得到的基本事件总数不同，不可混用。 题型 考察方向 难度 题型一 关于频率与概率关系说法的正误 ★ 题型二 求某事件的频率 ★ 题型三 由频率估计概率 ★★ 题型四 用频率估计概率的综合应用 ★★★ 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 ★★ 题型六 概率在保险业中的应用 ★★ 题型七 概率在转盘抽奖中的应用 ★★★ 题型八 概率在比赛中的应用 ★★★ 题型九 概率的其他应用 ★★ 题型十 游戏的公平性 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 关于频率与概率关系说法的正误 1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ） A．频率等于概率 B．实验得到的频率与概率不可能相等 C．当实验次数很小时，概率稳定在频率附近 D．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 【答案】D 【分析】根据频率概率的关系进行判断即可. 【详解】A.频率只能估计概率，故此选项错误； B. 实验得到的频率与概率可能相等，故此选项错误； C. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项错误； D. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近，正确. 故选D. 【点睛】本题考查频率与概率的关系，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果. 2．小明经一枚均匀的硬币抛掷了10次，正面朝上的情况出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则下列说法正确的是（  ） A．A的概率是0.6 B．A的频率是0.6 C．A的频率是6 D．A的频率接近0.6 【答案】B 【分析】根据概率公式和频率公式逐一判断即可． 【详解】解：硬币正面朝上的概率为，故A错误； ∵小明经一枚均匀的硬币抛掷了10次，正面朝上的情况出现了6次， ∴A的频率是6÷10=0.6，故B正确，C、D错误． 故选B． 【点睛】此题考查的是求概率和频率问题，掌握概率公式和频率公式是解决此题的关键． 3．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子粒数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子粒数 187 282 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个说法： ①种子粒数是700时，发芽种子的粒数是624，所以种子发芽的概率是0.91； ②随着试验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9； ③试验的种子粒数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是该作物种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽． 其中合理的是____________（填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，掌握大量重复试验中频率稳定值可估计概率是解题的关键． 根据频率与概率的关系，大量重复试验中频率稳定值可估计概率，但单次试验频率不一定等于概率． 【详解】解：①错误，当种子粒数为700时，发芽的频率为；且用频率估计概率需要大量重复试验，单次试验的结果具有偶然性，不能代表一般情况，故该说法错误，不符合题意； ②正确，因为随着试验种子数量的增加，发芽频率在0.9附近摆动，显示出稳定性，可估计概率约为0.9，符合题意； ③错误，频率与概率不一定相等，不符合题意； ④正确，用概率0.9估计，不能发芽的概率约为0.1，1000kg种子中不能发芽的种子约为100kg，符合题意． 故答案为：②④． 题型二 求某事件的频率 4．今天的日期是：20240425，在这串数字中，0出现的频率是______． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，掌握频率的计算方法成为解题的关键． 据日期“20240425”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：日期“20240425”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，数字“2”出现的频率是． 故答案为：． 5．某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 6．50张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色后放回，洗匀后再抽，抽到红桃、黑桃、梅花、方片的频率依次是16％、24％、8％、52％，估计四种花色分别有________张． 【答案】8，12，4，26 【分析】根据频数和频率的概念求解． 【详解】50×16%=8， 50×24%=12， 50×8%=4， 50×52%=26． 故答案为8，12，4，26． 【点睛】本题考查了频数和频率的知识，频数是指每个对象出现的次数；频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值． 7．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 题型三 由频率估计概率 8．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 【答案】0.618 【分析】根据图象，利用频率估算概率即可. 【详解】解：由图象可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在0.618附近，故“钉尖向上”的概率是0.618. 9．一个不透明的袋中装有红、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如下表： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸到红球的频数 28 58 121 183 238 301 摸到红球的频率 0.280 0.290 0.303 0.305 0.298 0.301 请估计袋中红球的个数是_____． 【答案】15 【详解】解：由表格数据可知，随着摸球次数增大，摸到红球的频率逐渐稳定在． 因此估计摸到红球的概率为． 则估计袋中红球的个数为． 10．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 有2个人同月过生日的次数 79 229 385 781 1251 1562 有2个人同月过生日的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，观察表格中频率的变化趋势即可求解． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增大，该事件的频率逐渐稳定在附近． ∴估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 题型四 用频率估计概率的综合应用 11．在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了频数、频率及总数间的关系，熟练掌握三者间的关系是解题的关键．用球的总个数分别乘以摸到白球频率求出其对应个数，继而可得答案． 【详解】解：根据题意得：个， 即估计口袋中白球的个数是18个． 故选：B 12．某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为________． 【答案】100条 【分析】根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可． 【详解】∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右， ∴捕捞到草鱼的概率约为0.4， 设该鱼塘中有草鱼x条，根据题意得：， 解得：x＝100， ∴该鱼塘中草鱼的数量为100条． 故答案为：100条． 【点睛】本题考查了频率估计概率，明确概率公式是解题的关键． 13．在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】设红球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个， 根据题意得：＝， 解得：x≈6， 经检验：x＝6是分式方程的解， 即红球有6个， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 14．若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 【答案】10 【分析】本题考查了利用概率计算随机事件发生的平均次数．根据概率的意义，事件A平均每200次发生的次数等于试验次数乘以概率，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵事件A发生的概率是， ∴大量重复试验中，平均每200次发生的次数为， 故答案为：10． 15．一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【答案】4 【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可． 【详解】解：∵产品的抽样合格率为， ∴产品的抽样不合格率为 ∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品 故答案为：4． 【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提． 16．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 题型六 概率在保险业中的应用 17．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求解每位乘客的最低保险费． 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 18．某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 【答案】(1) (2)不低于元 【分析】本题主要考查了概率的应用，频率估计概率： （1）根据频率估计概率解答即可； （2）设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：估计长途客车一次行驶的失事概率． （2）解：设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次， 由题意可得：， 解得：， 答：保险公司应该向每位乘客收取不低于元的保险费． 19．某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 【答案】(1)10 (2) (3)元 【分析】本题主要考查了频数分布表，求概率，求平均数： （1）用100减去出险次数为0，1，3，4，的频数，即可求出m的值； （2）求出本年度保险费不高于基本保险费的频数，再根据概率公式计算即可； （3）根据平均数的公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：10； （2）解：本年度保险费不高于基本保险费的频数为：， ∴其本年度保险费不高于基本保险费的概率； （3）解：续保人本年度保险费的平均值（元）． 题型七 概率在转盘抽奖中的应用 20．某商店老板为了吸引顾客，想设计一个可以自由转动的转盘，并规定凡购物的顾客都可转动一次转盘．如果转盘停止后，指针正好对准阴影区域，则可以获得折优惠．老板设计了一个如图所示的转盘，则顾客转动一次可以打折的概率为________________．    【答案】 【分析】根据可得阴影部分面积占总面积的，进而即可得到答案． 【详解】∵， ∴阴影部分面积占总面积的，即：顾客转动一次可以打折的概率为． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查几何图形与概率，掌握概率公式是解题的关键． 21．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 22．2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【答案】 【详解】解：指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，结果有“骐骐”，“骥骥”，“驰驰”，“骋骋”，共4种等可能的结果，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果为1种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为． 题型八 概率在比赛中的应用 23．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 24．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 25．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 题型九 概率的其他应用 26．如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率公式求解． 【详解】解：由转盘被等分成三个扇形可知：有3种等可能的结果，转盘停止后指向奇数的情况有2种， 所以指针指向的数字为奇数的概率是． 故选D． 【点睛】本题考查的是概率公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 27．