第1章·二次函数·期中复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1章·二次函数·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，能根据定义求二次项系数中的参数，并能根据实际问题列出二次函数关系式 · 掌握二次函数 y=ax2、y=a(x-h)2+k 与 y=ax2+bx+c 的图象与性质，能说出开口方向、对称轴、顶点坐标与最值 · 会用配方法将一般式化为顶点式，能根据已知条件灵活选用一般式、顶点式、交点式求二次函数解析式 · 理解二次函数图象的平移规律，能进行不同形式抛物线之间的图象变换 · 掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系，能建立坐标系解决投球、拱桥、营销等实际问题的最值与综合应用 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a、b、c分别是二次项、一次项系数和常数项 识别二次函数的关键是二次项系数a≠0：a=0时退化为一次函数或常数函数，b、c可为任意实数 由定义求参数：令最高次项次数等于2，同时保证二次项系数不为0，两者缺一不可 列二次函数关系式：先找实际问题中的等量关系，再用含自变量x的式子表示函数y，并注意自变量取值范围 概念辨析例题：已知函数 y=(m-2)xm^{2}-2+3x-1 是关于x的二次函数，求m的值 答案：m=-2 解析：由二次函数定义需同时满足两个条件：m2-2=2 且 m-2≠0。由 m2-2=2 得 m=±2；又 m-2≠0 即 m≠2，故 m=-2。 ☆ 2.二次函数的图象与性质 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向由a决定：a>0开口向上，a<0开口向下；|a|越大开口越小 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为 (-, ) 顶点式 y=a(x-h)2+k 的顶点为 (h,k)，对称轴为直线 x=h；a>0时当x=h取最小值k，a<0时取最大值k 增减性：a>0时在对称轴左侧y随x增大而减小、右侧y随x增大而增大；a<0时相反 对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧，异号时在右侧；c决定抛物线与y轴交点(0,c)的位置 概念辨析例题：求抛物线 y=x2-4x+3 的对称轴、顶点坐标，并指出当x取何值时y有最值 答案：对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,-1)，当x=2时y有最小值-1 解析：配方得 y=x2-4x+3=(x-2)2-1，故顶点为(2,-1)，对称轴为直线x=2；a=1>0，抛物线开口向上，当x=2时y取最小值-1。 ☆ 3.二次函数解析式的求法 一般式 y=ax2+bx+c：已知图象上三个点的坐标时选用，代入得到三元一次方程组 顶点式 y=a(x-h)2+k：已知顶点坐标或对称轴与另一点时选用 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)：已知抛物线与x轴两个交点(x1,0)、(x2,0)时选用 配方法化顶点式：y=ax2+bx+c=a(x+)2+，注意提取二次项系数后常数项要平衡 待定系数法的一般步骤：设解析式→代入已知点坐标→解方程组→回写解析式并检验 概念辨析例题：已知二次函数图象的顶点为(1,-4)，且经过点(0,-3)，求这个二次函数的解析式 答案：y=(x-1)2-4=x2-2x-3 解析：已知顶点设顶点式 y=a(x-1)2-4；代入点(0,-3)得 a(0-1)2-4=-3，解得a=1；故 y=(x-1)2-4，展开为 y=x2-2x-3。 ☆ 4.二次函数与一元二次方程、不等式 抛物线 y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 判别式 Δ=b2-4ac：Δ>0时抛物线与x轴有两个交点，Δ=0时有一个交点（相切），Δ<0时没有交点 y>0对应图象在x轴上方的x取值范围，y<0对应图象在x轴下方的范围，可借助图象解不等式 图象法求一元二次方程的近似根：先估计抛物线与x轴交点所在范围，再逐步缩小 概念辨析例题：求抛物线 y=x2-2x-3 与x轴的交点坐标，并指出当x取何值时y>0 答案：交点为(-1,0)和(3,0)；当x<-1或x>3时y>0 解析：令 y=0，即 x2-2x-3=0，因式分解得 (x-3)(x+1)=0，x=3或x=-1，交点为(3,0)、(-1,0)；a=1>0开口向上，故图象在x轴上方对应x<-1或x>3。 ☆ 5.二次函数的实际应用 最值问题：利润最大、面积最大、用料最省等，先建立二次函数关系式再求顶点处的最值 投球、拱桥、喷水池等问题：建立平面直角坐标系，把已知点坐标化，再求抛物线解析式 营销问题：利润=（售价-成本）×销售量，注意降价与销量增加之间的对应关系 实际问题求出最值后，必须检验结果是否在自变量的实际取值范围内 概念辨析例题：用长为20m的篱笆一面靠墙围成一个矩形花圃，设垂直于墙的边长为x m，求花圃面积的最大值 答案：当x=5 m时，最大面积为50 m2 解析：平行于墙的边长为(20-2x)m，面积 S=x(20-2x)=-2x2+20x=-2(x-5)2+50；a=-2<0，当x=5时S取最大值50 m2。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数定义 y=ax2+bx+c（a≠0） a≠0是关键，b、c任意 开口方向 a>0向上，a<0向下 |a|越大开口越小 对称轴 直线 x=- 顶点式中为直线x=h 顶点坐标 (-, ) 顶点式中为(h,k) 与x轴交点 方程ax2+bx+c=0的根 Δ>0两个、=0一个、<0无 解析式求法 一般式/顶点式/交点式 按已知条件灵活选用 实际应用 建坐标系求最值 注意自变量取值范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与列关系式（第1-11题） · 识别二次函数抓住a≠0：y=ax2+bx+c中二次项系数不能为0 · 由定义求参数时先令最高次项次数为2，再保证二次项系数不为0，两步缺一不可 · 列实际问题关系式先找等量关系，再用含x的式子表示y · 求出关系式后要标明自变量的取值范围，使实际问题有意义 · 判断一个函数是否为二次函数，需先化简整理再按定义判断 1．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为个，则第三个月投放垃圾桶数量为个，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 3．（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为______． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1+涨价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】由题意得：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 6．（2024·浙江舟山·中考真题）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·全国·课堂例题）若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ∴， 解得． 8．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数，求的值． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 又∵，即， 综上所述： 9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段检测）当为何值时，函数是二次函数． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义，可得，且，即可求解． 【详解】解：是二次函数， ，解得， 又 ． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数的定义求参数、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）由（1）可得二次函数解析式，把代入计算即可． 【详解】（1）解：函数是二次函数， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∴当时，． 11．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 【答案】(1) (2)且 【知识点】根据二次函数的定义求参数、求一次函数自变量或函数值、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义，求一次函数值， 对于（1），根据一次函数的定义可得且，再求出m的值，然后将点B的坐标代入关系式可得n； 对于（2），根据二次函数的定义可得求出解即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴一次函数. ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵函数是二次函数， ∴ ∴且． 故答案为：且． 【考点2】二次函数的图象与平移变换（第12-18题） · 抛物线平移规律：左加右减（对括号内的h）、上加下减（对常数项k） · y=a(x-h)2+k 由 y=ax2 平移得到，顶点由(0,0)移到(h,k) · 画图象用描点法：先配方定顶点与对称轴，再取对称点连线 · 抛物线与y轴交点为(0,c)，与x轴交点由对应方程求得 · 平移前后抛物线的形状、开口方向不变，即a不变 12．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】根据轴上的点横坐标为，代入抛物线解析式计算值即可得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上所有点的横坐标都为， ∴在抛物线中，令， 得， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 13．（25-26九年级上·浙江台州·期末）抛物线的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，根据抛物线顶点式 的顶点为解答即可． 【详解】∵ 抛物线解析式为 ， ∴ 顶点坐标为， 故选：A． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于x的方程，它的实数解的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的交点问题，把方程的解的情况转化为二次函数，以及的交点个数问题，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 令，， 则：的解的个数，即为两个函数的交点的个数， 画出函数图象如图： 由图象可知，两个图象只有一个交点， ∴关于x的方程，只有1个实数解． 故选：B． 15．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【详解】二次函数 的大致图象如下： ①当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即， 解得：或(均不合题意，舍去)； ②当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即, 解得： 或时，取最小值， 时取最大值， ， ， ， ∴此种情形不合题意， 所以， 故选：D． 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 【答案】 0 6或1/1或6 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 17．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围__________． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）根据顶点式即可求解； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数最小值为， ∵ ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线． (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)在如图的直角坐标系内用五点法画出该抛物线的图象； (3)写出当x在什么范围内，y随x的增大而减小． 【答案】(1)直线， (2) 画图如下： ； (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查利用五点法画二次函数解析式，利用公式法求对称轴和顶点坐标，判断函数增减性时自变量取值范围等． （1）根据题意利用对称轴和顶点坐标公式代入即可求出本题答案； （2）利用五点法列表描点即可画出图象； （3）通过图象即可得出本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴对称轴为：直线，顶点坐标公式为， ∴顶点坐标：， 故答案为：直线，； （2）解：∵， ∴列表： 0 1 2 3 2 3 2 （3）解：根据图象可知，当时，y随x的增大而减小． 【考点3】二次函数的图象与性质（第19-26题） · 开口方向与大小由a决定，对称轴直线 x=-，顶点坐标公式要记牢 · a、b同号对称轴在y轴左侧，异号在右侧；c决定与y轴交点(0,c) · 最值在顶点处取得：a>0时为最小值，a<0时为最大值 · 比较函数值大小：利用对称性把各点转化到对称轴同侧，再看增减性 · 判断a、b、c及b2-4ac的符号，要结合开口、对称轴位置、与y轴交点和与x轴交点综合分析 19．（21-22九年级下·全国·期末）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、利用不等式求自变量或函数值的范围、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 20．（2024·四川达州·一模）如图，已知抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①②，对称轴，特殊点判断③，与轴的交点个数判断④，最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，；故①②正确； 由图象可知，当时，；故③错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故④正确； ∵时，函数有最大值为， ∴， ∴；故⑤错误； 故选B． 21．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先得到和关于的表达式，再利用，解不等式即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 由于， 则， 解得， 故答案为：． 22．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有__________． 【答案】①③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， 把代入得， ∴，故③正确； ∵，对称轴为直线， ∴， ∴是关于x的一元二次方程的一个根，故④正确； 综上可知，正确的有①③④． 23．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是________． 【答案】①②③ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可． 【详解】由图像可知，，， ∴，故①正确． 当x=时，y=0， 即 ∴ ∴ ∴，故②正确． 由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为 即 化简得，故③正确． ∵对称轴为 ∴ ∴， 将代入有 即 ∴，故④错误． 综上所述①②③正确． 故答案为①②③． 24．（2024·福建泉州·一模）已知二次函数的图象经过点，，若，，都有，则的最大值为_____． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质分和时即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质时解题的关键． 【详解】解：当时，则二次函数的顶点，图象开口向下，最大值为， ∴不符合题意， 当时，图象开口向上，最小值为， ∵，，都有， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）当时，函数的最大值是6，则________． 【答案】或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】该二次函数开口向下，对称轴为，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，计算对应最大值后验证得到符合条件的的值． 【详解】解：函数开口向下，对称轴为直线，分三种情况讨论： 当，即时，函数在上随增大而减小，最大值在处取得，把代入得： ， 令， 解得：， ∵， ∴不符合题意； 当，即时，函数最大值在顶点处取得，且最大值为， ， 解得：或， 只有满足， 符合条件； 当，即时，函数在上随增大而增大，最大值在处取得， 把代入得， 令， 解得：， ∵， ∴符合题意； 综上，或． 26．（2025·浙江·中考真题）在平面直角坐标系运动中，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)图象上有两点． ①若，求的值； ②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在最小值为0 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先由已知求得，再代入求得； ②由于，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由已知，二次函数的图象经过点， ∴， 解得． （2）解：①由题意，， ∴． ； ②存在最小值． 由， 得存在最小值为0． 【考点4】二次函数解析式的求法（第27-32题） · 已知三个点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与x轴交点设交点式 · 配方法化顶点式：先提取二次项系数，再加上并减去一次项系数一半的平方 · 待定系数法的关键是正确解方程组，代入点坐标时注意符号 · 求出解析式后要回代已知点检验是否吻合 · 一般式与顶点式可相互转化，根据题目需要灵活选择形式 27．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 【答案】B 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】按配方法正确步骤逐步比对，即可找到错误起始位置． 【详解】解： ， ∴抛物线的顶点坐标为． 28．（23-24九年级下·全国·课后作业）用配方法将二次函数化成顶点式的形式，下列正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、运用完全平方公式进行运算 【详解】解：． 29．（23-24九年级上·浙江舟山·阶段检测）已知一个二次函数的图象与轴的交点为，，且顶点在函数的图象上，则这个函数的表达式是___． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，求得顶点坐标是解题的关键． 根据二次函数的图象与x轴的两个交点求出此图象的对称轴为直线，然后把代入求得顶点，设抛物线为，代入求得a即可求得结果． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，， ∴对称轴为直线， ∵顶点在函数的图象上， ∴把代入得， ∴顶点为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得，， 解得， ∴函数的表达式是， 故答案为． 30．（2025·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． (1)当时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，求的取值范围． (3)若，且当时，有最小值，求的值． 【答案】(1)该函数图象的顶点坐标 (2) (3)的值是或 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据的值，得到在二次函数图象上，化成顶点式，得到顶点坐标； （2）根据点坐标，表示出，代入到，得到结果； （3）根据题意，得到解析式，结合题意，求得值即可． 【详解】（1）解：， ∴在二次函数图象上， ， 该函数图象的顶点坐标； （2）解：∵，在二次函数的图象上 ∴，， ， ∴ ， （3）解：， ， ， ， 该函数图象的对称轴为直线， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，符合题意， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，不合题意舍去， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得不合题意舍去， 综上所述，的值是或． 31．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点不在此抛物线上 【知识点】y=ax²的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出当时的值，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴此抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在此抛物线上． 32．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，点P是直线l上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段绕点P旋转，得到线段，点C的对应点为点Q，当点Q在抛物线上时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】根据旋转的性质求解、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据旋转的性质求解，的图象与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分点Q在直线l左侧，点Q在直线l的右侧，点Q在抛物线顶点三种情况讨论，分别求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：当点Q在直线l左侧时，如图1， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴对称轴为直线， ∵将线段绕点P旋转，得到线段， ∴，， ∴C与Q关于直线l对称， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点Q在直线l的右侧时，如图2， 过点Q作于F，于E， 由旋转知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴点Q的坐标为， 代入中， 解得∶或（舍去）， ∴Q的坐标为， 当点Q在抛物线顶点时，如图3， 将线段绕点P旋转，得到线段，点C坐标为， 假设P点纵坐标与C点相同， ∵P点坐标为， ∴， ∵，，此时三角形为等腰直角三角形， ∴，Q点坐标为， ∴Q点在抛物线的顶点坐标处． 综上，点Q的坐标为或或． 【考点5】二次函数与一元二次方程、不等式（第33-41题） · 抛物线与x轴交点的横坐标就是方程 ax2+bx+c=0 的根 · 用判别式 Δ=b2-4ac 判断交点个数：Δ>0两个、Δ=0一个、Δ<0无交点 · 解不等式ax2+bx+c>0（或<0）看图象在x轴上方（或下方）对应的x范围 · 图象法求方程近似根：先估交点所在整数范围，再取中间值逐步逼近 · 一次函数与二次函数综合题，联立解析式求交点，再结合图象判断函数值大小 33．（2024·广西柳州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为， 由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为， 故选：A． 34．（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）已知二次函数的图象是常数与轴交于点A，点A与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： 下列结论：①点的坐标是；②这个函数的最大值大于；③有一个根在与之间；④当，时，其中正确的为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质数形结合逐一判断即可． 【详解】解：将，代入得， 解得， ， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 对称轴为直线，函数的最大值为， 点的坐标是；故正确，错误． 判断方程根的情况就是判断方程即方程的根的情况． 即研究二次函数与轴的交点情况， 把代入得，， 把代入得，， 抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间， 有一个根在与之间， 即有一个根在与之间，故正确； 当，时，如图， ， 故正确． 故选：． 35．（2024·四川内江·二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的定义求参数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义等知识．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义是解题的关键． 由题意知，，令，则，由二次函数的图象与轴有公共点，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 令，则， ∵二次函数的图象与轴有公共点， ∴， 解得，， ∴的取值范围是且， 故选：D． 36．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是___________． x 0.4 0.5 0.6 0.7 【答案】 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间， 即． 故答案为：． 37．（2026九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】折叠问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 38．（2024·山东聊城·二模）如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题．解题的关键将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴抛物线与没有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． 39．（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段检测）如图，直线和抛物线都经过点    (1)求m、n的值和抛物线的解析式； (2)求不等式的解集．（直接写出答案） 【答案】(1)，抛物线解析式为 (2)或 【知识点】求一次函数自变量或函数值、待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式，求出直线解析式，进而求出点B坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式求出抛物线解析式即可； （2）利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为， 把代入中得， ∴， 把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：由函数图象可知，当或时抛物线的函数图象在一次函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考出来的待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． 40．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答． （2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 41．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取的值为，使得函数值满足，那么抛物线与轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解． 例5利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解设，则方程的解就是该函数图象与轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象，得到与轴的交点为，则点，的横坐标就是方程的解．观察如图，得到点的横坐标，点的横坐标．所以方程的近似解为． 【任务】 (1)在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合    B．分类讨论    C．统计思想    D．转化思想 (2)先完成下表，并判断： 方程的解分别在哪两个相邻的整数之间 的值 0 1 的值 (3)若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况． 【答案】(1)A，D (2) 填表如下： x的值 0 1 的值 13 3 1 根据上表可得，； (3)方程有两个不相等的实数根，且， 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、图象法确定一元二次方程的近似根、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了数学思想和二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意结合数学思想可得答案； （2）分别把x的值代入即可填表，根据表格可得答案； （3）根据二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【详解】（1）根据例5求解过程，可知求解过程中，主要运用的数学思想是数形结合，转化思想 故答案为：A，D； （2）略 （3）， 当时，， 又， 方程有两个不相等的实数根，且，． 【考点6】二次函数的实际应用与综合（第42-52题） · 实际问题先建立平面直角坐标系，把已知条件转化为点的坐标 · 最值问题先求解析式，再用顶点公式求最值，并检验是否在取值范围内 · 营销问题抓住利润=（售价-成本）×销售量，理清降价与销量的对应关系 · 面积、周长综合题先求抛物线解析式，再结合几何图形性质建立关系式 · 投球、拱桥问题注意坐标系的选择，通常以顶点或水面为原点简化计算 42．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 43．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 44．（2025·甘肃·一模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________． 【答案】 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 因为，所以抛物线的顶点坐标为， 得到当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，即可得到答案． 【详解】解： ， 抛物线的顶点坐标为， 当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是， 故答案为：． 45．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）小王和小李先后从地出发沿同一直道去地设小李出发第时，小李、小王离地的距离分别为、，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是． （1）小李出发时，小王离地的距离为_______． （2）小李出发至小王到达地这段时间内，当小李出发_______时两人相距最近这个最近距离是_______． 【答案】 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，掌握一次函数与二次函数在行程中的数量关系是解题的关键． （1）根据小李出发时，时间为零，代入计算即可求解； （2）设两人相距，根据题意可得，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）小李：，小王：， 当时，小李：，小王：， ∴（米）； （2）设小李和小王相距米， ∴ ， ∴当时，小李与小王相距最近，最近为米， ∴小李出发分钟时两人相距最近，最近距离为米， 故答案为：，， ． 46．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为___________． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________． 【答案】 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 47．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是___________． 【答案】 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，先求出点I左边和右边端点的坐标，求出当，时的y值，比较即可． 【详解】 由题意得：点I左边端点的坐标为，右边端点的坐标为 对于抛物线，当时，，当时，， 当时，解得或5， ∴点P在台阶I上，落点的坐标是 故答案为：． 48．（25-26九年级上·浙江·期末）某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【答案】(1) (2)每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【知识点】列二次函数关系式、营销问题(一元二次方程的应用)、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是盈利问题的二次函数式及解一元二次方程，通常做法是先列出二次函数式，然后代入求解．用代数式表示每间房间的利润和房间数是关键． （1）根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案； （2）代入（1）求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的． 【详解】（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 49．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为20米）的矩形鸡场，设边长为米，鸡场的面积为平方米． (1)求与的函数关系式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求该矩形鸡场面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形鸡场面积的最大值为 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二次函数的实际应用． （1）先根据，求出，再根据矩形面积公式即可列出关系式； （2）根据实际意义列出不等式组，求出的取值范围即可； （3）将二次函数化成顶点式，在的取值范围内利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ； （2）解：墙的长度为20米，即， ，即， 解得：， （3）解：由（1）知， ， 且， 当时，有最大值，最大值为， 答：该矩形鸡场面积的最大值为． 50．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点M的坐标是 (2)①1；②存在，或 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解； ②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∴，                                         ∴， ∴顶点M的坐标是． （2）①∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1，                         ∴．                             ②存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内），              如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）．             ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 51．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 52．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】(1) (2)售价的取值范围是 (3)能，60元 【知识点】列二次函数关系式、营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数定义要抓住a≠0，求参数时先定次数再验系数 · 配方法化顶点式是核心，对称轴与顶点坐标公式要熟练 · 图象性质数形结合：开口、对称轴、顶点、最值对照图象记忆 · 解析式求法按已知条件选形式，待定系数法求出后要回代检验 · 实际应用先建坐标系列关系式，最值问题注意自变量取值范围 【作业1】．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 【作业2】．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的顶点为，那么关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点情况，根据二次函数图象的平移、二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】解：二次函数的顶点为， ∴的顶点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴有2个不相等的实数根． 故选：A． 【作业3】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）将函数的图象向右平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据函数图象平移规则“左加右减”，向右平移2个单位，应将原函数中的x替换为即可． 【详解】解：原函数为，向右平移2个单位， 则新函数表达式为， 故选：D． 【作业4】．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 根据待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得：． 故选：C． 【作业5】．（2026·甘肃武威·一模）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 【作业6】．（23-24九年级上·浙江台州·阶段检测）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为________． 【答案】1或3 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．由抛物线图象经过点，对称轴是直线，则抛物线一定经过点关于直线的对称点，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数图象可得， 抛物线图象经过点，对称轴是直线， 则抛物线一定经过点关于直线的对称点， 当时，关于x的方程的两个解为：，． ∴方程的解为，； 故答案为：1或3． 【作业7】．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是________． 【答案】敏敏 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 【详解】解： 是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 【作业8】．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③ ．其中，错误的结论是________（只填序号）． 【答案】③ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断二次函数系数的符号，以及式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出的符号，即可得到的符号；②根据抛物线与轴的交点个数，进行判断即可；③求出二次函数的最值，进行判断即可． 【详解】解：∵由图可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴故①正确，不符合题意； ∵由图可知抛物线与轴有两个交点， ∴，即， ∴故②正确，不符合题意； ∵由图可知，当时，有最大值， 可以将看成，即当时，有最大值， 将 看成 ，即当时，其值不是最大值， ∴， ， 即． ∴故③错误，符合题意． 故答案为：③． 【作业9】．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】(1)；一次 (2)；反比例 (3)；二次 【知识点】识别一次函数、列二次函数关系式、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，化简即可得出答案； （2）根据题意可得，化简即可得出答案； （3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 【作业10】．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为______． 【答案】36 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 【作业11】．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）当时，函数有最大值______． 【答案】4 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】对二次函数配方得到对称轴和顶点坐标，判断顶点横坐标在给定自变量区间内，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值． 【详解】解：先对函数配方得 ∵ 二次项系数 ∴ 二次函数图象开口向下，函数在顶点处取得最大值 ∵ 顶点横坐标为， 满足，即顶点横坐标在给定自变量范围内， ∴ 函数的最大值为． 【作业12】．（23-24九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【答案】/ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 设交点式，然后把C点坐标代入求a即可； 【详解】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 【作业13】．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 【作业14】．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）二次函数的对称轴是直线 ___． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解，本题考查了二次函数的对称轴，解题的关键是：熟练应用配方法，将二次函数化为顶点式． 【详解】解：， ， 二次函数的对称轴为：， 故答案为：． 【作业15】．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线_______． 【答案】 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 【作业16】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为___________． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了求抛物线与x轴的交点坐标 通过求解一元二次方程得到抛物线与x轴的交点坐标，再计算两点之间的距离． 【详解】解：令，得方程， 因式分解得， 解得，， 即抛物线与x轴的交点为和， ∴弦长为：． 故答案为：． 【作业17】．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段检测）若函数是二次函数，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的一般形式进行解答即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，形如的函数叫做二次函数，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 【作业18】．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线，构造桥面形状（长度单位：），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查实际问题与二次函数，勾股定理；根据题意，把代入，计算得到中间大桥洞的宽度，再根据勾股定理得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， 当，代入， 得 ∴中间大桥洞最高点对应的值为 把代入， 解得：， 则中间大桥洞的宽度为， 设大圆弧所在圆的圆心为，半径为，圆心到弦的距离为 ∴ ∴ 解得： 综上，大圆弧所在圆的半径为 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·二次函数·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，能根据定义求二次项系数中的参数，并能根据实际问题列出二次函数关系式 · 掌握二次函数 y=ax2、y=a(x-h)2+k 与 y=ax2+bx+c 的图象与性质，能说出开口方向、对称轴、顶点坐标与最值 · 会用配方法将一般式化为顶点式，能根据已知条件灵活选用一般式、顶点式、交点式求二次函数解析式 · 理解二次函数图象的平移规律，能进行不同形式抛物线之间的图象变换 · 掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系，能建立坐标系解决投球、拱桥、营销等实际问题的最值与综合应用 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a、b、c分别是二次项、一次项系数和常数项 识别二次函数的关键是二次项系数a≠0：a=0时退化为一次函数或常数函数，b、c可为任意实数 由定义求参数：令最高次项次数等于2，同时保证二次项系数不为0，两者缺一不可 列二次函数关系式：先找实际问题中的等量关系，再用含自变量x的式子表示函数y，并注意自变量取值范围 概念辨析例题：已知函数 y=(m-2)xm^{2}-2+3x-1 是关于x的二次函数，求m的值 答案：m=-2 解析：由二次函数定义需同时满足两个条件：m2-2=2 且 m-2≠0。由 m2-2=2 得 m=±2；又 m-2≠0 即 m≠2，故 m=-2。 ☆ 2.二次函数的图象与性质 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向由a决定：a>0开口向上，a<0开口向下；|a|越大开口越小 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为 (-, ) 顶点式 y=a(x-h)2+k 的顶点为 (h,k)，对称轴为直线 x=h；a>0时当x=h取最小值k，a<0时取最大值k 增减性：a>0时在对称轴左侧y随x增大而减小、右侧y随x增大而增大；a<0时相反 对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧，异号时在右侧；c决定抛物线与y轴交点(0,c)的位置 概念辨析例题：求抛物线 y=x2-4x+3 的对称轴、顶点坐标，并指出当x取何值时y有最值 答案：对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,-1)，当x=2时y有最小值-1 解析：配方得 y=x2-4x+3=(x-2)2-1，故顶点为(2,-1)，对称轴为直线x=2；a=1>0，抛物线开口向上，当x=2时y取最小值-1。 ☆ 3.二次函数解析式的求法 一般式 y=ax2+bx+c：已知图象上三个点的坐标时选用，代入得到三元一次方程组 顶点式 y=a(x-h)2+k：已知顶点坐标或对称轴与另一点时选用 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)：已知抛物线与x轴两个交点(x1,0)、(x2,0)时选用 配方法化顶点式：y=ax2+bx+c=a(x+)2+，注意提取二次项系数后常数项要平衡 待定系数法的一般步骤：设解析式→代入已知点坐标→解方程组→回写解析式并检验 概念辨析例题：已知二次函数图象的顶点为(1,-4)，且经过点(0,-3)，求这个二次函数的解析式 答案：y=(x-1)2-4=x2-2x-3 解析：已知顶点设顶点式 y=a(x-1)2-4；代入点(0,-3)得 a(0-1)2-4=-3，解得a=1；故 y=(x-1)2-4，展开为 y=x2-2x-3。 ☆ 4.二次函数与一元二次方程、不等式 抛物线 y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 判别式 Δ=b2-4ac：Δ>0时抛物线与x轴有两个交点，Δ=0时有一个交点（相切），Δ<0时没有交点 y>0对应图象在x轴上方的x取值范围，y<0对应图象在x轴下方的范围，可借助图象解不等式 图象法求一元二次方程的近似根：先估计抛物线与x轴交点所在范围，再逐步缩小 概念辨析例题：求抛物线 y=x2-2x-3 与x轴的交点坐标，并指出当x取何值时y>0 答案：交点为(-1,0)和(3,0)；当x<-1或x>3时y>0 解析：令 y=0，即 x2-2x-3=0，因式分解得 (x-3)(x+1)=0，x=3或x=-1，交点为(3,0)、(-1,0)；a=1>0开口向上，故图象在x轴上方对应x<-1或x>3。 ☆ 5.二次函数的实际应用 最值问题：利润最大、面积最大、用料最省等，先建立二次函数关系式再求顶点处的最值 投球、拱桥、喷水池等问题：建立平面直角坐标系，把已知点坐标化，再求抛物线解析式 营销问题：利润=（售价-成本）×销售量，注意降价与销量增加之间的对应关系 实际问题求出最值后，必须检验结果是否在自变量的实际取值范围内 概念辨析例题：用长为20m的篱笆一面靠墙围成一个矩形花圃，设垂直于墙的边长为x m，求花圃面积的最大值 答案：当x=5 m时，最大面积为50 m2 解析：平行于墙的边长为(20-2x)m，面积 S=x(20-2x)=-2x2+20x=-2(x-5)2+50；a=-2<0，当x=5时S取最大值50 m2。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数定义 y=ax2+bx+c（a≠0） a≠0是关键，b、c任意 开口方向 a>0向上，a<0向下 |a|越大开口越小 对称轴 直线 x=- 顶点式中为直线x=h 顶点坐标 (-, ) 顶点式中为(h,k) 与x轴交点 方程ax2+bx+c=0的根 Δ>0两个、=0一个、<0无 解析式求法 一般式/顶点式/交点式 按已知条件灵活选用 实际应用 建坐标系求最值 注意自变量取值范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与列关系式（第1-11题） · 识别二次函数抓住a≠0：y=ax2+bx+c中二次项系数不能为0 · 由定义求参数时先令最高次项次数为2，再保证二次项系数不为0，两步缺一不可 · 列实际问题关系式先找等量关系，再用含x的式子表示y · 求出关系式后要标明自变量的取值范围，使实际问题有意义 · 判断一个函数是否为二次函数，需先化简整理再按定义判断 1．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为______． 5．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是______． 6．（2024·浙江舟山·中考真题）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 7．（25-26九年级上·全国·课堂例题）若函数是关于x的二次函数，求m的值． 8．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数，求的值． 9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段检测）当为何值时，函数是二次函数． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 11．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 【考点2】二次函数的图象与平移变换（第12-18题） · 抛物线平移规律：左加右减（对括号内的h）、上加下减（对常数项k） · y=a(x-h)2+k 由 y=ax2 平移得到，顶点由(0,0)移到(h,k) · 画图象用描点法：先配方定顶点与对称轴，再取对称点连线 · 抛物线与y轴交点为(0,c)，与x轴交点由对应方程求得 · 平移前后抛物线的形状、开口方向不变，即a不变 12．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·浙江台州·期末）抛物线的顶点是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于x的方程，它的实数解的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 17．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围__________． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线． (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)在如图的直角坐标系内用五点法画出该抛物线的图象； (3)写出当x在什么范围内，y随x的增大而减小． 【考点3】二次函数的图象与性质（第19-26题） · 开口方向与大小由a决定，对称轴直线 x=-，顶点坐标公式要记牢 · a、b同号对称轴在y轴左侧，异号在右侧；c决定与y轴交点(0,c) · 最值在顶点处取得：a>0时为最小值，a<0时为最大值 · 比较函数值大小：利用对称性把各点转化到对称轴同侧，再看增减性 · 判断a、b、c及b2-4ac的符号，要结合开口、对称轴位置、与y轴交点和与x轴交点综合分析 19．（21-22九年级下·全国·期末）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2024·四川达州·一模）如图，已知抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 21．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________． 22．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有__________． 23．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是________． 24．（2024·福建泉州·一模）已知二次函数的图象经过点，，若，，都有，则的最大值为_____． 25．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）当时，函数的最大值是6，则________． 26．（2025·浙江·中考真题）在平面直角坐标系运动中，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)图象上有两点． ①若，求的值； ②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【考点4】二次函数解析式的求法（第27-32题） · 已知三个点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与x轴交点设交点式 · 配方法化顶点式：先提取二次项系数，再加上并减去一次项系数一半的平方 · 待定系数法的关键是正确解方程组，代入点坐标时注意符号 · 求出解析式后要回代已知点检验是否吻合 · 一般式与顶点式可相互转化，根据题目需要灵活选择形式 27．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 28．（23-24九年级下·全国·课后作业）用配方法将二次函数化成顶点式的形式，下列正确的为（     ） A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·浙江舟山·阶段检测）已知一个二次函数的图象与轴的交点为，，且顶点在函数的图象上，则这个函数的表达式是___． 30．（2025·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． (1)当时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，求的取值范围． (3)若，且当时，有最小值，求的值． 31．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 32．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，点P是直线l上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段绕点P旋转，得到线段，点C的对应点为点Q，当点Q在抛物线上时，直接写出点Q的坐标． 【考点5】二次函数与一元二次方程、不等式（第33-41题） · 抛物线与x轴交点的横坐标就是方程 ax2+bx+c=0 的根 · 用判别式 Δ=b2-4ac 判断交点个数：Δ>0两个、Δ=0一个、Δ<0无交点 · 解不等式ax2+bx+c>0（或<0）看图象在x轴上方（或下方）对应的x范围 · 图象法求方程近似根：先估交点所在整数范围，再取中间值逐步逼近 · 一次函数与二次函数综合题，联立解析式求交点，再结合图象判断函数值大小 33．（2024·广西柳州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 34．（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）已知二次函数的图象是常数与轴交于点A，点A与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： 下列结论：①点的坐标是；②这个函数的最大值大于；③有一个根在与之间；④当，时，其中正确的为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 35．（2024·四川内江·二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 36．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是___________． x 0.4 0.5 0.6 0.7 37．（2026九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 38．（2024·山东聊城·二模）如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______． 39．（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段检测）如图，直线和抛物线都经过点    (1)求m、n的值和抛物线的解析式； (2)求不等式的解集．（直接写出答案） 40．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 41．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取的值为，使得函数值满足，那么抛物线与轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解． 例5利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解设，则方程的解就是该函数图象与轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象，得到与轴的交点为，则点，的横坐标就是方程的解．观察如图，得到点的横坐标，点的横坐标．所以方程的近似解为． 【任务】 (1)在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合    B．分类讨论    C．统计思想    D．转化思想 (2)先完成下表，并判断： 方程的解分别在哪两个相邻的整数之间 的值 0 1 的值 (3)若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况． 【考点6】二次函数的实际应用与综合（第42-52题） · 实际问题先建立平面直角坐标系，把已知条件转化为点的坐标 · 最值问题先求解析式，再用顶点公式求最值，并检验是否在取值范围内 · 营销问题抓住利润=（售价-成本）×销售量，理清降价与销量的对应关系 · 面积、周长综合题先求抛物线解析式，再结合几何图形性质建立关系式 · 投球、拱桥问题注意坐标系的选择，通常以顶点或水面为原点简化计算 42．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 43．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 44．（2025·甘肃·一模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________． 45．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）小王和小李先后从地出发沿同一直道去地设小李出发第时，小李、小王离地的距离分别为、，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是． （1）小李出发时，小王离地的距离为_______． （2）小李出发至小王到达地这段时间内，当小李出发_______时两人相距最近这个最近距离是_______． 46．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为___________． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________． 47．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是___________． 48．（25-26九年级上·浙江·期末）某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 49．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为20米）的矩形鸡场，设边长为米，鸡场的面积为平方米． (1)求与的函数关系式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求该矩形鸡场面积的最大值． 50．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 51．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 52．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数定义要抓住a≠0，求参数时先定次数再验系数 · 配方法化顶点式是核心，对称轴与顶点坐标公式要熟练 · 图象性质数形结合：开口、对称轴、顶点、最值对照图象记忆 · 解析式求法按已知条件选形式，待定系数法求出后要回代检验 · 实际应用先建坐标系列关系式，最值问题注意自变量取值范围 【作业1】．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的顶点为，那么关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【作业3】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）将函数的图象向右平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 【作业5】．（2026·甘肃武威·一模）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【作业6】．（23-24九年级上·浙江台州·阶段检测）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为________． 【作业7】．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是________． 【作业8】．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③ ．其中，错误的结论是________（只填序号）． 【作业9】．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【作业10】．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为______． 【作业11】．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）当时，函数有最大值______． 【作业12】．（23-24九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【作业13】．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【作业14】．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）二次函数的对称轴是直线 ___． 【作业15】．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线_______． 【作业16】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为___________． 【作业17】．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段检测）若函数是二次函数，则的取值范围是___________． 【作业18】．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线，构造桥面形状（长度单位：），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为______． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $