考点6 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题 讲义-2026-2027学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

高中物理人教版选择性必修二重点考点解读 考点6 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题 知识网络 考点解读 解题关键点 （1）关注题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等关键词语，作为解题的切入点. （2）关注涉及临界和极值条件的六个结论 结论一 粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切 结论二 当速度v一定时，弧长越长，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 结论三 当速度v变化时，圆心角越大，弦切角也越大，对应的运动时间也越长 结论四 在圆形匀强磁场区域中，当带电粒子运动轨迹半径大于圆形磁场区域半径，入射点和出射点为磁场区域直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大（所有的弦中直径最长），运动时间最长 结论五 最短时间：弧长最短（弦长最短），入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直.如图，P为入射点，M为出射点，此时带电粒子在磁场中运动时间最短 结论六 磁场区域面积极值：磁场区域边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场区域的一条弦，以该弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场区域有最小面积 能力素养提升 1、 一般思维流程 2.几种常见的求极值问题 (1)时间极值 ①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ②圆形边界:公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。 ③最短时间:弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。 (2)磁场区域面积极值 若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。 针对性训练 1 (2026·安徽马鞍山联考)如图所示，匀强磁场范围足够大且方向垂直纸面向里，在纸面内有P、M、N三点，P、M间的距离为L，P、M连线与MN间的夹角为30°。从P点平行于MN向左发射速率为v0的带正电粒子，恰好经过M、N，粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子重力，则(　　) A.磁感应强度的大小为 B.M、N间距离为 C.粒子从P运动到N的时间为 D.粒子运动过程中，距MN的最大距离为 2 (2026洛阳联考)如图所示，在直角三角形ACD区域内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AD边存在粒子收集器，已知∠ACD＝30°，DA边的长度为L。有一群质量为m、电荷量为q的带负电粒子以不同的速度从CD边的中点垂直CD边射入磁场中，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则能从AD边收集到的粒子的速度可能为(　　) A. B. C. D. 3 如图所示，在直角三角形ABC区域内有垂直纸面向外的匀强磁场.速率不同的大量相同带电粒子从A点沿与AC边夹角为60°的方向进入磁场，从AC和BC边的不同位置离开磁场.已知AB的长度为l，∠ACB＝30°，不计粒子的重力和粒子间相互作用力，则（　　） A.所有从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间相同 B.从BC边离开的粒子在磁场中运动的时间一定比从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间短 C.粒子在磁场中运动的弧长越长，运动时间一定越长 D.从BC边离开的粒子离C点的最近距离为l 4 (2024·湖北卷，7)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能经过O点 B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 5.(多选)如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子，不计重力。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现没有粒子从OC边界射出。则(　　) A.粒子的最大发射速率不超过 B.粒子的最大发射速率不超过 C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为 6 .真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 7.(多选)如图所示，三角形abc区域(含边界)内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在a点有一粒子源，可向三角形内部发射速度大小和方向均不相同的同种带电粒子。已知∠b＝90°，∠a＝60°，ab边长为L，粒子质量为m，电荷量为＋q，不计重力，下列说法正确的是(　　) A.粒子在磁场中运动的最长时间为 B.粒子在磁场中运动的最长时间为 C.沿ab边入射，从ac边飞出的粒子的最大速率为 D.沿ab边入射，从ac边飞出的粒子的最大速率为 8.(多选)如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　　) A.粒子一定带正电 B.当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C.粒子入射速率为 D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L 9 如图所示，在xOy平面内的第一象限内存在一有界匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy平面向外。一束质量为m、电荷量为＋q的粒子以不同的速率从O点沿xOy平面内的OP方向发射，沿直线飞行到P点时进入有界匀强磁场区域，O、P两点间的距离为L，OP连线与x轴正方向的夹角α＝30°，所有粒子在离开磁场后最终都能从x轴上垂直x轴射出，若速度最大的粒子A从x轴上的Q点以速度vm(未知)射出，且射出之前都在磁场内运动，粒子所受的重力忽略不计，求: (1)vm的大小; (2)粒子A在匀强磁场中运动的时间; (3)有界匀强磁场区域的最小面积。 10.如图，在0≤x≤h，－∞＜y＜＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变.一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力. （1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm； （2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场.求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理人教版选择性必修二重点考点解读 考点6 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题 知识网络 考点解读 解题关键点 （1）关注题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等关键词语，作为解题的切入点. （2）关注涉及临界和极值条件的六个结论 结论一 粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切 结论二 当速度v一定时，弧长越长，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 结论三 当速度v变化时，圆心角越大，弦切角也越大，对应的运动时间也越长 结论四 在圆形匀强磁场区域中，当带电粒子运动轨迹半径大于圆形磁场区域半径，入射点和出射点为磁场区域直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大（所有的弦中直径最长），运动时间最长 结论五 最短时间：弧长最短（弦长最短），入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直.如图，P为入射点，M为出射点，此时带电粒子在磁场中运动时间最短 结论六 磁场区域面积极值：磁场区域边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场区域的一条弦，以该弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场区域有最小面积 能力素养提升 1、 一般思维流程 2.几种常见的求极值问题 (1)时间极值 ①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ②圆形边界:公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。 ③最短时间:弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。 (2)磁场区域面积极值 若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。 针对性训练 1 (2026·安徽马鞍山联考)如图所示，匀强磁场范围足够大且方向垂直纸面向里，在纸面内有P、M、N三点，P、M间的距离为L，P、M连线与MN间的夹角为30°。从P点平行于MN向左发射速率为v0的带正电粒子，恰好经过M、N，粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子重力，则(　　) A.磁感应强度的大小为 B.M、N间距离为 C.粒子从P运动到N的时间为 D.粒子运动过程中，距MN的最大距离为 答案　D 解析　根据题意作出粒子运动轨迹，如图所示，根据几何关系， 可知∠POM＝2×30°＝60°，则轨道半径r＝L，由于洛伦兹力提供向心力，则有qv0B＝m，解得B＝，故A错误;根据几何关系，M、N间距离为xMN＝2Lcos 30°＝L，故B错误;粒子从P运动到N对应的圆心角θ＝360°－60°＝300°，粒子运动周期T＝，则经历时间为t＝T，解得t＝，故C错误;根据轨迹图可知，当粒子运动至与P点关于圆心对称位置时，距MN的距离最大为xmax＝2r－Lsin 30°＝，故D正确。 2 (2026洛阳联考)如图所示，在直角三角形ACD区域内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AD边存在粒子收集器，已知∠ACD＝30°，DA边的长度为L。有一群质量为m、电荷量为q的带负电粒子以不同的速度从CD边的中点垂直CD边射入磁场中，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则能从AD边收集到的粒子的速度可能为(　　) A. B. C. D. 答案　CD 解析　粒子从E点垂直CD边射入，若粒子恰好从D点射出，如图所示， 由几何关系可知运动半径为r1＝×L，根据qv1B＝m，可得v1＝;若粒子轨迹与AC边相切，由几何关系可知r2＝×sin 30°＝L，根据qv2B＝m，可得v2＝，可知粒子从AD边射出时的速度范围≤v≤，故C、D正确。 3 如图所示，在直角三角形ABC区域内有垂直纸面向外的匀强磁场.速率不同的大量相同带电粒子从A点沿与AC边夹角为60°的方向进入磁场，从AC和BC边的不同位置离开磁场.已知AB的长度为l，∠ACB＝30°，不计粒子的重力和粒子间相互作用力，则（　　） A.所有从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间相同 B.从BC边离开的粒子在磁场中运动的时间一定比从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间短 C.粒子在磁场中运动的弧长越长，运动时间一定越长 D.从BC边离开的粒子离C点的最近距离为l 答案 ABD 解析　根据题意画出可能的运动轨迹如图所示， 根据几何关系知所有从AC边离开的粒子转过的圆心角相等，均为π，根据T＝，及t＝T，可知所有从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间相同，故A正确；由图可知从BC边离开的粒子转过的圆心角不等，越靠近B点转过的圆心角越小，所以从BC边离开的粒子在磁场中运动的时间一定比从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间短，故B正确；由以上分析可知运动时间与弧长无关，故C错误；当粒子运动轨迹与BC边相切(切点为F点)时，F点距离C点最近，根据几何关系可得四边形AOFE为正方形，三角形AEB为直角三角形，所以粒子运动半径为r＝l，BE的长度为l，所以FC的长度为l，故D正确. 4 (2024·湖北卷，7)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能经过O点 B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 答案　D 解析　根据带电粒子在圆形边界磁场中的运动性质可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，粒子射出圆形区域时的速度方向一定沿该区域的半径方向，A、B错误;当粒子在磁场中运动的轨迹半径为r1＝R时，粒子连续两次由A点沿AC方向射入磁场区域的时间间隔最短，其运动轨迹如图甲所示，由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝m，又T1＝，则最短时间间隔为tmin＝2T1＝，C错误;粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短时，粒子的运动轨迹如图乙所示， 由几何关系可知此时粒子的轨迹半径为r2＝R，由洛伦兹力提供向心力有qv2B＝m，联立解得v2＝，D正确。 5.(多选)如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子，不计重力。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现没有粒子从OC边界射出。则(　　) A.粒子的最大发射速率不超过 B.粒子的最大发射速率不超过 C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为 答案　AD 解析　要使没有粒子从OC边界射出，沿如图路线运动的粒子刚好不离开磁场， 速率最大，满足r＝，由几何关系知r＝lsin 60°＝，则v＝，故A正确，B错误;粒子速度v＝，从OA边界离开磁场时离S最远距离d＝2r＝lsin 60°＝l，故C错误，D正确。 6 .真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知，电子在匀强磁场中只受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，由牛顿第二定律得evB＝m，可得B＝，则速度一定时，电子的轨迹半径越大，对应的磁感应强度越小，由于电子被限制在实线圆内运动，当电子的运动轨迹与实线圆相切时，电子的轨迹半径最大，轨迹如图所示，△O1O2M为直角三角形，由几何关系可得＝(3a－rmax)2－a2，解得rmax＝a，则磁感应强度最小为Bmin＝，故C正确。 7.(多选)如图所示，三角形abc区域(含边界)内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在a点有一粒子源，可向三角形内部发射速度大小和方向均不相同的同种带电粒子。已知∠b＝90°，∠a＝60°，ab边长为L，粒子质量为m，电荷量为＋q，不计重力，下列说法正确的是(　　) A.粒子在磁场中运动的最长时间为 B.粒子在磁场中运动的最长时间为 C.沿ab边入射，从ac边飞出的粒子的最大速率为 D.沿ab边入射，从ac边飞出的粒子的最大速率为 答案　AC 解析　粒子沿着ab边入射从ac边飞出时，粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图甲所示，根据几何关系可知，转过的圆心角为120°， 故粒子在磁场中运动的最长时间为t＝，故A正确，B错误;当粒子沿ab边入射，轨迹恰好与bc边相切时，粒子轨迹半径最大，对应速率最大，粒子运动轨迹如图乙所示，根据几何关系可知，粒子轨迹半径为L，由qvB＝，可知v＝，故C正确，D错误。 8.(多选)如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　　) A.粒子一定带正电 B.当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C.粒子入射速率为 D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L 答案　ACD 解析　根据题意可知粒子垂直x轴离开磁场，由左手定则可知粒子带正电，A正确;当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图甲，粒子运动的半径为r＝＝2L，洛伦兹力提供向心力qvB＝m，解得粒子入射速率v＝。若α＝45°，粒子运动轨迹如图乙，根据几何关系可知粒子离开磁场时与x轴不垂直，B错误，C正确;粒子离开磁场距离O点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图丙，根据几何关系可知(2r)2＝(L)2＋，解得xm＝3L，D正确。 9 如图所示，在xOy平面内的第一象限内存在一有界匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy平面向外。一束质量为m、电荷量为＋q的粒子以不同的速率从O点沿xOy平面内的OP方向发射，沿直线飞行到P点时进入有界匀强磁场区域，O、P两点间的距离为L，OP连线与x轴正方向的夹角α＝30°，所有粒子在离开磁场后最终都能从x轴上垂直x轴射出，若速度最大的粒子A从x轴上的Q点以速度vm(未知)射出，且射出之前都在磁场内运动，粒子所受的重力忽略不计，求: (1)vm的大小; (2)粒子A在匀强磁场中运动的时间; (3)有界匀强磁场区域的最小面积。 答案　(1)　(2)　(3)L2 解析　(1)粒子的运动轨迹如图所示。设粒子A在磁场中做圆周运动的半径为rm，由几何关系得rm＝L 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvmB＝m 解得vm＝。 (2)粒子做匀速圆周运动，则有qvB＝m 周期为T＝ 解得T＝ 由运动轨迹可知，粒子A经过磁场后的偏转角为120°，则粒子A在磁场中运动的时间t＝T＝T 解得t＝。 (3)由几何关系可知三角形PO1Q的面积S1＝sin 120°＝L2 120°圆心角对应的扇形面积S2＝πL2 磁场区域的最小面积为图中阴影部分面积，其面积ΔS＝S2－S1＝L2。 10.如图，在0≤x≤h，－∞＜y＜＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变.一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力. （1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm； （2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场.求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离. 答案　（1）磁场方向垂直于纸面向里　　（2）　（2－）h 解析　（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里.设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有 qv0B＝m　① 由此可得R＝　② 粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足R≤h　③ 由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子的运动半径最大，由此得Bm＝　④ （2）若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R'＝2h　⑤ 粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示.设粒子在P点的运动方 向与x轴正方向的夹角为α，由几何关系有 sinα＝＝　⑥ 则α＝　⑦ 由几何关系可得，P点与x轴的距离为 yP＝2h（1－cosα）　⑧ 联立⑦⑧式得yP＝（2－）h 1 学科网（北京）股份有限公司 $