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【答案】B 【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可． 【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； ∵， ∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 28．从这三个数中任取两个不同的数作二次函数中的b、c，所得二次函数的图象一定经过原点的概率是______． 【答案】 【分析】从3个中取两个共有3×2=6种情况．再分别代入二次函数中，把（0，0）代入，找出满足的点的个数除以总的个数即可． 【详解】依题意有6种取法，满足条件的有：b=-1，c=0与b=1，c=0两种情况， 故概率为：． 故本题答案为：. 【点睛】本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定，比较简单. 题型十 游戏的公平性 29．家里只剩一块儿巧克力了，哥哥和弟弟都想得到它，妈妈给他们一个骰子，让他们设计一个游戏，获胜的就得到巧克力．哥哥说“掷出2时哥哥胜，掷出1时弟弟胜，若掷出其它数字就再掷一次，直到掷出1或2”，弟弟说这不公平，2比1大．你认为这个游戏公平吗？填空：________．（填“公平或不公平”） 【答案】公平 【分析】计算双方获胜的概率，比较概率是否相等，若概率相等则游戏公平，否则不公平． 【详解】解：任意掷一次骰子，共有6种等可能的结果，掷出1和掷出2的概率都是， 哥哥与弟弟获胜的概率是完全相等的，都为，因此这个游戏公平． 30．如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 【答案】D 【分析】此题考查了游戏公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 对图①、图②分别是两种站立方式分别进行判断即可． 【详解】解：图①中，若干名同学到筐的距离不相等，则图①不公平； 图②中，若干名同学到筐的距离相等，则图②公平； 故选：D． 31．小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？_____（填“公平”或“不公平”）．    【答案】不公平 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与拼成房子的情况，再利用概率公式求解即可求得小李赢与小王赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平． 【详解】解：设三张纸片分别用A，B，C表示 画树状图得：   共有6种等可能的结果，能拼成房子的有4种情况 ， 这个游戏不公平 故答案为：不公平 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，解题关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 解答题 1．下列说法正确吗？请说明理由． (1)在做抛瓶盖的试验时，每名学生用不同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班学生的数据进行估计； (2)在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的； (3)在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值． 【答案】(1)说法不正确，理由如下：在做抛瓶盖的试验时，每名学生应该尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班学生的数据进行估计，这样做的目的是保证试验条件一致，汇总全班数据增大了试验次数，能提高估计的准确性，符合频率估计概率的试验要求． (2)说法不正确，理由如下：因为随机事件发生的概率是固定的确定值，频率是每次试验得到的不确定数值，频率的不确定性不影响概率的确定性，所以原说法错误． (3)说法不正确，理由如下：因为用频率估计概率得到的是概率的近似值，即使试验次数足够多，也无法得到概率的精确值，所以原说法错误． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 (1)表中________；________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少？ 【答案】(1)0.57；0.604 (2)0.6 (3)12 【分析】（1）直接根据概率公式：频率频数总次数计算即可； （2）大量重复试验可以说明摸到白球概率约为； （3）先求出原来盒子里的白球数，再考虑放了个球后盒子内总球数和白球数量，利用白球数量总球数计算即可． 【详解】（1）解：根据频率公式得，； （2）解：通过统计表可观察出随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在0.6左右， 故估计摸到白球的概率约为0.6． （3）解：原盒子里共有白球数为（个），现放了2个白球，则放了个黑球，现在盒子里共有个球， 根据题意，得，解得． 3．一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【答案】支 【分析】将集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段获得新图案平均需要购买的雪糕数，再求和得到总的平均购买数． 【详解】解 我们把集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段的平均购买数量再求和. 获得第一种不同图案阶段： 此时没有任何图案，买1支一定能得到第一种图案，该阶段平均需要买1支； 获得第二种不同图案阶段： 已经获得1种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第三种不同图案阶段： 已经获得2种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第四种不同图案阶段： 已经获得3种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 总平均购买次数为： （支）． 答：平均要买支雪糕才能得奖． 4．春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． (1)某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； (2)请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 【答案】(1) (2)方案二 【分析】（1）列举出所有可能即可求； （2）分别求出两种方案下平均获奖的情况即可． 【详解】（1）解：所有可能的情况有6种，①正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；②正面朝上指针指向100元，获得100元购物券；③正面朝上指针指向谢谢，不得奖；④正面朝下指针指向50元，购物券金额减半获得25元购物券；⑤正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券；⑥正面朝下指针指向谢谢，不得奖；其中一次获得50元购物券的情况有2种：分别是正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券； 故一次获得50元购物券的概率为； （2）解：由（1）知，方案一：一次获得100元购物券的情况只有1种，故一次获得100元购物券的概率为；一次获得25元购物券的情况只有1种，故一次获得25元购物券的概率为； 一次平均获奖（元）， 方案二：直接获奖40元， 则顾客选择方案二更合算． 5．贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 6．小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则公平 理由如下：画树状图如下 共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为正数的结果有8个，两人抽取卡片上的数字之积为负数的结果有8个， （小明胜），P（小亮胜）， ∴小明胜的概率=小亮胜的概率， ∴这个游戏规则公平． 【分析】（1）根据卡片上标有数字为负数的个数和概率公式进行解答即可； （2）画出树状图并利用概率公式分别求出小明胜和小亮胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵卡片上分别标有数字，，2，3．负数共2个， ∴小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为． （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06频率估计概率及概率应用期中复习讲义 知识点 01 频数、频率、概率基础概念 频数：多次重复试验中，某随机事件实际发生的次数。 频率：事件发生频数与试验总次数的比值。 计算公式：频率= 概率：随机事件本身固有的理论发生可能性大小，是固定常数。 知识点 02 频率与概率的区别和联系 知识点 03 频率稳定性定理 定理内容：大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会稳定在某一个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。 关键结论：试验的总次数越大，用频率估计得到的概率精准度越高。 知识点 04 频率估计概率相关计算与适用场景 1.两个核心公式 估算概率：试验次数足够多时，P(A)稳定频率 ② 预估事件发生次数：预估频数=总试验次数估计概率 2.适用场景 ① 试验结果不相等、结果无限，无法使用列表 / 树状图求理论概率； ② 生活统计类试验：产品合格率、种子发芽率、投篮命中率、降雨概率等。 知识点 05 等可能事件求概率通用方法（列表法、树状图法） 适用条件：试验结果有限，每一种结果出现的可能性完全相同，多用于两步及以上随机试验。 标准解题步骤 判断试验结果是否为等可能； 列表或画树状图，不重不漏列出所有等可能结果； 统计符合题意的结果数量、全部结果总数； 代入概率公式：P(A)= 知识点 06 放回试验与不放回试验对比 知识点 07 概率典型应用及实际意义 1：判断游戏公平性 判断标准：分别计算游戏双方获胜的概率 双方获胜概率相等 → 游戏公平； 双方获胜概率不相等 → 游戏不公平。 修改规则方法：不改变试验方式，调整得分规则，使双方「获胜概率 × 对应分值」相等，即可让游戏公平。 2：生活实际概率模型 常见题型背景：摸球、转盘、掷骰子、抽奖、抽签、物品配对问题； 解题思路：将实际情境转化为等可能概率模型，使用列表法或树状图计算概率。 3：概率的实际意义 （1）概率数值大小仅代表事件发生可能性高低，无法确定单次试验结果； （2）P(A)=1：必然事件，一定会发生；P(A)=0：不可能事件，一定不会发生； （3）概率反映大量重复试验下的整体规律，不能用来预判单次随机结果。 1、混淆频率与概率的概念 易错提醒：频率是试验产生的统计值，具有波动性；概率是事件本身固有的恒定值。只有大量重复试验后趋于稳定的频率，才可以用来估计概率，不可将单次试验的频率直接等同于概率。 2、少量试验也用来估计概率 易错提醒：频率稳定于概率的前提是大量重复试验；试验次数过少时，频率与概率可能存在较大偏差，不能够用来估计概率。 3、选取不稳定的频率值估计概率 易错提醒：用频率估计概率，不能选用某一次或者少数几次的试验结果；应当选取多次试验之后，持续稳定的数值作为概率的估计值。 4、忽略古典概型的两个必备条件 易错提醒：使用公式P(A)=的前提：试验结果总数有限、各个结果发生的可能性相等。不满足等可能性，不可套用该公式。 5、列举基本事件出现重复或者遗漏 易错提醒：求解概率时，采用列表或树状图列举结果，必须做到不重不漏；要严格区分放回试验与不放回试验，两种情形对应的基本事件总数不一样。 6、误把概率当成必然发生的保证 易错提醒：某事件的概率为P，只代表发生可能性的大小；不表示做对应次数的试验，这件事就一定会发生。 7、计算期望时混淆理论值和实际值 易错提醒：概率算出的是理论上的预期数量，仅为预测结果；实际试验得到的数量不一定和理论数值完全相等。 8、审题不清忽略是否有序 易错提醒：列举事件时，要注意元素是否具有顺序性；有序和无序得到的基本事件总数不同，不可混用。 题型 考察方向 难度 题型一 关于频率与概率关系说法的正误 ★ 题型二 求某事件的频率 ★ 题型三 由频率估计概率 ★★ 题型四 用频率估计概率的综合应用 ★★★ 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 ★★ 题型六 概率在保险业中的应用 ★★ 题型七 概率在转盘抽奖中的应用 ★★★ 题型八 概率在比赛中的应用 ★★★ 题型九 概率的其他应用 ★★ 题型十 游戏的公平性 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 关于频率与概率关系说法的正误 1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ） A．频率等于概率 B．实验得到的频率与概率不可能相等 C．当实验次数很小时，概率稳定在频率附近 D．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 2．小明经一枚均匀的硬币抛掷了10次，正面朝上的情况出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则下列说法正确的是（  ） A．A的概率是0.6 B．A的频率是0.6 C．A的频率是6 D．A的频率接近0.6 3．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子粒数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子粒数 187 282 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个说法： ①种子粒数是700时，发芽种子的粒数是624，所以种子发芽的概率是0.91； ②随着试验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9； ③试验的种子粒数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是该作物种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽． 其中合理的是____________（填序号）． 题型二 求某事件的频率 4．今天的日期是：20240425，在这串数字中，0出现的频率是______． 5．某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 6．50张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色后放回，洗匀后再抽，抽到红桃、黑桃、梅花、方片的频率依次是16％、24％、8％、52％，估计四种花色分别有________张． 7．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 题型三 由频率估计概率 8．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 9．一个不透明的袋中装有红、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如下表： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸到红球的频数 28 58 121 183 238 301 摸到红球的频率 0.280 0.290 0.303 0.305 0.298 0.301 请估计袋中红球的个数是_____． 10．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 有2个人同月过生日的次数 79 229 385 781 1251 1562 有2个人同月过生日的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（     ） A． B． C． D． 题型四 用频率估计概率的综合应用 11．在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 12．某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为________． 13．在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 14．若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 15．一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 16．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 题型六 概率在保险业中的应用 17．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 18．某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 19．某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 题型七 概率在转盘抽奖中的应用 20．某商店老板为了吸引顾客，想设计一个可以自由转动的转盘，并规定凡购物的顾客都可转动一次转盘．如果转盘停止后，指针正好对准阴影区域，则可以获得折优惠．老板设计了一个如图所示的转盘，则顾客转动一次可以打折的概率为________________．    21．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 22．2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 题型八 概率在比赛中的应用 23．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 24．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 25．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 题型九 概率的其他应用 26．如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 27．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 28．从这三个数中任取两个不同的数作二次函数中的b、c，所得二次函数的图象一定经过原点的概率是______． 题型十 游戏的公平性 29．家里只剩一块儿巧克力了，哥哥和弟弟都想得到它，妈妈给他们一个骰子，让他们设计一个游戏，获胜的就得到巧克力．哥哥说“掷出2时哥哥胜，掷出1时弟弟胜，若掷出其它数字就再掷一次，直到掷出1或2”，弟弟说这不公平，2比1大．你认为这个游戏公平吗？填空：________．（填“公平或不公平”） 30．如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 31．小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？_____（填“公平”或“不公平”）．    解答题 1．下列说法正确吗？请说明理由． (1)在做抛瓶盖的试验时，每名学生用不同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班学生的数据进行估计； (2)在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的； (3)在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值． 2．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 (1)表中________；________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少？ 3．一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 4．春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． (1)某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； (2)请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 5．贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 6．小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $